Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài Ôn tập Chương 9: Tam giác đồng dạng và Hình đồng dạng

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập hệ thống kiến thức Chương 9

Chương 9 mở ra toàn bộ chân trời về Hình học Đồng dạng: Từ khái niệm hai tam giác đồng dạng, 3 trường hợp đồng dạng (c.c.c, c.g.c, g.g), Định lí Pythagore huyền thoại, các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông và Hệ thức lượng, cho đến khái niệm rộng mở về Hình đồng dạng thực tế. Cùng hệ thống lại toàn bộ nhé!

🔍 Khám phá

📐 Sơ đồ tư duy & Bảng tổng hợp công thức

Sơ đồ tư duy toàn bộ Kiến thức Chương 9: Tam giác đồng dạng & Hình đồng dạng

1. Bảng hệ thống kiến thức cốt lõi Chương 9

Chủ đề	Định lí / Công thức cốt lõi	Ý nghĩa bài toán
Tam giác đồng dạng	$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k$	Tính độ dài cạnh, góc, tỉ số chu vi $k$ , diện tích $k^{2}$
Định lí Ta-lét / Song song	$M N // B C \Rightarrow Δ A M N \sim Δ A B C$	Chứng minh đồng dạng và tính cạnh nhanh
3 Dấu hiệu đồng dạng	c.c.c, c.g.c, g.g	Chứng minh tam giác đồng dạng và tích đoạn thẳng
Định lí Pythagore	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$	Tính cạnh tam giác vuông, nhận biết tam giác vuông
Hệ thức lượng tam giác vuông	$A H^{2} = H B \cdot H C$ , $A B^{2} = B H \cdot B C$	Tính đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông
Hình đồng dạng & Phối cảnh	Phóng to/thu nhỏ $k$ , đường qua tâm $O$	Bản đồ, mô hình, thu phóng ảnh thực tế

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Thử thách tổng hợp Ôn tập Chương 9

🎯 Thử thách tổng hợp Ôn tập Chương 9: Tam giác đồng dạng

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Cho $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số $k = 2$. Biết chu vi $\Delta ABC = 20$ cm. Chu vi $\Delta A'B'C'$ bằng:

P_{A'B'C'} = \dfrac{P_{ABC}}{k} = ?

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo chiều cao hải đăng bằng góc ngắm nghiêng): Để đo chiều cao ngọn hải đăng $A B$ , người ta cắm một cọc $C D = 2$ m vuông góc với mặt đất cách chân hải đăng $B C = 45$ m. Người quan sát lùi lại đến $E$ ( $E, D, B$ thẳng hàng, $D E = 3$ m) sao cho mắt quan sát nhìn thấy đỉnh $A$ của hải đăng và đỉnh $C$ của cọc thẳng hàng.

a) Chứng minh $Δ C D E \sim Δ A B E$ (g.g).
b) Tính chiều cao $A B$ của ngọn hải đăng.

Lời giải:
a) Ta có $C D // A B$ (cùng $⊥ B E$ ) $\Rightarrow Δ C D E \sim Δ A B E$ (g.g).
b) Ta có $B E = B D + D E = 45 + 3 = 48$ m.
Tỉ số đồng dạng: $\frac{C D}{A B} = \frac{D E}{B E} \Rightarrow \frac{2}{A B} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \Rightarrow A B = 2 \times 16 = 32$ mét.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cho $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số $k = 3$ . Tỉ số diện tích $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}$ bằng bao nhiêu?

⭐ Ghi nhớ

Đồng dạng tam giác: c.c.c, c.g.c, g.g.
Tam giác vuông: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , $A H^{2} = H B \cdot H C$ .
Hình đồng dạng: Cùng hình dạng, kích thước tỉ lệ $k$ , diện tích tỉ lệ $k^{2}$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Ôn tập Đồng dạng & Pythagore cơ bản):

a) Cho $Δ A B C \sim Δ D E F$ với $A B = 6, D E = 9, A C = 8$ . Tính độ dài $D F$ .
b) Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 9$ cm, $A C = 12$ cm. Tính $B C$ và đường cao $A H$ .
c) Kiểm tra xem tam giác có ba cạnh $8$ cm, $15$ cm, $17$ cm có phải là tam giác vuông không.
d) Cho tam giác $A B C$ có $M N // B C$ ( $M \in A B, N \in A C$ ). Biết $A M = 3$ cm, $M B = 6$ cm, $A N = 4$ cm. Tính $A C$ .
e) Cho hai hình vuông có cạnh $5$ cm và $15$ cm. Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của hai hình vuông.
f) Cho $Δ A B C \sim Δ M N P$ theo tỉ số $k = 0.5$ . Biết diện tích $Δ A B C = 20$ cm². Tính diện tích $Δ M N P$ .

