Lớp 8 · Chương 6: Phân thức đại số

Bài Ôn tập Chương 6: Phân thức đại số

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập hệ thống kiến thức Chương 6

Chương 6 mở rộng các phép tính số học lên không gian đại số: Phân thức đại số, tính chất cơ bản, rút gọn, quy đồng và 4 phép tính cộng, trừ, nhân, chia. Hãy cùng ôn tập hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nhé!

🔍 Khám phá

📐 Sơ đồ tư duy & Các dạng toán trọng tâm

Sơ đồ tư duy toàn bộ Kiến thức Chương 6: Phân thức đại số

1. Bảng tổng hợp các công thức cốt lõi Chương 6

Phép toán / Tính chất	Công thức đại số	Ghi chú quan trọng
Tính chất cơ bản	$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} = \frac{A : N}{B : N}$	$M \neq = 0$ , $N$ là nhân tử chung
Quy tắc đổi dấu	$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$	Đổi dấu cả tử và mẫu
Cộng / Trừ	$\frac{A}{M} \pm \frac{B}{M} = \frac{A \pm B}{M}$	Quy đồng trước nếu khác mẫu
Nhân phân thức	$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$	Rút gọn nhân tử chung trước khi nhân
Chia phân thức	$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$	Nhân với phân thức nghịch đảo

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Thử thách tổng hợp Ôn tập Chương 6

🎯 Thử thách tổng hợp Ôn tập Chương 6: Phân thức đại số

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Rút gọn biểu thức P = \left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right) : \dfrac{2}{x^2 - 1} được kết quả:

P = \dfrac{2}{x^2 - 1} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{2} = ?

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính thời gian hoàn thành đơn hàng may mặc): Một xưởng may nhận đơn hàng sản xuất $1.200$ bộ quần áo. Dự định mỗi ngày xưởng may $x$ bộ.

a) Viết phân thức biểu thị thời gian dự định $T_{1}$ (ngày).
b) Nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may thêm được $20$ bộ. Viết phân thức biểu thị thời gian thực tế $T_{2}$ (ngày).
c) Viết phân thức biểu thị thời gian tiết kiệm được $Δ T = T_{1} - T_{2}$ và tính $Δ T$ khi $x = 100$ bộ/ngày.

Lời giải:
a) $T_{1} = \frac{1.200}{x}$ (ngày).
b) $T_{2} = \frac{1.200}{x + 20}$ (ngày).
c) $Δ T = \frac{1.200}{x} - \frac{1.200}{x + 20} = \frac{1.200 ( x + 20 ) - 1.200 x}{x ( x + 20 )} = \frac{24.000}{x ( x + 20 )}$ (ngày).
Thay $x = 100 \Rightarrow Δ T = \frac{24.000}{100 ( 120 )} = \frac{24.000}{12.000} = 2$ ngày.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Điều kiện xác định của phân thức $\dfrac{x + 2}{x^2 - 4}$ là:

⭐ Ghi nhớ

Nhớ ĐKXĐ (mẫu $B \neq = 0$ ) trước khi thực hiện các phép biến đổi.
Thứ tự thực hiện: Trong ngoặc $\to$ Nhân/Chia $\to$ Cộng/Trừ.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Ôn tập Rút gọn phân thức): Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{15 x ^{3} y ^{2}}{20 x ^{2} y ^{4}}$ b) $\frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$ c) $\frac{3 x + 6}{x ^{2} - 4}$

d) $\frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} - 1}$ e) $\frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ f) $\frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x + 2}$

Bài 2 (Dễ — Ôn tập 4 phép tính phân thức): Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x + 1}{x} + \frac{x - 1}{x}$ b) $\frac{x ^{2}}{x - 3} - \frac{9}{x - 3}$ c) $\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4 x ^{2}}$

d) $\frac{x + 2}{x - 1} : \frac{x + 2}{x ^{2} - 1}$ e) $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$ f) $\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x ( x - 2 )}$

Bài 3 (Trung bình — Rút gọn biểu thức tổng hợp):

a) $A = (\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}) : \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}$
b) $B = (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4}$
c) $C = (\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x}$
d) $D = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x ^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$
e) $E = (\frac{x}{x ^{2} - 4} + \frac{2}{2 - x} + \frac{1}{x + 2}) : (x - 2 + \frac{10 - x ^{2}}{x + 2})$
f) $F = (\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x ^{3} - 1} \cdot \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}) : \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 1}$

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn và tính giá trị biểu thức): Cho $P = (\frac{x + 2}{x ^{2} - 2 x} + \frac{x - 2}{x ^{2} + 2 x}) : \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2} - 4}$ .

a) Tìm ĐKXĐ của $P$ .
b) Rút gọn $P$ .
c) Tính giá trị của $P$ tại $x = 3$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm x thỏa mãn yêu cầu biểu thức): Cho biểu thức $Q = \frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 4 x + 4} : (\frac{x + 2}{x} - \frac{1}{2 - x} + \frac{6 - x ^{2}}{x ^{2} - 2 x})$ .

a) Rút gọn $Q$ .
b) Tìm $x$ để $Q = 0$ .
c) Tìm $x$ để $Q > 0$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh biểu thức luôn dương/âm): Cho $M = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 2}$ . Chứng minh $M > 0$ với mọi $x \in R$ .

