Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng (C3 – Toán 10 Cánh diều)

Giải câu 1 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

a. $y=-3 x^{2}$ là hàm số bậc hai.

$a=-3;b=0;c=0$

b. $y=2 x\left(x^{2}-6 x+1\right)$ $\Leftrightarrow y=2x^3-12x^2+2x$ không phải hàm số bậc hai.

c. $y=4 x(2 x-5)$ $\Leftrightarrow y=8x^2-20x$ là hàm số bậc hai.

$a=8;b=-20;c=0$

Giải câu 2 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

a. Parabol $y=a x^{2}+b x+4$ đi qua điểm $M(1 ; 12)$ và $N(-3 ; 4)$ nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a.1^{2}+b.1+4=12 \\ a .(-3)^{2}+b .(-3)+4=4\end{array}\right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=6\end{array}\right.$ 

Vậy parabol là $y=2 x^{2}+6 x+4$

b. Ta có: $\frac{-b}{2 a}=-3 \Leftrightarrow b=6 a$ (1)

Thay tọa độ $I(-3 ;-5)$ vào $y=a x^{2}+b x+4$ ta được:

$a . (-3)^2 + b . (-3) + 4=-5 $

$\Leftrightarrow$ $3a-b=-3$ (2)

Từ (1) và (2) ta được: $\left\{\begin{array}{l}b = 6 a \\ 3 a – b = – 3\end{array}\right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b = 6 \\ a=1\end{array}\right.$ 

Vậy parabol là $y=x^{2}+6 x+4$.

Giải câu 3 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

a. $y=2 x^{2}-6 x+4$

Ta có: $\Delta=(-6)^{2}-4.2 .4=4$

• Toạ độ đỉnh $I(\frac{3}{2};\frac{-1}{2})$.
• Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$.
• Giao điểm của parabol với trục tung là $A(0 ;4)$.
• Giao điểm của parabol với trục hoành là $B(1; 0)$ và $C(2; 0)$.
• Điểm đối xứng vối điểm $A(0 ;4)$ qua trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$ là $D(3;4)$.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số như hình.

b. $y=-3 x^{2}-6 x-3$

Ta có: $\Delta=(-6)^{2}-4.(-3).(-3)=0$.

• Toạ độ đỉnh $I(-1;0)$.
• Trục đối xứng $x=-1$.
• Giao điểm của parabol với trục tung là $A(0 ;-3)$.
• Điểm đối xứng vối điểm $A(0 ;-3)$ qua trục đối xứng $x=-1$ là $B(-2;-3)$.

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số như hình.

Giải câu 4 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

a. Từ đồ thị hàm số, ta thấy trục đối xứng là đường thẳng $x=2$

Đỉnh của đồ thị hàm số là $I(2 ;-1)$

b. Từ chiều hướng đi lên và đi xuống của đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 2)$ và đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

c. Gọi hàm số là $y=a x^{2}+b x+c \ (a \neq 0)$

Ta có $I(2 ;-1)$ nên: $\left\{\begin{array}{l}- \frac { b } { 2 a } = 2  \\ a . 2 ^ { 2 } + b . 2 + c = – 1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b=-4 a \\ 4 a+2 b+c=-1\end{array}\right.$

Từ hình vẽ, ta có điểm $(1 ; 0)$ thuộc đồ thị nên: $a+b+c=0$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}b = – 4 a \\ 4 a+2 b+c=-1 \\ a + b + c = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} { l } b = – 4 a \\ 4 a + 2 . ( – 4 a ) + c = – 1 \\ a  – 4 a + c = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} b=-4 a \\ c-4 a=-1 \\c-3 a=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } a = 1 \\ b = -4 \\ c = 3\end{array}\right.$

Vậy parabol là $y=x^{2}-4 x+3$

Giải câu 5 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

a. $y=5 x^{2}+4 x-1$;

$a=5>0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(−\infty; \frac{-2}{5})$ và đồng biến trên $(\frac{-2}{5};+\infty)$

b. $y=-2 x^{2}+8 x+6$

$a=-2<0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(−\infty; 2)$ và nghịch biến trên $(2;+\infty)$

Giải câu 6 bài hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Gọi hàm số là $y=a x^{2}+b x+c \ (a \neq 0)$

Ta có $(0 ; 0)$, $(10 ; 43)$, $(162 ; 0)$ thuộc đồ thị hàm số nên

$\left\{\begin{array} { l } a . 0 ^ { 2 } + b . 0 + c = 0 \\ a . 10 ^ { 2 } + b . 10 + c = 43 \\ a . 162 ^ { 2 } + b . 162 + c = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }  c = 0 \\ 100 a + 10 b = 43 \\ 162 ^ { 2 } a + 162 b = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-\frac{43}{1520} \\ b=\frac{3483}{760} \\c=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ $y=-\frac{43}{1520} x^{2}+\frac{3483}{760} x$

Đỉnh của đồ thị có tung độ là: $y=\frac{-\Delta}{4a} \approx 186(\mathrm{~m})$

Vậy chiều cao của cổng là $186$m.