Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế – Sách bài tập Toán 9 tập 2
Bài 16 trang 9 SBT Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x – 3y = 5} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{7x – 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x – y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr} } \right.\)
Bài giải: a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x – 3y = 5} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{4\left( {3y + 5} \right) + 5y = 3} \cr} } \right.} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{17y = – 17} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{y = – 1} \cr} } \right.} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; -1)
b) \(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7x – 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – 3x + 6} \cr
{7x – 2\left( { – 3x + 6} \right) = 1} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – 3x + 6} \cr
{13x = 13} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = – 3x + 6} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 3)
c) \(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{x + 5y = 11} \cr
} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 – 5y} \cr
{1,3\left( {11 – 5y} \right) + 4,2y = 12} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 – 5y} \cr
{ – 23y = – 23} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 – 5y} \cr
{y = 1} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (6; 1)
d) \(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x – y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 15\left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right) = 21} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{\left( {2\sqrt 3 + 15} \right)x = 3\left( {2 + 5\sqrt 3 } \right)} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{6 + 15\sqrt 3 } \over {2\sqrt 3 + 15}}} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{\left( {6 + 15\sqrt 3 } \right)\left( {15 – 2\sqrt 3 } \right)} \over {225 – 12}}} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{90 – 12\sqrt 3 + 225\sqrt 3 – 90} \over {213}}} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{213\sqrt 3 } \over {213}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 – \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 } \cr
{x = \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = \(\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)\)
Bài 17 trang 9 SBT Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{1,7x – 2y = 3,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)x + y = 3 – \sqrt 5 } \cr
{ – x + 2y = 6 – 2\sqrt 5 } \cr} } \right.\)
Giải a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,7x – 2y = 2,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{17x – 20y = 28} \cr
{21x + 50y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x – 28} \over {20}}} \cr
{21x + 50.{{17x – 28} \over {20}} = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x – 28} \over {20}}} \cr
{42x + 85x – 140 = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x – 28} \over {20}}} \cr
{127x = 148} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x – 28} \over {20}}} \cr
{x = {{148} \over {127}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – {{52} \over {127}}} \cr
{x = {{148} \over {127}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = \(\left( {{{148} \over {127}}; – {{52} \over {127}}} \right)\)
b) \(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 5 x + 2} \right)x + y = 3 – \sqrt 5 } \cr
{ – x + 2y = 6 – 2\sqrt 5 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 – \sqrt 5 – \left( {\sqrt 5 – 2} \right)x} \cr
{ – x + 2\left[ {3 – \sqrt 5 – \left( {\sqrt 5 – 2} \right)x} \right] = 6 – 2\sqrt 5 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 – \sqrt 5 – \left( {\sqrt 5 + 2} \right)x} \cr
{ – x + 6 – 2\sqrt 5 – \left( {2\sqrt 5 + 4} \right)x = 6 – 2\sqrt 5 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 – \sqrt 5 – \left( {\sqrt 5 + 2} \right)x} \cr
{ – x\left( {2\sqrt 5 + 5} \right) = 0} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 – \sqrt 5 – \left( {\sqrt 5 + 2} \right)x} \cr
{x = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 – \sqrt 5 } \cr
{x = 0} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:(x; y) = \(\left( {0;3 – \sqrt 5 } \right)\).
Bài 18 trang 9 SBT Toán 9
Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{3ax – \left( {b + 1} \right)y = 93} \cr
{bx + 4ay = – 3} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (1; -5);
b) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {a – 2} \right)x + 5by = 25} \cr
{2ax – \left( {b – 2} \right)y = 5} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (3; -1)
Lời giải: a) Cặp (x; y) = (1; -5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = 88} \cr
{b – 20a = – 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a – 3} \cr
{3a + 5\left( {20a – 3} \right) = 88} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a – 3} \cr
{3a + 100a – 15 = 88} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a – 3} \cr
{103a = 103} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a – 3} \cr
{a = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 17} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 1 và hằng số b = 17.
b) Cặp (x; y) = (3; -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho:
Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a – 5b = 31} \cr
{6a + b = 7} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 – 6a} \cr
{3a – 5\left( {7 – 6a} \right) = 31} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 – 6a} \cr
{33a = 66} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 – 6a} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – 5} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 2 và hằng số b = -5.