Bài 2 (Dễ — Chứng minh tam giác đồng dạng):

a) Cho tam giác $A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 6$ cm, $A = 5 0^{\circ}$ . Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A^{'} B^{'} = 6$ cm, $A^{'} C^{'} = 9$ cm, $A^{'} = 5 0^{\circ}$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
b) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Chứng minh $Δ H B A \sim Δ H A C$ .
c) Cho góc $x O y$ . Trên $O x$ lấy $A (O A = 2), B (O B = 6)$ . Trên $O y$ lấy $C (O C = 3), D (O D = 4)$ . Chứng minh $Δ O A C \sim Δ O D B$ .
d) Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Trên cạnh $A B, A C$ lấy $D, E$ sao cho $A D = A E$ . Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A B C$ .
e) Cho hình thang $A B C D$ ( $A B // C D$ ). Hai đường chéo $A C, B D$ cắt nhau tại $O$ . Chứng minh $Δ O A B \sim Δ O C D$ .
f) Cho hai đường tròn $(O_{1}; 3 cm)$ và $(O_{2}; 6 cm)$ . Tìm tỉ số đồng dạng của hai đường tròn.

Bài 3 (Trung bình — Các bài toán hệ thức lượng tam giác vuông): Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ .

a) Biết $B H = 9$ cm, $C H = 16$ cm. Tính $A H, A B, A C$ .
b) Biết $A B = 15$ cm, $B H = 9$ cm. Tính $B C, A H, A C$ .
c) Chứng minh $A H^{2} = H B \cdot H C$ .
d) Chứng minh $A B^{2} = B H \cdot B C$ và $A C^{2} = C H \cdot B C$ .
e) Chứng minh $\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}$ .
f) Kẻ $H D ⊥ A B, H E ⊥ A C$ . Chứng minh $D E = A H$ và $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ .

Bài 4 (Trung bình — Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng): Cho tam giác $A B C$ nhọn, các đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh $Δ A B D \sim Δ A C E$ .
b) Chứng minh $A D \cdot A C = A E \cdot A B$ .
c) Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A B C$ .
d) Chứng minh $H B \cdot H D = H C \cdot H E$ .

Bài 5 (Trung bình — Hình bình hành & Hình thang): Cho hình bình hành $A B C D$ . Trên tia đối của tia $C D$ lấy điểm $E$ . Đường thẳng $A E$ cắt $B D$ tại $F$ và cắt $B C$ tại $G$ .

a) Chứng minh $Δ A F D \sim Δ E F B$ .
b) Chứng minh $Δ A B G \sim Δ E D A$ .
c) Chứng minh $F A^{2} = F G \cdot F E$ .

Bài 6 (Khá — Đường phân giác và tam giác đồng dạng): Cho tam giác $A B C$ , đường phân giác trong $A D$ .

a) Chứng minh $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
b) Gọi $M$ là trung điểm $B C$ . Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $A D$ cắt $A C$ tại $E$ và cắt $A B$ kéo dài tại $F$ . Chứng minh $B F = C E$ .

Bài 7 (Khá — Chứng minh tứ giác nội tiếp qua đồng dạng): Cho tam giác $A B C$ nhọn có các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh $A H E = A C B$ .
b) Chứng minh $D H$ là đường phân giác của $E D F$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Điểm cố định và tỉ số diện tích): Cho tam giác $A B C$ có diện tích $S$ . Một đường thẳng $d$ song song với $B C$ cắt $A B$ tại $D$ và cắt $A C$ tại $E$ . Biết diện tích tam giác $A D E$ bằng $\frac{4}{9} S$ .

a) Tính tỉ số $\frac{A D}{A B}$ .
b) Tính diện tích tứ giác $B D E C$ theo $S$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Đo chiều cao cây và bóng nắng): Một cọc tiêu cao $1.2$ m cắm thẳng đứng trên mặt đất có bóng dài $0.8$ m. Cùng lúc đó, bóng của một tháp truyền hình trên mặt đất dài $40$ m.

a) Giải thích vì sao tam giác tạo bởi tháp và bóng đồng dạng với tam giác tạo bởi cọc tiêu và bóng.
b) Tính chiều cao của tháp truyền hình.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo khoảng cách giữa hai đảo trên biển): Một bản đồ hàng hải vẽ theo tỉ lệ $1 : 100.000$ . Khoảng cách giữa hai hòn đảo A và B trên bản đồ đo được là $7.5$ cm.

a) Tính khoảng cách thực tế giữa hai hòn đảo ngoài thực địa (km).
b) Một tàu thủy chạy với vận tốc $30$ km/h đi từ đảo A đến đảo B hết bao nhiêu thời gian?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $D F = 8 \times \frac{9}{6} = 12$ . b) $B C = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ cm. $A H = \frac{9 \times 12}{15} = 7.2$ cm. c) $8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 1 7^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông. d) $A C = 4 \times \frac{9}{3} = 12$ cm. e) Tỉ số chu vi $= 3$ , Tỉ số diện tích $= 9$ . f) $S_{M N P} = S_{A B C} \div k^{2} = 20 \div 0.25 = 80$ cm².

