🚀 Khởi động

🧩 Đa thức — Tổng của những đơn thức

Nếu mỗi đơn thức giống như một viên gạch, thì đa thức chính là bức tường vững chắc được ghép nối từ nhiều viên gạch đó bằng các phép cộng và trừ!

📐

Chu vi tam giác

$P=a+b+c$ (Đa thức 3 hạng tử)

🏡

Diện tích mảnh vườn ghép

$S=2x^2+3xy-y^2$ (Đa thức 3 hạng tử)

🚀

Quãng đường chuyển động

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ (Đa thức bậc 2)

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm đa thức

Định nghĩa đa thức: Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

• Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (chỉ có 1 hạng tử).
• Đơn thức 0 cũng gọi là đa thức 0.

Ví dụ 1: Trong các biểu thức $A=3x^2-2x+1$; $B=\frac{2}{x}+y$; $C=x^3{y}^2-4xy$, biểu thức nào là đa thức?

Lời giải:

• $A=3x^2-2x+1$ là đa thức (tổng của ba đơn thức $3x^2,-2x,1$).
• $C=x^3{y}^2-4xy$ là đa thức.
• $B$ chứa phép chia cho biến $x$ ở mẫu nên không là đa thức.

Ví dụ 2: Chỉ ra các hạng tử của đa thức $P=4x^{3}y-5x{y}^2+2x-9$.

Lời giải: Đa thức $P$ có 4 hạng tử là: $4x^{3}y$, $-5x{y}^2$, $2x$, và $-9$.

Ví dụ 3: Viết đa thức biểu thị diện tích hình thang có đáy lớn $a$, đáy nhỏ $b$ và chiều cao $h$.

Lời giải: $S=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh$. Đây là đa thức hai hạng tử.

Hình vẽ minh họa: Mô hình ghép các thẻ đơn thức thành đa thức:

🧹 2. Thu gọn đa thức

Định nghĩa: Thu gọn đa thức là thực hiện cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong đa thức đó để không còn hai hạng tử nào đồng dạng với nhau.

Ví dụ 1: Thu gọn đa thức $M=5x^{2}y-3xy+2x^{2}y+4xy-1$.

Lời giải: Nhóm các đơn thức đồng dạng: $M=(5x^{2}y+2x^{2}y)+(-3xy+4xy)-1=7x^{2}y+xy-1$

Ví dụ 2: Thu gọn đa thức $N=3x^{3}y-2x{y}^2+5-3x^{3}y+4x{y}^2$.

Lời giải: $N=(3x^{3}y-3x^{3}y)+(-2x{y}^2+4x{y}^2)+5=2x{y}^2+5$

Ví dụ 3: Cho đa thức $P=a^{2}b-3a{b}^2+2a^{2}b+5a{b}^2$. Rút gọn và chỉ ra các hạng tử của $P$ sau khi thu gọn.

Lời giải: $P=(a^{2}b+2a^{2}b)+(-3a{b}^2+5a{b}^2)=3a^{2}b+2a{b}^2$ Sau khi thu gọn, $P$ gồm 2 hạng tử là $3a^{2}b$ và $2a{b}^2$.

Hình vẽ minh họa: Quy trình thu gọn nhóm các đơn thức đồng dạng:

📊 3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức (khác đa thức 0) là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

• Đa thức 0 không có bậc.

Ví dụ 1: Tìm bậc của đa thức $A=3x^{4}y-5x^2{y}^3+2x-7$.

Lời giải:

• Hạng tử $3x^{4}y$ có bậc $4+1=5$.
• Hạng tử $-5x^2{y}^3$ có bậc $2+3=5$.
• Hạng tử $2x$ có bậc $1$, hạng tử $-7$ có bậc $0$. Bậc cao nhất là $5\Rightarrow$ Bậc của đa thức $A$ bằng $5$.

Ví dụ 2: Tìm bậc của đa thức $B=x^{5}y-2x^3{y}^2-x^{5}y+3x{y}^3$.

Lời giải: Thu gọn trước: $B=(x^{5}y-x^{5}y)-2x^3{y}^2+3x{y}^3=-2x^3{y}^2+3x{y}^3$.

• $-2x^3{y}^2$ có bậc $3+2=5$.
• $3x{y}^3$ có bậc $1+3=4$. Bậc của đa thức $B$ bằng $5$.

Ví dụ 3: Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức một biến $P(x)=-4x^3+7x^2-x+9$.

