Giải SGK Toán 11 Bài 1: Dãy số – Cánh Diều

GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 11 Bài 1: Dãy số – SÁCH GIÁO KHOA Cánh Diều

================
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Dãy số

Bài tập
Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 1:Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u_ncho bởi công thức sau:
a) u_n= 2n²+ 1;
b) u_n=$\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$;
c) u_n=$\frac{2^n}{n}$;
d) u_n=${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$.
Lời giải:
a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (u_n) là: u₁= 2.1²+ 1 = 3; u₂= 2.2²+ 1 = 9; u₃= 2.3²+ 1 = 19; u₄= 2.4²+ 1 = 33; u­₅= 2.5²+ 1 = 51.
b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n=$\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$là:
$u_1=\frac{{\left(-1\right)}^1}{2.1-1}=\frac{-1}{1}=–1;$
$u_2=\frac{{\left(-1\right)}^2}{2.2-1}=\frac{1}{3};$
$u_3=\frac{{\left(-1\right)}^3}{2.3-1}=–\frac{1}{5};$
$u_4=\frac{{\left(-1\right)}^4}{2.4-1}=\frac{1}{7};u_5=\frac{{\left(-1\right)}^5}{2.5-1}=-\frac{1}{9}$
c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy u_n=$\frac{2^n}{n}$là:
u₁=$\frac{2^1}{1}$= 2 ; u₂=$\frac{2^2}{1}$=4; u₃=$\frac{2^3}{1}$= 8 ; u₄=$\frac{2^4}{1}$= 16 ; u₅=$\frac{2^5}{1}$= 32 .
d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n=${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$là:
u₁=${\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1$= 2; u₂=${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$; u₃=${\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$; u₄=${\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}$; u₅=${\left(1+\frac{1}{5}\right)}^5=\frac{7776}{3125}$.
Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: a) Gọi u_nlà số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (u_n).
b) Gọi v_nlà tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v_n).

Lời giải:
a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u₁= 1;
Số chấm ở hàng thứ hai là: u₂= 2;
Số chấm ở hàng thứ ba là: u₃= 3;
Số chấm ở hàng thứ tư là: u₄= 4;
Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u_n= n.
b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v₁= 1 = 1³;
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v₂= 8 = 2³;
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v₃= 27 = 3³;
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v₄= 64 = 4³;
Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: v_n= n³.
Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1:Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:
a)$u_n=\frac{n-3}{n+2}$;
b)$u_n=\frac{3^n}{2^n.n!}$;
c) u_n= (– 1)ⁿ.(2ⁿ+ 1).
Lời giải:
a) Ta có:$u_{n+1}=\frac{n+1-3}{n+1+2}=\frac{n-2}{n+3}$
Xét hiệu$u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{n^2-4-n^2+9}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{5}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.
Suy ra u_n+1> u_n
Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.
b) Ta có:$u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}.\left(n+1\right)!}=\frac{{3.3}^n}{2\left(n+1\right){.2}^n.n!}=\frac{3}{2\left(n+1\right)}.u_n$
Vì n∈ℕ^*nên$\frac{3}{2\left(n+1\right)}<\frac{3}{2}$suy ra u_n+1< u_n.
Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
c) Ta có: u_n+1= (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹+ 1)
+) Nếu n chẵn thì u_n+1= – (2.2ⁿ+ 1) và u_n= 2ⁿ+ 1. Do đó u_n+1< u_n.
Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.
+) Nếu n lẻ thì u_n+1= 2.2ⁿ+ 1 và u_n= – (2ⁿ+ 1). Do đó u_n+1> u_n.
Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.
Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) u_n= n²+ 2;
b) u_n= – 2n + 1;
c)$u_n=\frac{1}{n^2+n}$.
Lời giải:
a) Ta có: n∈ℕ^*nên n ≥ 1 suy ra n²+ 2 ≥ 3
Do đó u_n≥ 3
Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.
b) Ta có: n∈ℕ^*nên n ≥ 1 suy ra u_n= – 2n + 1 ≤ – 1
Do đó u_n≤ – 1.
Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi – 1.
c) Ta có:$u_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Vì n∈ℕ^*nên n ≥ 1 suy ra$\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$> 0
Ta lại có:$\frac{1}{n}\le$1 và$-\frac{1}{n+1}\le -\frac{1}{2}$suy ra$u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\le 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Do đó 0<$u_n\le \frac{1}{2}$
Vậy dãy số (u_n) bị chặn.
Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1:Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi$\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1 với mọi n∈ℕ^*.
Lời giải:
+) Nếu$\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1 với mọi n∈ℕ^*thì u_n+1> u_n. Do đó dãy số (u_n) là dãy số tăng.
+) Nếu (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1> u_ndo đó$\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1.
Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1:Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5 a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của P_ntính theo n.
Lời giải:
a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:
P₁= 100 + 100.0,5 b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
P₂= 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5 Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
P₃= (100,5 + 6)(1 + 0,5 = 100,5.(1 + 0,5 c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:
P₄= (100,5 + 6)(1 + 0,5 = 100,5.(1 + 0,5 Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:
P_n= 100,5.(1 + 0,5

==== ~~~~~~ ====

=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 11 – Cánh Diều