Giải bài tập cuối chương 2 (Kết nối)
Giải bài 2.7 trang 31 – Toán 10 KN (On C2)
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(x + y > 3\)
B. \({x^2} + {y^2} \le 4\)
C. \(\left( {x – y} \right)\left( {3x + y} \right) \ge 1\)
D. \({y^3} – 2 \le 0\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát:
\(ax + by \le c\)(\(ax + by \ge c\), \(ax + by < c\), \(ax + by > c\)
Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Hướng dẫn giải
Đáp án A: \(x + y > 3\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có a=1, b=1, c=3
Đáp án B: \({x^2} + {y^2} \le 4\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có \({x^2},{y^2}\)
Đáp án C: \(\left( {x – y} \right)\left( {3x + y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 3{x^2} – 2xy – {y^2} \ge 1\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có \({x^2},{y^2}\)
Đáp án D: \({y^3} – 2 \le 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có \({y^3}\).
Chọn A
Giải bài 2.8 trang 31 – Toán 10 KN (On C2)
Cho bất phương trình 2x+y>3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm
C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm
D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
2x + y > 3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Mà bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.
Hướng dẫn giải
Do đó bất phương trình đã cho có vô số nghiệm
Chọn C
Giải bài 2.9 trang 31 – Toán 10 KN (On C2)
Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x – y < 3\)?
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
– Kiểm tra đường thẳng x-y=3 là đường thẳng nào và loại trừ các đáp án không chính xác.
– Kiểm tra O có thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho hay không và chọn đáp án đúng.
Hướng dẫn giải
Xét đường thẳng x-y=3:
Cho x=0=>y=-3 => Đường thẳng đi qua A(0;-3)
=> Loại đáp án A và B vì hai đường thẳng trong hình không đi qua A.
Thay tọa độ O vào biểu thức x-y ta được: x-y=0-0=0 < 3
=> Điểm O thỏa mãn bất phương trình.
=> Điểm O thuộc miền biểu diễn của bất phương trình x-y<3
Chọn D vì điểm O nằm ở phần không bị gạch chéo.
Giải bài 2.10 trang 31 – Toán 10 KN (On C2)
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x – y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {y^3} < 0\\x + y > 3\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 0\\{y^2} + 3 < 0\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l} – {x^3} + y < 4\\x + 2y < 1\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Kiểm tra từng đáp án và chọn.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hướng dẫn giải
Ta thấy hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x – y < 0\\2y \ge 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x – y < 0;2y \ge 0\).
Đáp án B loại vì \(3x + {y^3} < 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đáp án C loại vì \({y^2} + 3 < 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đáp án D loại vì \( – {x^3} + y < 4\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải bài 2.11 trang 32 – Toán 10 KN (On C2)
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x – y < – 3\\2y \ge – 4\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?
A. (0;0)
B. (-2;1)
C. (3;-1)
D. (-3;1)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Thay tọa độ các điểm vào, nếu điểm nào thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ.
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ điểm (0;0) vào ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}0 – 0 < – 3\left( {ktm} \right)\\2.0 \ge – 4\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
=> Loại A
Thay tọa độ điểm (-2;1) vào ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} – 2 – 1 < – 3\left( {ktm} \right)\\2.1 \ge – 4\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
=> Loại B.
Thay tọa độ điểm (3;-1) vào ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3 – \left( { – 1} \right) < – 3\left( {ktm} \right)\\2.\left( { – 1} \right) \ge – 4\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Loại C
Thay tọa độ điểm (-3;1) vào ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} – 3 – 1 < – 3\left( {tm} \right)\\2.1 \ge – 4\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Chọn D.
Giải bài 2.12 trang 32 – Toán 10 KN (On C2)
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{x + y}}{2} \ge \dfrac{{2x – y + 1}}{3}\) trên mặt phẳng tọa độ.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
– Thu gọn bất phương trình về dạng tổng quát.
– Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình:
– Vẽ đường thẳng d
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{x + y}}{2} \ge \frac{{2x – y + 1}}{3}\\
\Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) \ge 2\left( {2x – y + 1} \right)\\
\Leftrightarrow x – 5y \le – 2
\end{array}\)
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:
– Vẽ đường thẳng d: x – 5y = – 2.
– Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 – 5.0 = 0 > – 2.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (kể cả đường thẳng d) không chứa gốc tọa độ (miền không bị gạch).
Giải bài 2.13 trang 32 – Toán 10 KN (On C2)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 1\\2x – y \ge 3\end{array} \right.\) trên mặt phẳng tọa độ
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình \(x + y < 1\) và \(2x – y \ge 3\)
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(ax + by = c\)
Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.
Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.
Hướng dẫn giải
Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x + y < 1 được xác định như sau:
– Vẽ đường thẳng d: x + y = 1.
– Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 < 1.
Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ.
Xác định miền nghiệm D2 của bất phương trình 2x – y ≥ 3 được xác định như sau:
– Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = 3.
– Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 2.0 – 0 = 0 < 3.
Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ (kể cả đường thẳng d’) và không chứa gốc tọa độ.
Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch trong hình vẽ.
Giải bài 2.14 trang 32 – Toán 10 KN (On C2)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y – 2x \le 2\\y \le 4\\x \le 5\\x + y \ge – 1\end{array} \right.\) trên mặt phẳng tọa độ.
Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = – x – y\) với \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ trên.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
– Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình \(y – 2x \le 2\); \(y \le 4\); \(x \le 5\) và \(x + y \ge – 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(ax + by = c\)
Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.
Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.
– Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = – x – y\)
Bước 1: Xác định các đỉnh của đa giác
Bước 2: Tính giá trị \(F\left( {x;y} \right) = – x – y\) tại các đỉnh đó và kết luận.
Hướng dẫn giải
Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình y – 2x ≤ 2 được xác định như sau:
– Vẽ đường thẳng d: -2x + y = 2.
– Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính -2.0 + 0 = 0 < 2.
Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ.
Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y = 4 chứa gốc tọa độ.
Miền nghiệm D3 của bất phương trình x ≤ 5 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x = 5 chứa gốc tọa độ.
Xác định miền nghiệm D4 của bất phương trình x + y ≥ – 1 được xác định như sau:
– Vẽ đường thẳng d’: x + y = -1.
– Ta lấy gốc tọa độ O(0;0) và tính 0 + 0 = 0 > -1.
Do đó miền nghiệm D4 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d’ chứa gốc tọa độ.
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với tọa độ các điểm là: A(-1;0), B(1;4), C(5;4), D(5;-6).
Tính giá trị biểu thức F(x;y) = – x – y tại các điểm A, B, C, D
F(-1;0) = -(-1) – 0 = 1;
F(1;4) = – 1 – 4 = -5;
F(5;4) = – 5 – 4 = -9;
F(5;-6) = – 5 – (-6) = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F là 1 tại (x;y) = (-1;0) hoặc (x;y) = (5;-6) và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là -9 tại (x;y) = (5;4)
Giải bài 2.15 trang 32 – Toán 10 KN (On C2)
Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi x là số tiền mua trái phiếu ngân hàng và y là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp và biểu diễn các dữ kiện bài cho thành hệ bất phương trình tương ứng.
Bước 2: Lập biểu thức về lợi nhuận thu được F theo x và y. Từ đó tìm giá trị lớn nhất của F.
Hướng dẫn giải
|
Trái phiếu chính phủ |
Trái phiếu ngân hàng |
Trái phiếu doanh nghiệp |
Lãi suất |
7%/năm |
8%/năm |
12%/năm |
Bước 1:
1,2 tỉ đồng=1200 (triệu đồng)
Gọi x là số tiền mua trái phiếu ngân hàng và y là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp.
Khi đó \(x \ge 0,y \ge 0\).
Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu, trái phiếu chính phủ nên số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ là \(1200 – x – y\) (triệu đồng)
Số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: \(1200 – x – y \ge 3x \Leftrightarrow 4x + y \le 1200\)
Bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên \(y \le 200\)
Từ điều kiện của bài toán ta có số tiền bác An đầu tư trái phiếu phải thỏa mãn hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\4x + y \le 1200\\y \le 200\end{array} \right.\)
Xác định miền nghiệm là miền tứ giác OABC với:
O(0;0); A(3
00;0); B(250;200); C(0;200).
Bước 2: Lợi nhuận thu được sau một năm là
\(\begin{array}{l}F\left( {x;y} \right) = \left( {1200 – x – y} \right).7\% + x.8\% + y.12\% \\ = 84 + 0,01x + 0,05y\end{array}\)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\4x + y \le 1200\\y \le 200\end{array} \right.\)
Thay tọa độ các điểm O, A, B, C vào biểu thức F(x;y) ta được:
\(F\left( {0;0} \right) = 80\)
\(F\left( {300;0} \right) = 84 + 0,01.300 + 0,05.0 = 87\)
\(F\left( {250;200} \right) = 84 + 0,01.250 + 0,05.200 = 96,5\)
\(F\left( {0;200} \right) = 84 + 0,01.0 + 0,05.200 = 94\)
=> F đạt giá trị lớn nhất là 96,5 nếu x=250 và y=200.
Vậy bác An nên đầu tư 250 triệu đồng trái phiếu ngân hàng, 200 triệu trái phiếu doanh nghiệp và 750 trái phiếu chính phủ.
Chú ý
Đổi về đơn vị triệu đồng.
Giải bài 2.16 trang 32 – Toán 10 KN (On C2)
Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.
Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây.
Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?
Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo x (giây) trên đài phát thanh và y (giây) trên truyền hình là F(x, y) = x + 8y. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x, y) với x, y thoả mãn các điều kiện trong đề bài.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
– Gọi x và y là số giây quảng cáo trên đài phát thanh và trên truyền hình.
– Dựa vào số tiền dự chi tối đa, thời lượng lập hệ bất phương trình tương ứng.
– Lập biểu thức F biểu diễn hiệu quả quảng cáo theo x và y.
– Tìm giá trị lớn nhất của hàm F(x;y) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.
Hướng dẫn giải
Đài phát thanh |
Truyền hình |
|
Chi phí nhận quảng cáo |
80 nghìn đồng /giây |
400 nghìn đồng/giây |
Hiệu quả quảng cáo |
1 (đơn vị) |
8 (đơn vị) |
Gọi x và y là số giây quảng cáo trên đài phát thanh và trên truyền hình.
Khi đó \(x \ge 0;y \ge 0\)
160 triệu đồng=160000 (nghìn đồng)
Chi phí quảng cáo x giây trên đài phát thanh và y giây trên truyền hình là \(80x + 400y\)(nghìn đồng)
Vì công ty dự chi tối đa 160 triệu đồng nên ta có
\(80x + 400y \le 160000\)\( \Leftrightarrow x + 5y \le 2000\)
Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây nên ta có: \(x \le 900\)
Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây nên ta có: \(y \le 360\)
Ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 0}\\
{y \ge 0}\\
{x + 5y \le 2000}\\
{x \le 900}\\
{y \le 360}
\end{array}} \right.\)
Xác định miền nghiệm là miền ngũ giác OABCD với:
A(900;0); B(900;220); C(200;360); D(0;400)
Hiệu quả quảng cáo là: \(F\left( {x;y} \right) = x + 8y\)
Ta có:
\(F\left( {0;0} \right) = 0\)
\(F\left( {900;0} \right) = 900 + 8.0 = 900\)
\(F\left( {900;220} \right) = 900 + 8.220 = 2660\)
\(F\left( {200;360} \right) = 3080\)
\(F\left( {0;400} \right) = 3200\)
Vậy công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên đài phát thanh là 0 giây và trên truyền hình là 400 giây thì hiệu quả nhất.
Trả lời