Lời giải:

• Hạng tử bậc cao nhất là $-4x^3\Rightarrow$ Hệ số cao nhất là $-4$.
• Hạng tử không chứa biến là $9\Rightarrow$ Hệ số tự do là $9$.

Hình vẽ minh họa: Sơ đồ tìm bậc của đa thức:

🧮 4. Tính giá trị của đa thức

Để tính giá trị của đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thu gọn đa thức, rồi thay các giá trị cho trước đó vào đa thức thu gọn và thực hiện phép tính.

Ví dụ 1: Tính giá trị của đa thức $P=2x^{2}y-3xy+5$ tại $x=1,y=-2$.

Lời giải: Thay $x=1,y=-2$ vào $P$: $P=2(1{)}^2(-2)-3(1)(-2)+5=2(1)(-2)+6+5=-4+6+5=7$

Ví dụ 2: Cho đa thức $Q=3x^{2}y-5x{y}^2+2x^{2}y+4x{y}^2$. Tính giá trị $Q$ tại $x=-1,y=2$.

Lời giải: Thu gọn: $Q=(3x^{2}y+2x^{2}y)+(-5x{y}^2+4x{y}^2)=5x^{2}y-x{y}^2$. Thay $x=-1,y=2$: $Q=5(-1{)}^2(2)-(-1)(2{)}^2=5(1)(2)-(-1)(4)=10+4=14$

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức $A=x^3-3x^2+3x-1$ tại $x=11$.

Lời giải: Ta có $A=(x-1{)}^3$. Thay $x=11\Rightarrow A=(11-1{)}^3=10^3=1000$.

✏️ Thực hành tương tác

Thực hành tương tác

🧩

Thực hành tương tác: Khám phá & Nhận biết Đa thức

1. Phân loại Đa thức (Luyện tập ngẫu nhiên)2. Tính giá trị đa thức P(x)

🎯 Điểm số: 0 / 0🎲 Đổi câu hỏi ngẫu nhiên

🔍 Câu hỏi nhận biết:

$$x^2 + \dfrac{3}{x} - 4$$

Biểu thức trên có phải là ĐA THỨC không?

✅ ĐÚNG (Là Đa thức)❌ SAI (Không phải Đa thức)

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Các dạng toán

Dạng 1: Nhận biết đa thức và xác định các hạng tử Phương pháp giải: Kiểm tra các phép tính cấu thành. Đa thức chỉ gồm phép cộng, trừ, nhân và lũy thừa mũ nguyên dương của biến.

Ví dụ 1: Trong các biểu thức sau, đâu là đa thức? $P=2x^3-3xy+5;Q=\frac{x+1}{y-1};R=\sqrt{2}{x}^{2}y-y^3$

Lời giải: $P$ và $R$ là đa thức. $Q$ chứa phép chia cho biến ở mẫu nên không phải đa thức.

Ví dụ 2: Tìm các hạng tử của đa thức $M=-5x^4+3x^{2}y-2xy+8$.

Lời giải: Các hạng tử là $-5x^4;3x^{2}y;-2xy;8$.

Ví dụ 3: Cho đa thức $N=a{x}^2+bx+c$. Tìm $a,b,c$ để $N$ trở thành đơn thức $5x^2$.

Lời giải: $a=5,b=0,c=0$.

Dạng 2: Thu gọn đa thức Phương pháp giải: Nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau rồi cộng/trừ các hệ số.

Ví dụ 1: Thu gọn đa thức $A=4x^{2}y-3x{y}^2+2x^{2}y+5x{y}^2-1$.

Lời giải: $A=(4x^{2}y+2x^{2}y)+(-3x{y}^2+5x{y}^2)-1=6x^{2}y+2x{y}^2-1$.

Ví dụ 2: Rút gọn $B=2x^3-5x^2+3x-2x^3+5x^2+1$.

Lời giải: $B=(2x^3-2x^3)+(-5x^2+5x^2)+3x+1=3x+1$.

Ví dụ 3: Rút gọn $C=x^2(y-1)+y(x^2+1)-xy$.

Lời giải: $C=x^{2}y-x^2+x^{2}y+y-xy=2x^{2}y-x^2-xy+y$.

Dạng 3: Tìm bậc của đa thức Phương pháp giải: Thu gọn đa thức trước, sau đó tìm bậc cao nhất trong tất cả các hạng tử.

Ví dụ 1: Tìm bậc của đa thức $P=5x^3{y}^2-2x^{4}y+3xy-9$.