Bài 19 trang 9 SBT Toán 9 tập 2
Tìm giá trị của a và b để hai đường thằng (d1): \(\left( {3a – 1} \right)x + 2by = 56\) và (d2): \({1 \over 2}ax – \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm M(2; -5).
Hướng dẫn: Hai đường thẳng (d1): \(\left( {3a – 1} \right)x + 2by = 56\) và (d2): \({1 \over 2}ax – \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {3a – 1} \right)x + 2by = 56} \cr
{{1 \over 2}ax – \left( {3b + 2} \right)y = 3} \cr} } \right.\)
Thay x = 2 và y = -5 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {3a – 1} \right)2 + 2b\left( { – 5} \right) = 56} \cr
{{1 \over 2}a.2 – \left( {3b + 2} \right).\left( { – 5} \right) = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a – 10b = 58} \cr
{a + 15b = – 7} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = – 7 – 15b} \cr
{3\left( { – 7 – 15b} \right) – 5b = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = – 7 – 15b} \cr
{ – 50b = 50} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = – 7 – 15b} \cr
{b = – 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 8} \cr
{b = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 8; b = -1.
Bài 20 trang 9
Tìm a và b:
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (-5; 3), \(B\left( {{3 \over 2}; – 1} \right)\);
b) Để đường thẳng \(ax – 8y = b\) đi qua điểm M (9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): \(2x + 5y = 17,\) (d2): \(4x – 10y = 14\)
Giải: a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và \(B\left( {{3 \over 2}; – 1} \right)\); nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
Điểm A: 3 = -5a + b
Điểm B: \( – 1 = {3 \over 2}a + b \Leftrightarrow 3a + 2b = – 2\)
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ – 5a + b = 3} \cr
{3a + 2b = – 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{3a + 2\left( {3 + 5a} \right) = – 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{13a = – 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{a = – {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – {1 \over {13}}} \cr
{a = – {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ số \(a = – {8 \over {13}};b = – {1 \over {13}}\)
Đường thẳng cần tìm \(y = – {8 \over {13}}x – {1 \over {13}}\)
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): \(2x + 5y = 17,\) (d2): \(4x – 10y = 14\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr
{4x – 10y = 14} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr
{2x – 5y = 7} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{2\left( {{{7 + 5y} \over 2}} \right) + 5y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{10y = 10} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Giao điểm của (d1) và (d2): A(6; 1)
Đường thẳng ax – 8y = b đi qua hai điểm M(9; -6) và A(6; 1) nên tọa độ của A và M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Điểm M: 9a + 48 = b
Điểm A: 6a – 8 = b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{9a + 48 = b} \cr
{6a – 8 = b} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a – 8} \cr
{9a + 48 = 6a – 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a – 8} \cr
{3a = – 56} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a – 8} \cr
{a = – {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – 120} \cr
{a = – {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số \(a = – {{56} \over 3};b = – 120\).
Bài 21 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9
Tìm giá trị của m:
a) Để hai đường thẳng (d1): \(5x – 2y = 3,\) (d2): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Để hai đường thẳng (d1): \(mx + 3y = 10\), (d2): \(x – 2y = 4\) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
Giải: a) Đường thẳng (d1): \(5x – 2y = 3,\) (d2): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên giao điểm có hoành độ bằng 0.
Ta có: B(0; y) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{5.0 – 2y = 3} \cr
{0 + y = m} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – {3 \over 2}} \cr
{m = – {3 \over 2}} \cr} } \right.\)
Vậy \(m = – {3 \over 2}\) thì (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung.
