Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài Ôn tập Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập hệ thống kiến thức Chương 2

Chương 2 là trái tim đại số Lớp 8 với 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy hệ thống hóa toàn bộ kiến thức qua sơ đồ tư duy và luyện tập các bài toán tổng hợp dưới đây!

🔍 Khám phá

📐 Sơ đồ tư duy & Các dạng toán trọng tâm

Sơ đồ tư duy tổng hợp kiến thức Chương 2

1. Rút gọn và biến đổi biểu thức theo hằng đẳng thức

Ví dụ 1: Rút gọn $A = (x + 2)^{2} + (x - 2)^{2} - 2 (x^{2} - 4)$ .
Lời giải: $A = (x^{2} + 4 x + 4) + (x^{2} - 4 x + 4) - (2 x^{2} - 8) = 2 x^{2} + 8 - 2 x^{2} + 8 = 16$ .

Ví dụ 2: Rút gọn $B = (x - 1) (x^{2} + x + 1) - (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .
Lời giải: $B = (x^{3} - 1) - (x^{3} + 1) = - 2$ .

Ví dụ 3: Tính nhanh $10 3^{2} - 9$ .
Lời giải: $10 3^{2} - 3^{2} = (103 - 3) (103 + 3) = 100 \cdot 106 = 10600$ .

2. Phân tích đa thức thành nhân tử & Giải phương trình

Ví dụ 1: Phân tích $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .
Lời giải: $x (x^{2} - 6 x + 9) = x (x - 3)^{2}$ .

Ví dụ 2: Phân tích $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 25$ .
Lời giải: $(x - y)^{2} - 5^{2} = (x - y - 5) (x - y + 5)$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
Lời giải: $x^{2} - 3 x - 4 x + 12 = 0 \Rightarrow (x - 3) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = 4$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Thử thách tổng hợp Ôn tập Chương 2

📚

Thực hành tương tác: Ôn tập chương 2

Mỗi số sau là số hữu tỉ hay vô tỉ? (Tất cả đều là số thực ℝ!)

1/3

√2

0,25

√9

-7/2

√10

0,666...

Hãy trả lời đủ 8 số rồi bấm Kiểm tra.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Quy hoạch sân công viên): Một công viên hình vuông cạnh $x$ (m) được quy hoạch mở rộng: một chiều tăng $5$ (m), chiều còn lại tăng $3$ (m).

a) Viết biểu thức đa thức tính diện tích công viên mới.
b) Tính diện tích mới khi $x = 20$ m.

Lời giải:
a) Kích thước mới là $x + 5$ và $x + 3$ . Diện tích mới $S = (x + 5) (x + 3) = x^{2} + 8 x + 15$ (m²).
b) Thay $x = 20 \Rightarrow S = 2 0^{2} + 8 (20) + 15 = 400 + 160 + 15 = 575$ (m²).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Khai triển $(2x + 3y)^2$ thu được:

⭐ Ghi nhớ

Thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ theo cả chiều thuận (khai triển) và chiều ngược (thu gọn/tích).
Vận dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Khai triển & Thu gọn hằng đẳng thức): Khai triển hoặc thu gọn các biểu thức sau:

a) $(2 x + 5)^{2}$ b) $(3 x - 4 y)^{2}$ c) $(x - 5) (x + 5)$

d) $(x + 2)^{3}$ e) $(2 x - 1)^{3}$ f) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

Bài 2 (Dễ — Phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản):

a) $4 x^{2} - 12 x$ b) $x^{2} - 25$ c) $x^{2} + 10 x + 25$

d) $4 x^{2} - 4 x + 1$ e) $x^{3} + 64$ f) $27 x^{3} - 8$

Bài 3 (Trung bình — Rút gọn & Tính giá trị biểu thức):

a) Rút gọn $P = (x + 3)^{2} + (x - 3)^{2} - 2 (x^{2} - 9)$ .

b) Rút gọn $Q = (x - 1) (x^{2} + x + 1) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

c) Tính giá trị $A = x^{2} - 10 x + 25$ tại $x = 105$ .

d) Tính giá trị $B = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ tại $x = 101$ .

e) Tính giá trị $C = (2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$ tại $x = 2, y = 1$ .

f) Tính nhanh $10 2^{2} - 2^{2}$ .

Bài 4 (Trung bình — Tìm $x$ từ các phép biến đổi):

a) Tìm $x$ biết $(x + 3)^{2} - x^{2} = 21$ .

b) Tìm $x$ biết $x^{2} - 16 = 0$ .

c) Tìm $x$ biết $x (x - 4) + 3 x - 12 = 0$ .

d) Tìm $x$ biết $x^{3} - 9 x = 0$ .

