Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}a\), thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) , \(AB = a\) . Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}a\) , thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{6}{a^3}\) .

 B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^3}\) .

 C. \(\sqrt 2 {a^3}\) .

 D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}{a^3}\).

Lời giải:

Chọn B

Kẻ \(AH \bot A’B\) , \(H \in A’B\) .

Vì \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA’\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {ABB’A’} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot AH\) .

Ta có \(BC \bot AH,{\rm{ }}AH \bot A’B \Rightarrow AH \bot \left( {A’BC} \right)\) . Do đó \(d\left( {A,(A’BC)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .

Xét tam giác vuông \(AA’B\) vuông tại \(A\) , ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} – \frac{1}{{A{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{9}{{6{a^2}}} – \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow A’A = a\sqrt 2 \) .

Vậy \({V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A = \frac{1}{2}a.a.a\sqrt 2  = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\) .