(d2): \(x + y = – {3 \over 2}\)
Vẽ (d2): Cho \(x = 0 \Rightarrow y = – {3 \over 2}\left( {0; – {3 \over 2}} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = – {3 \over 2}\left( { – {3 \over 2};0} \right)\)
Vẽ (d1): \(5x – 2y = 3\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = – {3 \over 2}\left( {0; – {3 \over 2}} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {3 \over 5}\left( {{3 \over 5};0} \right)\)
b) Đường thẳng (d1): mx + 3y = 10 và đường thẳng (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành nên tung độ giao điểm bằng 0.
Ta có: A(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{mx + 3.0 = 10} \cr
{x – 2.0 = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{mx = 10} \cr
{x = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m = {5 \over 2}} \cr
{x = 4} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(m = {5 \over 2}\) thì (d1) cắt (d2) tại 1 điểm trên trục hoành.
(d1): \({5 \over 2}x + 3y = 10 \Leftrightarrow 5x + 6y = 20\)
Vẽ (d1): Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {{10} \over 3}\left( {0;{{10} \over 3}} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\left( {4;0} \right)\)
Vẽ \(\left( {{d_2}} \right):x – 2y = 4\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = – 2\left( {0; – 2} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\left( {4;0} \right)\).
Bài 22 trang 10
Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) \(\left( {{d_1}} \right):5x – 2y = c\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2,\) biết rằng (d1) đi qua điểm A (5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3);
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = – 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x – by = 5,\) biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)
Đáp án: a) (d1) \(5x – 2y = c\) đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\(5.5 – 2.\left( { – 1} \right) = c \Rightarrow c = 27\)
Phương trình đường thẳng (d1): \(5x – 2y = 27\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2\) đi qua điểm B( -7; 3) nên tọa độ của B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\( – 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = 2\)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x – 2y = 27} \cr
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{5\left( {2 – 3y} \right) – 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{10 – 15y – 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{ – 17y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{y = – 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1)
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = 3\) đi qua điểm M (3; 9) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \(a.3 + 2.9 = – 3 \Leftrightarrow 3a = – 21 \Leftrightarrow a = – 7\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right): – 7x + 2y = – 3\)
\(\left( {{d_2}} \right):3x – by = 5\) đi qua điểm N (-1; 2) nên tọa độ của N nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \(3\left( { – 1} \right) – b.2 = 5 \Leftrightarrow – 2b = 8 \Leftrightarrow b = – 4\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 4y = 5\)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ – 7x + 2y = – 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x – 3} \over 2}} \cr
{3x + 4.{{7x – 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x – 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x – 3} \over 2}} \cr
{x = {{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{11} \over {17}}} \cr
{y = {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ của điểm (d1) và (d2) là \(\left( {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right)\).
Bài 23 trang 10 SBT Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x – 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y – 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y – 6} \right) = \left( {6x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x – 1} \right) = \left( {x – y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y – x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y – 2} \right) – 2xy} \cr} } \right.\)
Giải: a) \(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x – 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y – 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y – 6} \right) = \left( {6x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2xy + 5y – 6y – 15 = 2xy – 2x + 7y – 7} \cr
{12xy – 24x + 3y – 6 = 12xy + 18x – 2y – 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x – 13y = 8} \cr
{ – 42x + 5y = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{7x – 13.{{42x + 3} \over 5} = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{35x – 546x – 39 = 40} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{ – 511x = 79} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{x = – {{79} \over {511}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – {{51} \over {73}}} \cr
{x = – {{79} \over {511}}} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { – {{79} \over {511}}; – {{51} \over {73}}} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x – 1} \right) = \left( {x – y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y – x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y – 2} \right) – 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x^2} – x + xy – y = {x^2} + x – xy – y + 2xy} \cr
{{y^2} + y – xy – x = {y^2} – 2y + xy – 2x – 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ – x – y = x – y} \cr
{y – x = – 2x – 2y} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 0} \cr
{x + 3y = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{3y = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{y = 0} \cr} } \right. \cr} \)
Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\).