Bài 5 (Trung bình — Phân tích đa thức bằng nhóm & phối hợp):

a) $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$ b) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 9$ c) $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

d) $x^{2} - 6 x + 8$ e) $a^{2} - b^{2} + 6 a + 9$ f) $2 x^{2} - 8 y^{2}$

Bài 6 (Khá — Chứng minh đẳng thức & Biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

b) Chứng minh $M = (x - 1)^{3} - (x + 1)^{3} + 6 x^{2} = - 2$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

Bài 7 (Khá — Tìm GTLN và GTNN):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = x^{2} - 10 x + 30$ .

b) Tìm giá trị lớn nhất of $Q = - x^{2} + 8 x - 10$ .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $M = 4 x^{2} + 12 x + 15$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Đẳng thức hệ quả $x + y$ và $x y$ ):

a) Cho $x + y = 6$ và $x y = 8$ . Tính $x^{2} + y^{2}$ và $x^{3} + y^{3}$ .

b) Cho $x - y = 5$ và $x y = 3$ . Tính $x^{2} + y^{2}$ và $x^{3} - y^{3}$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Mở rộng trang trại): Một trang trại hình vuông cạnh $x$ (m) được mở rộng thêm $5$ (m) ở chiều dài và $2$ (m) ở chiều rộng.

a) Viết đa thức tính diện tích trang trại sau khi mở rộng.

b) Viết đa thức tính phần diện tích tăng thêm và tính khi $x = 30$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Kinh doanh sản phẩm): Doanh thu thu được khi bán $x$ sản phẩm là $R (x) = 150 x$ (nghìn đồng). Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C (x) = x^{2} + 50 x + 1600$ (nghìn đồng).

a) Viết đa thức biểu thị lợi nhuận $P (x) = R (x) - C (x)$ .

b) Phân tích đa thức $P (x)$ thành nhân tử và tìm số sản phẩm $x$ để hòa vốn ( $P (x) = 0$ ).

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $4 x^{2} + 20 x + 25$ . b) $9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2}$ . c) $x^{2} - 25$ . d) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ . e) $8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$ . f) $x^{3} - 27$ .

Bài 2: a) $4 x (x - 3)$ . b) $(x - 5) (x + 5)$ . c) $(x + 5)^{2}$ . d) $(2 x - 1)^{2}$ . e) $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$ . f) $(3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$ .

Bài 3: a) $P = (x^{2} + 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) - (2 x^{2} - 18) = 36$ . b) $Q = (x^{3} - 1) - (x^{3} + 8) = - 9$ . c) $A = (x - 5)^{2} = (105 - 5)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ . d) $B = (x - 1)^{3} = (101 - 1)^{3} = 10 0^{3} = 1000000$ . e) $C = 8 x^{3} - 27 y^{3} = 8 (8) - 27 (1) = 64 - 27 = 37$ . f) $10 2^{2} - 2^{2} = (102 - 2) (102 + 2) = 100 \cdot 104 = 10400$ .

Bài 4: a) $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} = 21 \Rightarrow 6 x = 12 \Rightarrow x = 2$ . b) $(x - 4) (x + 4) = 0 \Rightarrow x = 4$ hoặc $x = - 4$ . c) $(x - 4) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 4$ hoặc $x = - 3$ . d) $x (x - 3) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 3, x = - 3$ .

Bài 5: a) $x (x - y) + 4 (x - y) = (x - y) (x + 4)$ . b) $(x - y)^{2} - 3^{2} = (x - y - 3) (x - y + 3)$ . c) $x (x^{2} - 4 x + 4) = x (x - 2)^{2}$ . d) $x^{2} - 2 x - 4 x + 8 = (x - 2) (x - 4)$ . e) $(a + 3)^{2} - b^{2} = (a + 3 - b) (a + 3 + b)$ . f) $2 (x^{2} - 4 y^{2}) = 2 (x - 2 y) (x + 2 y)$ .

Bài 6: a) VT $= (a^{2} + 2 ab + b^{2}) + (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = 2 a^{2} + 2 b^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) =$ VP (đpcm). b) $M = (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) + 6 x^{2} = - 2$ (không phụ thuộc vào $x$ ).

Bài 7: a) $P = (x - 5)^{2} + 5 \geq 5$ . GTNN bằng $5$ khi $x = 5$ . b) $Q = - (x - 4)^{2} + 6 \leq 6$ . GTLN bằng $6$ khi $x = 4$ . c) $M = (2 x + 3)^{2} + 6 \geq 6$ . GTNN bằng $6$ khi $x = - \frac{3}{2}$ .

Bài 8: a) $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 6^{2} - 2 (8) = 36 - 16 = 20$ .
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 6^{3} - 3 (8) (6) = 216 - 144 = 72$ . b) $x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2 x y = 5^{2} + 2 (3) = 25 + 6 = 31$ .
$x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) = 5^{3} + 3 (3) (5) = 125 + 45 = 170$ .

Bài 9: a) $S = (x + 5) (x + 2) = x^{2} + 7 x + 10$ (m²). b) $Δ S = S - x^{2} = 7 x + 10$ (m²). Thay $x = 30 \Rightarrow Δ S = 7 (30) + 10 = 220$ (m²).

Bài 10: a) $P (x) = 150 x - (x^{2} + 50 x + 1600) = - x^{2} + 100 x - 1600$ (nghìn đồng). b) $P (x) = - (x^{2} - 100 x + 1600) = - (x^{2} - 20 x - 80 x + 1600) = - (x - 20) (x - 80)$ .
Hòa vốn khi $P (x) = 0 \Rightarrow x = 20$ sản phẩm hoặc $x = 80$ sản phẩm.