Lời giải: $5x^3{y}^2$ có bậc 5, $-2x^{4}y$ có bậc 5. Bậc đa thức là 5.

Ví dụ 2: Tìm bậc của $Q=x^6-3x^4{y}^2+2xy-x^6+5$.

Lời giải: Thu gọn $Q=-3x^4{y}^2+2xy+5$. Bậc bằng $4+2=6$.

Ví dụ 3: Cho đa thức $M=(m-2)x^3+5x^2-1$. Tìm $m$ để $M$ có bậc bằng 2.

Lời giải: Để $M$ có bậc bằng 2 thì hệ số của $x^3$ phải bằng $0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow m=2$.

Dạng 4: Tính giá trị của đa thức Phương pháp giải: Thu gọn đa thức rồi thay giá trị cho trước của biến vào tính toán.

Ví dụ 1: Tính giá trị $A=3x^{2}y-2xy+1$ tại $x=2,y=-1$.

Lời giải: $A=3(2{)}^2(-1)-2(2)(-1)+1=-12+4+1=-7$.

Ví dụ 2: Tính giá trị $B=x^2{y}^3+2x^2{y}^3-5$ tại $x=1,y=2$.

Lời giải: Thu gọn $B=3x^2{y}^3-5$. Thay $x=1,y=2\Rightarrow B=3(1{)}^2(8)-5=19$.

Ví dụ 3: Tính giá trị $C=x^2-2xy+y^2$ tại $x=103,y=3$.

Lời giải: $C=(x-y{)}^2=(103-3{)}^2=100^2=10000$.

Dạng 5: Bài toán tổng hợp và chứng minh

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^2+2x+3$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x$.

Lời giải: $P(x)=(x+1{)}^2+2\ge 2>0$ với mọi $x$.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức một biến $Q(x)=2x-6$.

Lời giải: Cho $Q(x)=0\Rightarrow 2x-6=0\Rightarrow x=3$.

Ví dụ 3: Tìm $x$ biết $3x^2-6x=0$.

Lời giải: $3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Diện tích mảnh vườn): Mảnh vườn của gia đình bác An gồm hai phần: phần trồng rau hình chữ nhật kích thước $2x$ (m) và $y$ (m); phần trồng cây ăn quả hình vuông cạnh $3x$ (m).

a) Viết đa thức $S$ biểu thị tổng diện tích mảnh vườn. b) Tìm bậc của đa thức $S$. c) Tính diện tích mảnh vườn khi $x=5$ m, $y=4$ m.

Lời giải: a) $S=2x\cdot y+(3x{)}^2=9x^2+2xy$ (m²). b) $9x^2$ bậc 2, $2xy$ bậc 2 $\Rightarrow$ Bậc của $S$ là 2. c) Thay $x=5,y=4\Rightarrow S=9(25)+2(5)(4)=225+40=265$ (m²).

📝 Câu 2 (Thể tích khối bê tông): Một khối bê tông có dạng gồm hai khối hộp chữ nhật ghép lại: Khối 1 có các kích thước $x,2x,h$; Khối 2 có các kích thước $3x,x,h$.

a) Viết đa thức biểu thị thể tích $V$ của khối bê tông. b) Tính $V$ khi $x=0,5$ m và $h=1$ m.

Lời giải: a) $V=x\cdot 2x\cdot h+3x\cdot x\cdot h=2x^{2}h+3x^{2}h=5x^{2}h$ (m³). b) Thay $x=0,5,h=1\Rightarrow V=5(0,25)(1)=1,25$ (m³).

📝 Câu 3 (Kinh doanh sản phẩm): Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=50x+1000$ (nghìn đồng). Doanh thu bán $x$ sản phẩm là $R(x)=120x$ (nghìn đồng).

a) Viết đa thức $P(x)$ biểu thị lợi nhuận thu được khi bán $x$ sản phẩm. b) Tính lợi nhuận khi bán 100 sản phẩm.

Lời giải: a) Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)=120x-(50x+1000)=70x-1000$ (nghìn đồng). b) Thay $x=100\Rightarrow P(100)=70(100)-1000=6000$ (nghìn đồng) = 6 triệu đồng.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây là đa thức?

A$x^2 + 3x - 5$B$\dfrac{1}{x} + 2$C$\sqrt{x} + 1$D$\dfrac{x+1}{y}$

⭐ Ghi nhớ

• Đa thức: Tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức là 1 hạng tử.
• Thu gọn đa thức: Nhóm và cộng/trừ các hạng tử đồng dạng.
• Bậc đa thức: Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn.
• Hệ số cao nhất: Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do: Hạng tử không chứa biến.
• Giá trị đa thức: Thu gọn đa thức trước, sau đó thay giá trị của biến vào tính.

