Giải bài tập bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ (Toán 7 Chân trời)

Giải bài tập bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ (Toán 7 Chân trời)

============

 

Giải bài 1 trang 20 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ lớn hơn 1:

\(0,49;\,\frac{1}{{32}};\,\frac{{ – 8}}{{125}};\,\frac{{16}}{{81}};\,\frac{{121}}{{169}}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}0,49 = {\left( {0,7} \right)^2};\\\,\frac{1}{{32}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5};\\\,\frac{{ – 8}}{{125}} = {\left( {\frac{{ – 2}}{5}} \right)^3};\\\,\frac{{16}}{{81}} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^2};\\\,\frac{{121}}{{169}} = {\left( {\frac{{11}}{{13}}} \right)^2}.\end{array}\)

Giải bài 2 trang 20 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

a) Tính: \({\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^5};{\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^4};{\left( { – 2\frac{1}{4}} \right)^3};{\left( { – 0,3} \right)^5};{\left( { – 25,7} \right)^0}\).

b) Tính: \({\left( { – \frac{1}{3}} \right)^2};{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^3};{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^4};{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^5}\).

Hãy rút ra nhận xét về dấu của luỹ thừa với số mũ chẵn và luỹ thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm.

Phương pháp giải

Áp dụng: \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\)

Từ đó nhận xét về dấu của kết quả về dấu của luỹ thừa với số mũ chẵn và luỹ thừa với số mũ lẻ của một số hữu tỉ âm.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^5} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^5}}}{{{2^5}}} = \frac{{ – 1}}{{32}};\\{\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^4} = \frac{{{{\left( { – 2} \right)}^4}}}{{{3^4}}} = \frac{{16}}{{81}};\\{\left( { – 2\frac{1}{4}} \right)^3} = {\left( {\frac{{ – 9}}{4}} \right)^3} = \frac{{{{\left( { – 9} \right)}^3}}}{{{4^3}}} = \frac{{729}}{{64}};\\{\left( { – 0,3} \right)^5} = {\left( {\frac{{ – 3}}{{10}}} \right)^5} = \frac{{ – 243}}{{100000}};\\{\left( { – 25,7} \right)^0} = 1\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9};\\{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{{ – 1}}{{27}};\\{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^4} = \frac{1}{{81}};\\{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^5} = \frac{{ – 1}}{{243}}.\end{array}\)

Nhận xét:

+ Luỹ thừa của một số hữu tỉ âm với số mũ chẵn là một số hữu tỉ dương.

+  Luỹ thừa của một số hữu tỉ âm với số mũ lẻ là một số hữu tỉ âm.

Giải bài 3 trang 20 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ

a)\({25^4}{.2^8};\)

b)\(4.32:\left( {{2^3}.\frac{1}{{16}}} \right);\)

c)\({27^2}:{25^3};\)

d)\({8^2}:{9^3}.\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \({a^n}.{b^n} = {(a.b)^n}\)

Lời giải chi tiết

a)

\({25^4}{.2^8} = {({5^2})^4}{.2^8} = {5^{2.4}}{.2^8} = {5^8}{.2^8} = {(5.2)^8} = {10^8}\)

b)

\(4.32:\left( {{2^3}.\frac{1}{{16}}} \right) = {2^2}{.2^5}:({2^3}.\frac{1}{{{2^4}}}) = {2^{2 + 5}}:\frac{1}{2} = {2^7}.2 = {2^7}{.2^1} = {2^{7 + 1}} = {2^8}\)

c)

\({27^2}:{25^3} = {({3^3})^2}:{({5^2})^3} = {3^{3.2}}:{5^{2.3}} = {3^6}:{5^6} = {(\frac{3}{5})^6}\)

d)

\({8^2}:{9^3} = {\left( {{2^3}} \right)^2}:{\left( {{3^2}} \right)^3} = {2^{3.2}}:{3^{2.3}} = {2^6}:{3^6} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^6}\)

Giải bài 4 trang 20 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Tìm x, biết:

a) \(x:{\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^3} =  – \frac{1}{2};\)

b) \(x.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^7} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^9};\)

c) \({\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^{11}}:x = {\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^9};\)

d) \(x.{\left( {0,25} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}\)

Phương pháp giải

Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia

Muốn tìm thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số còn lại.

Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia cho thương.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}x:{\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^3} =  – \frac{1}{2}\\x =  – \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^3}\\x = {\left( {\frac{{ – 1}}{2}} \right)^4}\\x = \frac{1}{{16}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{1}{{16}}\).

b)

\(\begin{array}{l}x.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^7} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^9}\\x = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^9}:{\left( {\frac{3}{5}} \right)^7}\\x = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\\x = \frac{9}{{25}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{9}{{25}}\).

c)

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^{11}}:x = {\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^9}\\x = {\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^{11}}:{\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^9}\\x = {\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)^2}\\x = \frac{4}{9}.\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{4}{9}\).

d)

\(\begin{array}{l}x.{\left( {0,25} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}\\x.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}\\x = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}:{\left( {\frac{1}{4}} \right)^6}\\x = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\\x = \frac{1}{{16}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{1}{{16}}\).

Giải bài 5 trang 21 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Viết các số \({\left( {0,25} \right)^8};\,\,{\left( {0,125} \right)^4};{\left( {0,0625} \right)^2}\)dưới dạng lũy thừa cơ số 0,5.

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left( {0,25} \right)^8} = {\left[ {{{\left( {0,5} \right)}^2}} \right]^8} = {\left( {0,5} \right)^{16}};\\\,\,{\left( {0,125} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {0,5} \right)}^3}} \right]^4} = {\left( {0,5} \right)^{12}};\\{\left( {0,0625} \right)^2} = {\left[ {{{\left( {0,5} \right)}^4}} \right]^2} = {\left( {0,5} \right)^8}\end{array}\)

Giải bài 6 trang 21 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Tính nhanh:

\(M = \left( {100 – 1} \right).\left( {100 – {2^2}} \right).\left( {100 – {3^2}} \right).\,\,…\,\,.\left( {100 – {{50}^2}} \right)\)

Phương pháp giải

Phát hiện quy luật của các thừa số trong M

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {{{10}^2} – 1} \right).\left( {{{10}^2} – {2^2}} \right).\left( {{{10}^2} – {3^2}} \right).\,\,…\left( {{{10}^2} – {{10}^2}} \right)..\,\,.\left( {100 – {{50}^2}} \right)\\ = \left( {{{10}^2} – 1} \right).\left( {{{10}^2} – {2^2}} \right).\left( {{{10}^2} – {3^2}} \right).\,\,…0..\,\,.\left( {100 – {{50}^2}} \right)\\ = 0\end{array}\)

Giải bài 7 trang 21 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Tính:

a) \(\left[ {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^4}.{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^5}} \right]:{\left( {\frac{3}{7}} \right)^7};\)

b) \(\left[ {{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\frac{7}{8}} \right)}^4}} \right].\left( {\frac{7}{8}} \right);\)

c) \(\left[ {{{\left( {0,6} \right)}^3}.{{\left( {0,6} \right)}^8}} \right]:\left[ {{{\left( {0,6} \right)}^7}.{{\left( {0,6} \right)}^2}} \right]\).

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};\,\,{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\left[ {{{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)}^4}.{{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)}^5}} \right]:{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^7}\\ = {\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^{4 + 5}}:{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^7}\\ = {\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^9}:{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^7}\\ = {\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^2}\\b)\left[ {{{\left( {\dfrac{7}{8}} \right)}^5}:{{\left( {\dfrac{7}{8}} \right)}^4}} \right].\left( {\dfrac{7}{8}} \right)\\ = {\left( {\dfrac{7}{8}} \right)^{5 – 4}}.\left( {\dfrac{7}{8}} \right)\\ = \left( {\dfrac{7}{8}} \right).\left( {\dfrac{7}{8}} \right)\\ = {\left( {\dfrac{7}{8}} \right)^2}\\c)\left[ {{{\left( {0,6} \right)}^3}.{{\left( {0,6} \right)}^8}} \right]:\left[ {{{\left( {0,6} \right)}^7}.{{\left( {0,6} \right)}^2}} \right]\\ = {\left( {0,6} \right)^{3 + 8}}:{\left( {0,6} \right)^{7 + 2}}\\ = {\left( {0,6} \right)^{11}}:{\left( {0,6} \right)^9}\\ = {\left( {0,6} \right)^2}.\end{array}\)

Giải bài 8 trang 21 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Tính:

a) \({\left( {\frac{2}{5} + \frac{1}{2}} \right)^2}\);

b) \({\left( {0,75 – 1\frac{1}{2}} \right)^3};\)Thực hiện phép tính trong ngoặc trước và ngoài ngoặc sau.

c) \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {0,36} \right)^5}\);

d) \({\left( {1 – \frac{1}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^3}\)

Phương pháp giải

Thực hiện phép tính trong ngoặc trước và ngoài ngoặc sau.

