I . Phương pháp giải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung để rút gọn biểu thức.
B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn phân thức:
a) $\frac{a^{4}-3a^{2}+1}{a^{4}-a^{2}-2a-1}$
b) $\frac{2y^{2}+5y+2}{2y^{3}+9y^{2}+12y+4}$
a) $\frac{a^{4}-3a^{2}+1}{a^{4}-a^{2}-2a-1}$
= $\frac{a^{4}-3a^{2}+1}{a^{4}-(a^{2}+2a+1)}$
= $\frac{a^{4}-2a^{2}+1-a^{2}}{a^{4}-(a+1)^{2}}$
= $\frac{(a^{2}-1)^{2}-a^{2}}{a^{4}-(a+1)^{2}}$
= $\frac{(a^{2}-1+a)(a^{2}-1-a)}{(a^{2}+a+1)(a^{2}-a-1)}$
= $\frac{a^{2}-1+a}{a^{2}+a+1}$
b) $\frac{2y^{2}+5y+2}{2y^{3}+9y^{2}+12y+4}$
= $\frac{(2y^{2}+4y)+(y+2)}{(2y^{3}+4y2)+(5y^{2}+10y)+(2y+4)}$
= $\frac{2y(y+2)+(y+2)}{2y^{2}(y+2)+5y(y+2)+2(y+2)}$
= $\frac{(y+2)(2y+1))}{(y+2)(2y^{2}+5y+2)}$
= $\frac{(2y+1)}{(2y+1)(y+2)}$
= $\frac{1}{(y+2)}$ với đk : $y\neq -2$.
Bài 2: Chứng minh : $\frac{a^{3}-4a^{2}-a+4}{a^{3}-7a^{2}+14a-8}=\frac{a+1}{a-2}$
Ta có VT = $\frac{a^{3}-4a^{2}-a+4}{a^{3}-7a^{2}+14a-8}$
= $\frac{(a^{3}-a)-(4a^{2}-4)}{(a^{3}-8)-(7a^{2}-14a)}$
== $\frac{a(a^{2}-1)-4(a^{2}-1)}{(a-2)(a^{2}+2a+4)-7a(a-2)}$
= $\frac{(a-4)(a^{2}-1)}{(a-2)(a^{2}-5a+4)}$
= $\frac{(a-4)(a+1)(a-1)}{(a-2)(a-4)(a-1)}$
= $\frac{a+1}{a-2}$.
Nhận xét : VT = VP = $\frac{a+1}{a-2}$.
=> (đpcm).
Bài 3: Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x :
$A=\frac{(x^{2}+a)(1+a)+a^{2}x^{2}+1}{(x^{2}-a)(1-a)+a^{2}x^{2}+1}$
$A=\frac{(x^{2}+a)(1+a)+a^{2}x^{2}+1}{(x^{2}-a)(1-a)+a^{2}x^{2}+1}$
<=> $A=\frac{x^{2}+x^{2}a+a+a^{2}+a^{2}x^{2}+1}{x^{2}-x^{2}a-a+a^{2}+a^{2}x^{2}+1}$
<=> $A=\frac{x^{2}(1+a+a^{2})+(1+a+a^{2})}{x^{2}(1-a+a^{2})+(1-a+a^{2})}$
<=> $A=\frac{(x^{2}+1)(1+a+a^{2})}{(x^{2}+1)(1-a+a^{2})}$
<=> $A=\frac{1+a+a^{2}}{1-a+a^{2}}$
Nhận xét : A không có sự xuất hiện của ẩn ( x ).
Vậy A không không phụ thuộc vào ẩn ( x ).
Bài 4: Tính giá trị của phân thức sau :
a) $C=\frac{x^{3}+x^{2}-6x}{x^{3}-4x}$ với x = 2008.
b) $C=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$ với a + b + c = 5.
a) $C=\frac{x^{3}+x^{2}-6x}{x^{3}-4x}$
<=> $C=\frac{x(x^{2}+x-6)}{x(x^{2}-4)}$
<=> $C=\frac{x^{2}-2x+3x-6}{(x+2)(x-2)}$
<=> $C=\frac{x(x-2)+3(x-2)}{(x+2)(x-2)}$
<=> $C=\frac{x+3}{x+2}$
Với x = 2008 ta có : $C=\frac{2008+3}{2008+2}=\frac{2011}{2010}$
Vậy $C=\frac{2011}{2010}$ .
b) $C=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$
Ta có : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3b^{2}a-3a^{2}b-3b^{2}a-3abc$
= $(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b+c)$
= $(a+b+c)\left [ (a+b)^{2} -(a+b)c+c^{2}\right ]-3ab(a+b+c)$
= $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
=> $C=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$
= $C=\frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$
= a + b + c
Mà a + b + c = 5 => C = 5.
Vậy C = 5.
Bài 5: Cho biểu thức : $A=\frac{mn^{2}+n^{2}.(n^{2}-m)+1}{m^{2}n^{4}+2n^{4}+m^{2}+2}$
a) Rút gọn A.
b) CMR : A dương.
c) Với giá trị nào của m thì A (max).
a) $A=\frac{mn^{2}+n^{2}.(n^{2}-m)+1}{m^{2}n^{4}+2n^{4}+m^{2}+2}$
<=> $A=\frac{mn^{2}+n^{4}-mn^{2}+1}{m^{2}n^{4}+m^{2}+2n^{4}+2}$
<=> $A=\frac{n^{4}+1}{(n^{4}+1)(m^{2}+2)}$
<=> $A=\frac{1}{m^{2}+2}$
b) Ta có : $m^{2}\geq 0 ,\forall m$
=> $m^{2}+2> 0 ,\forall m$
=> $\frac{1}{m^{2}+2}> 0 ,\forall m$
Vậy $A> 0 ,\forall m$.
c) Ta có : $m^{2}\geq 0 ,\forall m$
=> $m^{2}+2\geq 2 ,\forall m$
=> $\frac{1}{m^{2}+2}\leq \frac{1}{2} ,\forall m <=> A\leq \frac{1}{2}$
Vậy A = max <=> $ A=\frac{1}{2}$
<=> $m^{2}+2= 2<=> m=0$.
Bài 6: Với a , b , c , x, y , z thỏa mãn : $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$
Tính giá trị của $A=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$
Ta có : $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
<=> $(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^{2}=1$
<=> $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}+\frac{2xy}{ab}+\frac{2xz}{ac}+\frac{2yz}{bc}=1$
<=> $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}+\frac{2xyz}{abc}(\frac{c}{z}+\frac{b}{y}+\frac{a}{x})=1$
Mà $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$
=> $A=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ = 1.
Trả lời