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết đa thức & Hạng tử): Trong các biểu thức sau, đâu là đa thức? Với mỗi đa thức, hãy chỉ ra các hạng tử của nó:

a) $A=3x^{2}y-2xy+5$     b) $B=\frac{4x+1}{y}$     c) $C=-7x^3+2y^2-1$

d) $D=\sqrt{3}{x}^{2}y-x{y}^2+4$     e) $E=\frac{5}{x^2+1}+2y$     f) $F=x^4{y}^2-3x^{2}y+9$

Bài 2 (Dễ — Thu gọn đa thức): Thu gọn các đa thức sau:

a) $A=4x^{2}y-3x{y}^2+2x^{2}y+5x{y}^2-1$     b) $B=5x^3-2x^2+3-5x^3+4x^2-7$

c) $C=2a^{2}b-3a{b}^2+5a^{2}b+3a{b}^2$     d) $D=x^{3}y-2x{y}^2+3x^{3}y+4x{y}^2-5$

e) $E=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2-3xy+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2+3xy$     f) $F=u^{2}v-2u{v}^2+3u^{2}v-u^{2}v+2u{v}^2$

Bài 3 (Trung bình — Bậc & Giá trị của đa thức):

a) Tìm bậc của đa thức $M=3x^{4}y-5x^2{y}^3+2x-7$.

b) Tìm bậc của đa thức $N=x^{5}y-2x^3{y}^3-x^{5}y+4x^3{y}^3$.

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức $P(x)=-4x^3+7x^2-x+9$.

d) Tính giá trị của $A=2x^{2}y-3xy+5$ tại $x=1,y=-2$.

e) Tính giá trị của $B=3x^{2}y-5x{y}^2+2x^{2}y+4x{y}^2$ tại $x=-1,y=2$.

f) Tính giá trị của $C=x^3-3x^2+3x-1$ tại $x=11$.

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn & Tìm đa thức):

a) Rút gọn biểu thức $P=x^2(y-1)+y(x^2+1)-xy$.

b) Cho $M+(2x^{2}y-3x{y}^2)=5x^{2}y+x{y}^2$. Tìm đa thức $M$.

Bài 5 (Trung bình — Đa thức một biến): Cho đa thức $P(x)=3x^4-2x^3+5x^2-x^4+2x^3-4x^2+1$.

a) Thu gọn và sắp xếp $P(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của $P(x)$.

Bài 6 (Khá — Tìm điều kiện số mũ/bậc): Cho đa thức $Q(x)=(m-2)x^3+5x^2-3x+1$.

a) Tìm $m$ để $Q(x)$ là đa thức bậc 3.

b) Tìm $m$ để $Q(x)$ là đa thức bậc 2.

Bài 7 (Khá — Chứng minh biểu thức luôn dương/âm):

a) Chứng minh đa thức $P(x)=x^2+4x+5$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x$.

b) Chứng minh đa thức $Q(x)=-x^2+2x-3$ luôn nhận giá trị âm với mọi $x$.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Xác định hệ số đa thức): Cho đa thức $F(x)=a{x}^2+bx+c$. Biết $F(0)=5$, $F(1)=8$, $F(-1)=4$. Tìm các hệ số $a,b,c$.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Diện tích mảnh vườn ghép): Mảnh vườn của gia đình bác An gồm hai phần: phần trồng rau hình chữ nhật kích thước $2x$ (m) và $y$ (m); phần trồng cây ăn quả hình vuông cạnh $3x$ (m).

a) Viết đa thức $S$ biểu thị tổng diện tích mảnh vườn.

b) Tìm bậc của đa thức $S$ và tính diện tích mảnh vườn khi $x=5$ m, $y=4$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Chi phí & Lợi nhuận kinh doanh): Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=50x+1000$ (nghìn đồng). Doanh thu bán $x$ sản phẩm là $R(x)=120x$ (nghìn đồng).

a) Viết đa thức $P(x)$ biểu thị lợi nhuận thu được khi bán $x$ sản phẩm.

b) Tính lợi nhuận khi bán 100 sản phẩm và tìm số sản phẩm $x$ tối thiểu để hòa vốn ($P(x)\ge 0$).

