Giải bài tập Bài 2: Hoán vị chỉnh hợp và tổ hợp (Chân trời)

Giải bài tập Bài 2: Hoán vị chỉnh hợp và tổ hợp (Chân trời)
———-

Giải bài 1 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

a) Tính hoán vị của 5 bạn học sinh

b) Tính hoán vị của 4 bạn học sinh

Lời giải chi tiết

a) Mỗi cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là một hoán vị của 5 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào 5 cái ghế là hoán vị là:

\({P_5} = 5!\) (cách)

b) Khi bạn Nga nhất định ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì số cách sắp xếp là số cách sắp xếp 4 bạn còn lại vào 4 chiếc ghế, mỗi cách như vậy là một hoán vị của 4 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp là:

\({P_4} = 4! = 24\) (cách)

 

–>

Giải bài 2 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

a) Tính chỉnh hợp chập 4 của 6

b) Bước 1: Chọn một chữ số làm chữ số hàng nghìn (khác 0)

Bước 2: Chọn 3 chữ số còn lại và sắp xếp chúng

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

a) Mỗi số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là cách chọn 4 chữ số và sắp xếp chúng, mỗi cách chọn như vậy là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Do đó, số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là:

\(A_6^4 = 6.5.4.3 = 360\) (số)

b) Việc lập một số có 4 chữ số từ 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 bao gồm 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 1 chữ số khác 0 làm chữ số hàng nghìn, có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4 hoặc 5)

Công đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại (trừ chữ số đã chọn làm chữ số hàng nghìn) và sắp xếp chúng, mỗi cách như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó, số cách chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại và sắp xếp chúng là:

\(A_5^3 = 5.4.3 = 60\) (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là :

\(5.60 = 300\) (số)

 

–>

Giải bài 3 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

a) Tính tổ hợp chập 3 của 9

b) Bước 1: Chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho

Bước 2: Chọn 1 bạn nữ từ 5 bạn đã cho

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

a) Mỗi cách chọn 3 bạn từ 9 bạn trong tổ một đi trực nhật là một tổ hợp chập 3 của 9. Do đó, số cách cử 3 bạn bất kì đi trực nhật là:

\(C_9^3 = \frac{{9!}}{{3!.6!}} = 84\) (cách)

b) Mỗi cách chọn 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ đi trực nhật gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 2 bạn nam

Mỗi cách chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho là một tổ hợp chập 2 của 4. Do đó, số cách chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho là:        \(C_4^2 = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\) (cách)

Công đoạn 2: Chọn 1 bạn nữa trong 5 bạn đã cho, có 5 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các cử 3 bạn đi trực nhật trong đó 2 nam và 1 nữ là:

\(6.5 = 30\) (cách)

 

–>

Giải bài 4 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

Tính chỉnh hợp chập 4 của 8

Lời giải chi tiết

Mỗi kết quả bầu ủy ban như trên là mỗi kết quả chọn 4 người trong 8 người và sắp xếp 4 người đó vào 4 vị trí chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký và ủy viên, nên mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử. Do đó, số khả năng có thể xảy ra về kết quả bầu ủy ban là:

\(A_8^4 = 8.7.6.5 = 1680\) (khả năng)

 

–>

Giải bài 5 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

Bước 1: Chọn 3 bạn để hỗ trợ đi lại

Bước 2: Chọn 2 bạn để hỗ trợ tắm rửa

Bước 3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống

Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

Việc phân công các bạn tình nguyện làm các việc trên gồm 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 3 bạn để hỗ trợ đi lại, mỗi cách chọn 3 bạn từ nhóm 7 bạn để làm công việc này là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Do đó, số cách chọn 3 bạn làm công việc hỗ trợ đi lại là: \(C_7^3 = \frac{{7!}}{{3!.4!}} = 35\) (cách)

Công đoạn 2: Chọn 2 bạn để hỗ trợ tắm rửa, mỗi cách chọn 2 bạn từ nhóm 4 bạn còn lại để làm công việc này là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. Do đó, số cách chọn 2 bạn làm công việc hỗ trợ tắm rửa là: \(C_4^2 = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\) (cách)

Công đoạn 3: Chọn 2 bạn để hỗ trợ ăn uống từ 2 bạn cuối cùng, có 1 cách duy nhất

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc trên là: \(35.6.1 = 210\) (cách)

 

–>

Giải bài 6 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

Bước 1: Chọn 2 đường thẳng song song trong 4 đường nằm ngang

Bước 2: Chọn 2 đường thẳng song song từ 5 đường xiên

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

Ta thấy rằng, cứ 2 đường thẳng song song cắt 2 đường thẳng song song khác thì tạo thành một hình bình hành

Do đó, hình bình hành tạo thành được xác định qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 2 đường thẳng  trong 4 đường nằm ngang, có:       

\(C_4^2 = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6\)

Công đoạn 2: Chọn 2 đường thẳng trong 5 đường xiên, có: \(C_4^2 = \frac{{5!}}{{2!.3!}} = 10\)

Vậy số hình bình hành được tạo thành là: \(6.10 = 60\) (hình bình hành)

 

–>

Giải bài 7 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương pháp giải

Tính chỉnh hợp chập 2 của 14

Lời giải chi tiết

Mỗi trận đấu gồm 2 đội từ 14 đội và trên sân nhà hay sân đối thủ, nên mỗi trận đấu là một cách chọn 2 đội và sắp xếp chúng. Do đó, mỗi trận đấu là một chỉnh hợp chập 2 của 14 phần tử. Vậy số trận đấu có thể xảy ra là:

\(A_{14}^2 = 14.13 = 182\) (trận)

 

–>