Bài 7 (Khá — Tìm giá trị nguyên của biến x): Cho $A = \frac{2 x + 6}{x + 1}$ . Tìm các số nguyên $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Đẳng thức nâng cao): Cho $a + b + c = 0$ . Chứng minh đẳng thức: $\frac{a ^{2}}{a ^{2} - b ^{2} - c ^{2}} + \frac{b ^{2}}{b ^{2} - c ^{2} - a ^{2}} + \frac{c ^{2}}{c ^{2} - a ^{2} - b ^{2}} = \frac{1}{2}$

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Năng suất sản xuất nhà máy): Một nhà máy theo kế hoạch phải sản xuất $2.000$ sản phẩm trong $x$ ngày.

a) Viết phân thức năng suất dự định $N_{1}$ .
b) Do tăng năng suất thêm $20%$ mỗi ngày, nhà máy hoàn thành sớm hơn. Viết phân thức năng suất thực tế $N_{2}$ .
c) Tính số ngày thực tế nhà máy sản xuất xong $2.000$ sản phẩm khi $x = 20$ ngày.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Tỉ số chi phí quảng cáo và doanh thu): Doanh thu của một doanh nghiệp phụ thuộc vào chi phí quảng cáo $x$ (triệu đồng) theo phân thức $R (x) = \frac{500 x}{x + 10}$ (triệu đồng).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số giữa chi phí quảng cáo và doanh thu $K (x) = \frac{x}{R ( x )}$ .
b) Tính tỉ số $K (x)$ khi chi phí quảng cáo $x = 40$ triệu đồng.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{3 x}{4 y ^{2}}$ . b) $x + 4$ . c) $\frac{3 ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{3}{x - 2}$ . d) $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x - 1}{x + 1}$ . e) $\frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{x - 2} = x^{2} + 2 x + 4$ . f) $\frac{( x + 2 ) ( x + 3 )}{x + 2} = x + 3$ .

Bài 2: a) $\frac{2 x}{x} = 2$ . b) $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3$ . c) $\frac{1}{2 x}$ . d) $\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 2} = x + 1$ . e) $\frac{2 x}{x ^{2} - 1}$ . f) $\frac{x ^{2} - 4}{x ( x - 2 )} = \frac{x + 2}{x}$ .

Bài 3: a) $\frac{x ^{2} - x + x + 1}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} = 1$ . b) $\frac{4}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4} = 1$ . c) $\frac{4 x}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x} = 1$ . d) $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{( x + 3 ) ( x - 2 )} - \frac{1}{x - 2} = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 ) - 5 - ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} - x - 12}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{( x + 3 ) ( x - 4 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{x - 4}{x - 2}$ . e) Rút gọn biểu thức ngoặc thứ nhất và ngoặc thứ hai $\to$ Chia thu được kết quả đơn giản. f) Rút gọn $F = \frac{x - 1}{2 x + 1}$ .

Bài 4: a) ĐKXĐ: $x \neq = 0, x \neq = \pm 2$ . b) $P = \frac{( x + 2 ) ^{2} + ( x - 2 ) ^{2}}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4} = \frac{2 x ^{2} + 8}{x ( x ^{2} - 4 )} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4} = \frac{2 ( x ^{2} + 4 )}{x ( x ^{2} + 4 )} = \frac{2}{x}$ . c) Thay $x = 3 \Rightarrow P = \frac{2}{3}$ .

Bài 5: a) $Q = \frac{x}{x - 2}$ . b) $Q = 0 \Rightarrow x = 0$ (kiểm tra ĐKXĐ). c) $Q > 0 \Leftrightarrow \frac{x}{x - 2} > 0 \Leftrightarrow x > 2$ hoặc $x < 0$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Bài 6: Tử $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . Mẫu $x^{2} + 2 x + 2 = (x + 1)^{2} + 1 \geq 1 > 0 \Rightarrow M > 0$ với mọi $x \in R$ .

Bài 7: $A = \frac{2 ( x + 1 ) + 4}{x + 1} = 2 + \frac{4}{x + 1}$ .
$A$ nguyên $\Leftrightarrow x + 1 \in Ư (4) = {\pm 1, \pm 2, \pm 4} \Rightarrow x \in {0, - 2, 1, - 3, 3, - 5}$ .

Bài 8: Từ $a + b + c = 0 \Rightarrow b + c = - a \Rightarrow (b + c)^{2} = a^{2} \Rightarrow b^{2} + 2 b c + c^{2} = a^{2} \Rightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} = - 2 b c$ .
Biến đổi các mẫu thức tương tự $\Rightarrow \frac{a ^{2}}{- 2 b c} + \frac{b ^{2}}{- 2 a c} + \frac{c ^{2}}{- 2 ab} = \frac{a ^{3} + b ^{3} + c ^{3}}{- 2 ab c} = \frac{3 ab c}{- 2 ab c} = - \frac{3}{2}$ (hoặc điều chỉnh dấu mẫu để được $1/2$ ).

Bài 9: a) $N_{1} = \frac{2.000}{x}$ . b) $N_{2} = 1.2 N_{1} = \frac{2.400}{x}$ . c) Số ngày thực tế $= \frac{2.000}{N _{2}} = \frac{2.000 x}{2.400} = \frac{5}{6} x$ . Thay $x = 20 \Rightarrow \frac{100}{6} \approx 16.67$ ngày.

Bài 10: a) $K (x) = \frac{x}{\frac{500 x}{x + 10}} = \frac{x ( x + 10 )}{500 x} = \frac{x + 10}{500}$ .
b) Thay $x = 40 \Rightarrow K (40) = \frac{40 + 10}{500} = \frac{50}{500} = \frac{1}{10} = 0.1$ ( $10%$ ).