Đề: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có \(AB = AC = a,BC = a\sqrt 3\). Cạnh bên AA’=2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB’C’C.

 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi K là trung điểm của AA’.

Đường thẳng qua O vuông góc với (ABC) cắt mặt phẳng trực của AA’ tại I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ  và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB’C’C.

Mặt khác: \(\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat A = {120^0}\)  

Ta có: \(R{ _{ABC}} = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sin {{120}^0}}} = 2a\)

Do đó \(R = IA = \sqrt {O{I^2} + O{A^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 .\)