ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Năm học 2018 – 2019
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1. (1,5 điểm) Cho các phương trình $x^2-x+m=0 \ (1)$ và $mx^2-x+1=0 \ (2)$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để các phương trình $(1)$ và $(2)$ đều có $2$ nghiệm dương phân biệt.
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi $x_1$, $x_2$ là nghiệm của $(1)$ và $x_3$, $x_4$ là nghiệm của $(2)$.
Chứng minh rằng $x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_3x_4x_1+x_4x_1x_2 > 5$
Bài 2. (2 điểm) Cho $a$, $b$ là hai số nguyên thỏa mãn $a^3+b^3 > 0$.
a) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a + b > 0$.
b) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a^2+b^2$.
c) Tìm tất cả các bộ số $x$, $y$, $z$, $t$ nguyên sao cho $x^3+y^3=z^2+t^2$ và $z^3+t^3=x^2+y^2$.
Bài 3. (2 điểm) Cho $A_n = 2018^n + 2032^n – 1964^n – 1984^n$ với $n$ là số tự nhiên.
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ thì $A_n$ chia hết cho $51$.
b) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $A_n$ chia hết cho $45$.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Một đường tròn qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$; $BF$ cắt $CE$ tại $D$. Lấy điểm $K$ sao cho tứ giác $DBKC$ là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng $\triangle{KBC}$ đồng dạng với $\triangle{DFE}$, $\triangle{AKC}$ đồng dạng với $\triangle{ADE}$.
b) Hạ $DM$ vuông góc với $AB$, $DN$ vuông góc với $AC$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $AK$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $MN$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ đi qua trung điểm của cạnh $BC$.
d) Đường thẳng $IJ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$ tại $T$ ($T \ne I$). Chứng minh rằng $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DTJ$.
Bài 5. (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có $8$ học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng $3$ học sinh, (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất là một học sinh.
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ $4$ nhóm tốp ca trở lên.
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
=======================
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KIẾU Năm học 2018 – 2019
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Môn thi: TOÁN (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1: (1 điểm) Biết $0 < x \leq y$ và \[ \left( \dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 + (\sqrt{x} – \sqrt{y})^2}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} – \sqrt{y}) + 2(x+2y)} \right) + \left( \dfrac{y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} + \dfrac{x}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \right) = \dfrac{5}3. \]
Tính $\dfrac{x}{y}$.
Bài 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình $\dfrac{2x^2(7-x)}{\sqrt{3-x}} = x(x-7)$
b) Giải hệ phương trình $\begin{cases} (x+3)(x-1)=(y-2)(x+3) \\ (x-1)\sqrt{y^2-5y+8} = (y-2)^2 \end{cases}$
Bài 3: (2 điểm)
Cho phương trình $x^2-x+3m-11=0 \; (1)$
a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó.
b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ sao cho $2017x_1 + 2018x_2 = 2019$.
Bài 4: (2 điểm)
a) Đầu tháng 5 năm 2018, khi đang vào vụ thu hoạch, giá dưa bất ngờ giảm mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán $30%$ số dưa hấu thu hoạch được với giá $1500$ đồng mội ki-lô-gram ($1500đ/kg$), sau đó nhờ phong trào “giải cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá $3500đ/kg$, nếu trừ tiền đầu tư thì lại được $9$ triệu đồng (không kể công chăm sóc hơn hai tháng của cả nhà). Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư (hạt giống, phân bóng, … hết $4$ triệu đồng và thu hoạch được $2$ tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dưa hấu?
b) Một khu đất hình chữ nhật $ABCD$ ($AB < AD$) có chu vi $240$ mét được chia thành hai phần gồm khu đất hình chữ nhật $ABNM$ làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $BC$). Theo quy hoạch trang trại nuôi được $2400$ con gà, bình quân mội con gà cần một mét vuông của diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp ba lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi của khu đất làm vườn thả.
Bài 5: (3 điểm) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ tâm $O$, bán kính $R$, $\widehat{CAD}=45^\circ$, $AC$ vuông góc với $BD$ và cắt $BD$ tại $I$, $AD > BC$. Dựng $CK$ vuông góc với $AD$ ($K \in AD$), $CK$ cắt $BD$ tại $H$ và cắt $(T)$ tại $E$ ($E \not\equiv C$).
a) Tính số đo góc $\widehat{COD}$. Chứng minh các điểm $C$, $I$, $K$, $D$ cùng thuộc một đường tròn và $AC = BD$.
b) Chứng minh $A$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHE$. Tính $IK$ theo $R$.
c) $IK$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh $O$ là trực tâm tam giác $AIK$ và $CK \cdot CB = CF \cdot CD$.
———- Hết ———-
————-
các bạn xem online và tải về:
——————
————–
————–
Để lại một bình luận