[Dạng câu 50 Toán L2 – 2020] Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}(3x + 3) + x – 3y = {27^y}\) :

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}(3x + 3) + x – 3y = {27^y}\) :

A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. vô số.

Lời giải

Ta có:

\({\log _3}(3x + 3) + x – 3y = {27^y}\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3(x + 1)} \right] + x = {27^y} + 3y\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}(x + 1) + x = {3^{3y}} + 3y\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 1) + (x + 1) = {3^{3y}} + 3y\)

Đặt \(t = {\log _3}(x + 1)\) suy ra \(x + 1 = {3^t}\)

Ta có \(t + {3^t} = {3^{3y}} + 3y\)
Xét \(f(t) = {2^t} + t\) \( \Rightarrow f'(t) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Suy ra phương trình
\({\log _3}(x + 1) + (x + 1) = {3^{3y}} + 3y\)
\( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_3}(x + 1)} \right) = f(3y)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 1) = 3y\)
Mà \(0 \le x \le 2020\)
\( \Leftrightarrow 1 \le x + 1 \le 2021\)
\( \Leftrightarrow 0 \le {\log _3}(x + 1) \le {\log _3}2021\)
\( \Leftrightarrow 0 \le 3y \le {\log _3}2021\)

\( \Leftrightarrow 0 \le 3y \le {\log _3}2021\)
\( \Leftrightarrow y \in \left\{ {0;1;2} \right\}\)
 \(y = 0 \Rightarrow x = 0\)
 \(y = 1 \Rightarrow x = 26\)
 \(y = 2 \Rightarrow x = 728\)

Vậy có 3 cặp số nguyên $(x;y)$.