Bài 2: a) $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{2}{3}$ và góc kẹp $A = A^{'} = 5 0^{\circ} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (c.g.c). b) $A H B = A H C = 9 0^{\circ}, B A H = C$ (cùng phụ $B$ ) $\Rightarrow Δ H B A \sim Δ H A C$ (g.g). c) $\frac{O A}{O D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{O C}{O B} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, O$ chung $\Rightarrow Δ O A C \sim Δ O D B$ (c.g.c). d) $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}, A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C$ (c.g.c). e) $O A B = O C D$ (so le trong), $A O B = C O D$ (đối đỉnh) $\Rightarrow Δ O A B \sim Δ O C D$ (g.g). f) Tỉ số đồng dạng $k = \frac{6}{3} = 2$ .

Bài 3: a) $A H = 9 \times 16 = 12$ cm. $B C = 25$ cm. $A B = 9 \times 25 = 15$ cm, $A C = 16 \times 25 = 20$ cm. b) $B C = \frac{1 5 ^{2}}{9} = 25$ cm. $A H = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$ cm. $A C = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20$ cm. c) Từ $Δ H B A \sim Δ H A C \Rightarrow A H^{2} = H B \cdot H C$ . d) Từ $Δ H B A \sim Δ A B C \Rightarrow A B^{2} = B H \cdot B C$ . Từ $Δ H A C \sim Δ A B C \Rightarrow A C^{2} = C H \cdot B C$ . e) $\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{A B ^{2} + A C ^{2}}{A B ^{2} \cdot A C ^{2}} = \frac{B C ^{2}}{( A H \cdot B C ) ^{2}} = \frac{1}{A H ^{2}}$ . f) $A D H E$ là hình chữ nhật $\Rightarrow D E = A H$ . $A D \cdot A B = A H^{2}$ và $A E \cdot A C = A H^{2} \Rightarrow A D \cdot A B = A E \cdot A C$ .

Bài 4: a) $A D B = A E C = 9 0^{\circ}, A$ chung $\Rightarrow Δ A B D \sim Δ A C E$ (g.g). b) Từ a $\Rightarrow \frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A D \cdot A C = A E \cdot A B$ . c) Tỉ số $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ và $A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C$ (c.g.c). d) $Δ H B E \sim Δ H C D \Rightarrow \frac{H B}{H C} = \frac{H E}{H D} \Rightarrow H B \cdot H D = H C \cdot H E$ .

Bài 5: a) $A D // B C \Rightarrow Δ A F D \sim Δ E F B$ (g.g). b) $A B // C D \Rightarrow Δ A B G \sim Δ E D A$ (g.g). c) Từ a $\Rightarrow \frac{F A}{F E} = \frac{F D}{F B}$ . Từ $Δ A F B \sim Δ D F D$ (sửa $Δ A F B \sim Δ GF D$ ) $\Rightarrow \frac{F G}{F A} = \frac{F B}{F D} \Rightarrow \frac{F A}{F E} = \frac{F G}{F A} \Rightarrow F A^{2} = F G \cdot F E$ .

Bài 6: a) Chứng minh qua diện tích tam giác hoặc đường thẳng song song. b) Dùng tính chất đường trung bình và các tam giác đồng dạng suy ra hai đoạn $B F, C E$ cùng bằng một đoạn trung gian.

Bài 7: a) Tứ giác $A D H E$ có góc đối phụ nhau $\Rightarrow A H E = A D E = A C B$ . b) Chứng minh các cặp góc bằng nhau do các tam giác vuông đồng dạng.

Bài 8: a) $k^{2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}$ . b) $S_{B D E C} = S - \frac{4}{9} S = \frac{5}{9} S$ .

Bài 9: a) Cùng vuông góc với mặt đất và tia nắng song song tạo góc nâng bằng nhau. b) Chiều cao tháp $h = 1.2 \times \frac{40}{0.8} = 1.2 \times 50 = 60$ mét.

Bài 10: a) Khoảng cách thực tế $= 7.5 cm \times 100.000 = 750.000 cm = 7.5$ km.
b) Thời gian $t = \frac{7.5}{30} = 0.25$ giờ $= 15$ phút.