Bài 24 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} – {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} – {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)
c)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x – y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} – {1 \over {x – y}} = – {3 \over 8}} \cr} } \right.\)
d)
\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x – 3y}} + {5 \over {3x + y}} = – 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} – {5 \over {2x – 3y}} = 21} \cr} } \right.\)
e)
\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x – y + 2}} – {5 \over {x + y – 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x – y + 2}} + {2 \over {x + y – 1}} = 4} \cr} } \right.\)
Giải
a) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {4 \over 5}} \cr
{a – b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b + {1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{2b = {3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 2}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = {{10} \over 3}} \cr} } \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)
b) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\) ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a – 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{4a + 9.{{15a – 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{28a + 135a – 81 = 245} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{163a = 326} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 2} \cr
{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {1 \over 2}} \cr
{y = {1 \over 3}} \cr} } \right.\)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)
c) Đặt \({1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x – y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne \pm y\). Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {5 \over 8}} \cr
{a – b = – {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b – {3 \over 8}} \cr
{b – {3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b – {3 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr
{{1 \over {x – y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr
{x – y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (5; 3).
d) Đặt \({1 \over {2x – 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne {3 \over 2}y;x \ne – {1 \over 3}y.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = – 2} \cr
{3b – 5a = 21} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{4a + 5.{{5a + 21} \over 3} = – 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{12a + 25a + 105 = – 6} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{37a = – 111} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{a = – 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr
{a = – 3} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {2x – 3y}} = – 3} \cr
{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x – 3y = – {1 \over 3}} \cr
{3x + y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{2x – 3\left( {{1 \over 2} – 3x} \right) = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{2x + 9x = – {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{11x = {7 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – {7 \over {22}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {2 \over {11}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị \(x = {7 \over {66}};y = {2 \over {11}}\) thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)\)
e) Đặt \({1 \over {x – y + 2}} = a;{1 \over {x + y – 1}} = b.\) Điều kiện \(x – y + 2 \ne 0;x + y – 1 \ne 0.\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a – 5b = 4,5} \cr
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{7a – 5.{{4 – 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{14a – 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{29a = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x – y + 2}} = 1} \cr
{{1 \over {x + y – 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x – y + 2 = 1} \cr
{x + y – 1 = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{y – 1 + y – 1 = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{2y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2).
Câu 3.1, 3.2 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Câu 3.1
Tìm a và b để hệ
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = 17} \cr
{3bx + ay = – 29} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (1; -4)
Giải: Cặp (x; y) = (1; -4) là nghiệm của hệ phương trình. Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a – 4b = 17} \cr
{3b – 4a = – 29} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{3b – 4\left( {4b + 17} \right) = – 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{3b – 16b – 68 = – 29} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{ – 13b = 39} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 4b + 17} \cr
{b = – 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 5} \cr
{b = – 3} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 5; b = -3
Câu 3.2. Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{2x – y = 5} \cr
{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + 2y – 5} \right) = 0} \cr} } \right.\)
Giải: \(\left\{ {\matrix{
{2x – y = 5} \cr
{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + 2y – 5} \right) = 0} \cr} } \right.\)
Ta đưa về giải hai hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{2x – y = 5} \cr
{x + y + 2 = 0} \cr} } \right.\)
hoặc
\(\left\{ {\matrix{
{2x – y = 5} \cr
{x + 2y – 5 = 0} \cr} } \right.\)
Giải hệ:
\(\left\{ {\matrix{
{2x – y = 5} \cr
{x + y + 2 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x – 5} \cr
{x + 2x – 5 + 2 = 0} \cr} } \right.\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x – 5} \cr
{3x – 3 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x – 5} \cr
{x = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – 3} \cr
{x = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Giải hệ:
\(\left\{ {\matrix{
{2x – y = 5} \cr
{x + 2y – 5 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x – 5} \cr
{x + 2\left( {2x – 5} \right) – 5 = 0} \cr} } \right.\)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{y = 2x – 5} \cr
{5x – 15 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 2x – 5} \cr
{x = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 1} \cr
{x = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
\(\left( {{x_1};{y_1}} \right) = \left( {1; – 3} \right)\) và \(\left( {{x_2};{y_2}} \right) = \left( {3;1} \right)\).
Trả lời