Lời giải chi tiết

a)\({\left( {\frac{2}{5} + \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{{10}} + \frac{5}{{10}}} \right)^2} = {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^2} = \frac{{81}}{{100}}\);

b)\({\left( {0,75 – 1\frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{3}{4} – \frac{3}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{3}{4} – \frac{6}{4}} \right)^3} = {\left( { – \frac{3}{4}} \right)^3} = \frac{{ – 27}}{{64}};\)

c)

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {0,36} \right)^5} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {\frac{9}{{25}}} \right)^5}\\ = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} \right]^5} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{15}}:{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{10}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^5}\end{array}\)

d) \({\left( {1 – \frac{1}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{4}{9}} \right)^3} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^8}:{\left( {\frac{2}{3}} \right)^6} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9}\)

Giải bài 9 trang 21 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

Tính giá trị các biểu thức.

a) \(\frac{{{4^3}{{.9}^7}}}{{{{27}^5}{{.8}^2}}};\)

b) \(\frac{{{{\left( { – 2} \right)}^3}.{{\left( { – 2} \right)}^7}}}{{{{3.4}^6}}};\)

c) \(\frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,09} \right)}^3}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}};\)

d) \(\frac{{{2^3} + {2^4} + {2^5}}}{{{7^2}}}.\)

Phương pháp giải

Đưa các thừa số trên tử và dưới mẫu về cùng cơ số rồi rút gọn

Lời giải chi tiết

a)

\(\frac{{{4^3}{{.9}^7}}}{{{{27}^5}{{.8}^2}}} = \frac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^3}.{{\left( {{3^2}} \right)}^7}}}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^2}}} = \frac{{{2^6}{{.3}^{14}}}}{{{3^{15}}{{.2}^6}}} = \frac{1}{3}\)

b)

\(\frac{{{{\left( { – 2} \right)}^3}.{{\left( { – 2} \right)}^7}}}{{{{3.4}^6}}} = \frac{{{{\left( { – 2} \right)}^{10}}}}{{3.{{\left( {{2^2}} \right)}^6}}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{{3.2}^{12}}}} = \frac{1}{{{{3.2}^2}}} = \frac{1}{{12}}\)

c)

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,09} \right)}^3}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left[ {{{\left( {0,03} \right)}^2}} \right]}^3}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}} = \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^5}.{{\left( {0,3} \right)}^6}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^7}.{{\left( {0,3} \right)}^4}}}\\ = \frac{{{{\left( {0,3} \right)}^2}}}{{{{\left( {0,2} \right)}^2}}} = \frac{{0,9}}{{0,4}} = \frac{9}{4}\end{array}\)

d)

\(\frac{{{2^3} + {2^4} + {2^5}}}{{{7^2}}} = \frac{{8 + 16 + 32}}{{49}} = \frac{{56}}{{49}} = \frac{8}{7}\)

Giải bài 10 trang 21 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 1

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5,97.10²⁴ kg, khối lượng của Mặt Trăng khoảng 7,35.10²² kg. Tính tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng.

b) Sao Mộc cách Trái Đất khoảng 8,27.10⁸ km, Sao Thiên Vương cách Trái Đất khoảng 3,09.10⁹ km. Sao nào ở gần Trái Đất hơn?

(Theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Hệ Mặt Trời)

Phương pháp giải

a) Tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng = khối lượng của Trái Đất + khối lượng của Mặt Trăng.

b)  So sánh hai khoảng cách rồi kết luận

Lời giải chi tiết

a) Tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là:

\(\begin{array}{l}5,{97.10^{24}} + {\rm{ }}7,{35.10^{22}}\\ = 5,{97.10^2}{.10^{22}} + {\rm{ }}7,{35.10^{22}}\\ = {597.10^{22}} + 7,{35.10^{22}}\\ = \left( {597 + 7,35} \right){.10^{22}}\\ = 604,{35.10^{22}}\end{array}\)

Vậy tổng khối lượng của Trái Đất và Mặt Trăng là: \(609,{35.10^{22}}\)km

b) Ta có: 3,09.10⁹ = 30,9.10⁸ nên 8,27.10⁸ < 3,09.10⁹ . Do đó, sao Mộc gần Trái Đất hơn.