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1:

• $A=3x^{2}y-2xy+5$ là đa thức; các hạng tử: $3x^{2}y;-2xy;5$.
• $B=\frac{4x+1}{y}$ không phải đa thức (chứa biến $y$ ở mẫu).
• $C=-7x^3+2y^2-1$ là đa thức; các hạng tử: $-7x^3;2y^2;-1$.
• $D=\sqrt{3}{x}^{2}y-x{y}^2+4$ là đa thức; các hạng tử: $\sqrt{3}{x}^{2}y;-x{y}^2;4$.
• $E=\frac{5}{x^2+1}+2y$ không phải đa thức (chứa biến ở mẫu).
• $F=x^4{y}^2-3x^{2}y+9$ là đa thức; các hạng tử: $x^4{y}^2;-3x^{2}y;9$.

Bài 2: a) $A=(4x^{2}y+2x^{2}y)+(-3x{y}^2+5x{y}^2)-1=6x^{2}y+2x{y}^2-1$. b) $B=(5x^3-5x^3)+(-2x^2+4x^2)+(3-7)=2x^2-4$. c) $C=(2a^{2}b+5a^{2}b)+(-3a{b}^2+3a{b}^2)=7a^{2}b$. d) $D=(x^{3}y+3x^{3}y)+(-2x{y}^2+4x{y}^2)-5=4x^{3}y+2x{y}^2-5$. e) $E=\left(\frac{1}{2}{x}^2{y}^2+\frac{3}{2}{x}^2{y}^2\right)+(-3xy+3xy)=2x^2{y}^2$. f) $F=(u^{2}v+3u^{2}v-u^{2}v)+(-2u{v}^2+2u{v}^2)=3u^{2}v$.

Bài 3: a) $3x^{4}y$ (bậc 5), $-5x^2{y}^3$ (bậc 5) $\Rightarrow$ Bậc của $M$ bằng $5$. b) Thu gọn $N=2x^3{y}^3$. Bậc của $N$ bằng $6$. c) $P(x)=-4x^3+7x^2-x+9\Rightarrow$ Hệ số cao nhất là $-4$, hệ số tự do là $9$. d) Thay $x=1,y=-2\Rightarrow A=2(1{)}^2(-2)-3(1)(-2)+5=-4+6+5=7$. e) Thu gọn $B=5x^{2}y-x{y}^2$. Thay $x=-1,y=2\Rightarrow B=5(-1{)}^2(2)-(-1)(2{)}^2=10+4=14$. f) $C=(x-1{)}^3$. Thay $x=11\Rightarrow C=(11-1{)}^3=10^3=1000$.

Bài 4: a) $P=x^{2}y-x^2+x^{2}y+y-xy=2x^{2}y-x^2-xy+y$. b) $M=(5x^{2}y+x{y}^2)-(2x^{2}y-3x{y}^2)=3x^{2}y+4x{y}^2$.

Bài 5: a) $P(x)=(3x^4-x^4)+(-2x^3+2x^3)+(5x^2-4x^2)+1=2x^4+x^2+1$. b) Bậc: $4$; Hệ số cao nhất: $2$; Hệ số tự do: $1$.

Bài 6: a) Để $Q(x)$ là đa thức bậc 3 thì $m-2\ne 0\Rightarrow m\ne 2$. b) Để $Q(x)$ là đa thức bậc 2 thì $m-2=0\Rightarrow m=2$.

Bài 7: a) $P(x)=(x^2+4x+4)+1=(x+2{)}^2+1\ge 1>0$ với mọi $x$. b) $Q(x)=-(x^2-2x+1)-2=-(x-1{)}^2-2\le -2<0$ với mọi $x$.

Bài 8:

• $F(0)=c=5$.
• $F(1)=a+b+5=8\Rightarrow a+b=3$.
• $F(-1)=a-b+5=4\Rightarrow a-b=-1$. Cộng hai pt: $2a=2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2$. Vậy $a=1,b=2,c=5$.

Bài 9: a) $S=2x\cdot y+(3x{)}^2=9x^2+2xy$ (m²). b) Bậc của $S$ là 2. Khi $x=5,y=4\Rightarrow S=9(25)+2(5)(4)=225+40=265$ (m²).

Bài 10: a) Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)=120x-(50x+1000)=70x-1000$ (nghìn đồng). b) Với $x=100\Rightarrow P(100)=70(100)-1000=6000$ (nghìn đồng) = 6 triệu đồng. Hòa vốn khi $70x-1000\ge 0\Rightarrow x\ge 14,28\Rightarrow$ Số sản phẩm tối thiểu là 15 sản phẩm.