Đề bài
PHẦN I.TRẮC NGHIỆM(3 điểm)
Câu 1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có phương trình \(2x + 3y + 5 = 0\) là:
A. \(\overrightarrow n = (2;3)\) B. \(\overrightarrow n = ( – 2;3)\)
C. \(\overrightarrow n = (2; – 3)\) D. \(\overrightarrow n = (3;2)\)
Câu 2. Đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} – 2x – 4y – 4 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là:
A. \(I( – 1; – 2),R = 3\)
B. \(I(1;2),R = 3\)
C. \(I( – 1;2),R = 3\) . \(I(1;2),R = 1\)
Câu 3. Giá trị của biểu thức\(A = \sin \dfrac{\pi }{6} + \cos \dfrac{\pi }{3}\) bằng :
A. \(A = 1\) B. \(A = \sqrt 3 \)
C. \(A = \dfrac{1}{2}\) D. \(A = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 4. Cho hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) thỏa mãn \(\tan \alpha = \dfrac{1}{2}\), \(\tan \beta = \dfrac{1}{3}\).Giá trị của biểu thức \(\tan (\alpha + \beta )\) bằng:
A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) B. \( – 1\)
C. \(\sqrt 3 \) D. \(1\)
Câu 5. Cho biết \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(E = \dfrac{{3\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}\)bằng:
A. \(E = 3\) B. \(E = 2\)
C. \(E = 5\) D. \(E = – 5\)
Câu 6. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai ?
A. \(\sin \alpha = \sin (\pi – \alpha )\)
B. \(\cos \alpha = – \cos (\pi – \alpha )\)
C. \(\tan \alpha = – \tan (\pi – \alpha )\)
D. \(\cot \alpha = \cot (\pi – \alpha )\)
PHẦN II.TỰ LUẬN(7 điểm)
Câu 1. (4 điểm)Giải các bất phương trình sau:
a)\({x^2} – 8x + 15 \ge 0\).
b)\((2x + 3)({x^2} – x – 2) \ge 0\)
c)\(\dfrac{{2x + 3}}{{x – 1}} \ge 9 – x\)
d) \(\sqrt {{x^2} + 15} < 3x – 2 + \sqrt {{x^2} + 8} .\)
Câu 2. (1 điểm)Tìm m để bất phương trình \((2m – 1){x^2} – 2(m – 2)x + m \ge 0\), (trong đó \(m\) là tham số)nghiệm đúng với mọi \(x \in R\)
Câu 3 .(2 điểm).
a) Cho elíp(E) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của elíp (E).
b) Cho đường thẳng \((d)\) có phương trình: \(2x + y – 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(2;3)\) và tạo với đường thẳng \((d)\) một góc \({45^0}\).
Lời giải chi tiết
PHẦN I.TRẮC NGHIỆM
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| A | B | A | D | C | D |
PHẦN II.TỰ LUẬN
Câu 1:
a) \({x^2} – 8x + 15 \ge 0\)
Vế trái có 2 nghiệm \(x = 3,x = 5\)
\({x^2} – 8x + 15 \ge 0 \)
\(\Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;3} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)
b) \((2x + 3)({x^2} – x – 2) \ge 0\)
Vế trái có các nghiệm \(x = – \dfrac{3}{2},x = – 1,x = 2\)
Xét dấu vế trái
Tập nghiệm của bất phương trình là:
\(S = {\rm{[}} – \dfrac{3}{2}; – 1{\rm{] }} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\)
c)
\(\dfrac{{2x + 3}}{{x – 1}} \ge 9 – x\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} – 8x + 12}}{{x – 1}} \ge 0(*)\)
Ta có
\(\begin{array}{l}{x^2} – 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 8\end{array} \right.,\\x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Xét dấu vế trái của (*)
Tập nghiệm của bất phương trình là:
\(S = (1;2{\rm{] }} \cup {\rm{[8}}; + \infty )\)
d) \(\sqrt {{x^2} + 15} < 3x – 2 + \sqrt {{x^2} + 8} \,\,\,(1)\)
* Ta có (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15} – \sqrt {{x^2} + 8} < 3x – 2\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 15 – {x^2} – 8}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + \sqrt {{x^2} + 8} }} < 3x – 2 \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{7}{{\sqrt {{x^2} + 15} + \sqrt {{x^2} – 8} }} < 3x – 2\) (2).
Từ (2) ta có \(3x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{3}\).
* Mặt khác: (1) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 15} – 4 < 3x – 3 + \sqrt {{x^2} + 8} – 3\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} < 3(x – 1) + \dfrac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} – 3 – \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}} \right) < 0\)(3)
* Lại có : Vì \(x > \dfrac{2}{3}\) nên \(\sqrt {{x^2} + 15} + 4 > \sqrt {{x^2} + 8} + 3 \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} < \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 15} + 4}} – \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} + 3}} – 3 < 0\).
Vậy (3) \( \Leftrightarrow x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
KL : BPT (1) có tập nghiệm là T=\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 2 : Tìm m để bất phương trình \((2m – 1){x^2} – 2(m – 2)x + m \ge 0\), (trong đó \(m\) là tham số) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\)
Trường hợp 1: \((2m – 1) = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)
BPT trở thành: \(3x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}\)không thỏa mãn
Trường hợp 2: \((2m – 1) \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\)
Để BPT nghiệm đúng với mọi \(x \in R\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}(2m – 1) > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1\)
Vậy \(m \ge 1\)
Câu 3:
a) Cho elíp (E) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của elíp (E).
Ta có\({a^2} = 25 \Leftrightarrow a = 5,\,\,{b^2} = 9 \)
\(\Leftrightarrow b = 3,{c^2} = {a^2} – {b^2} = 16 \Leftrightarrow c = 4\)
Tọa độ các đỉnh \({A_1}( – 5;0),\,{A_2}(5;0),{B_1}(0; – 3),\,{B_2}(0;3)\)
Tọa độ các tiêu điểm \({F_1}( – 4;0),\,{F_2}(4;0).\)
b) Cho đường thẳng \((d)\) có phương trình: \(2x + y – 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(2;3)\) và tạo với đường thẳng \((d)\) một góc \({45^0}\).
Đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(2;3)\) với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (a;b),\,{a^2} + {b^2} > 0\)
Có phương trình là \(a(x – 2) + b(y – 3) = 0 \)
\(\Leftrightarrow ax + by – 2a – 3b = 0\)
Vì đường thẳng \((\Delta )\) tạo với đường thẳng \((d)\) một góc \({45^0}\)nên
\({\rm{cos}}{45^0} = \dfrac{{\left| {2a + b} \right|}}{{\sqrt {5({a^2} + {b^2})} }}\)
\(3{a^2} + 8ab – 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 3b\\a = \dfrac{1}{3}b\end{array} \right.\)
Với \(a = – 3b\) phương trình đường thẳng\((\Delta )\) là \(3x – y – 3 = 0\)
Với \(a = \dfrac{1}{3}b\) phương trình đường thẳng\((\Delta )\) là \(x + 3y – 11 = 0\)
Để lại một bình luận