Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài ôn tập Chương 1: Đa thức

🚀 Khởi động

🏆 Ôn tập Chương 1: Đa thức — Tổng hợp và Bứt phá

Chương 1 đã trang bị cho chúng ta toàn bộ hệ thống công cụ Đại số cốt lõi: Đơn thức, Đa thức và các phép toán Cộng, Trừ, Nhân, Chia đa thức. Cùng hệ thống hóa lại kiến thức để bứt phá đạt điểm tối đa nhé!

🧮

Đơn thức & Đa thức

Thu gọn, Hệ số, Phần biến, Bậc

➕➖

Cộng & Trừ đa thức

Bỏ ngoặc, Đổi dấu, Ghép đồng dạng

✖️➗

Nhân & Chia đa thức

Phân phối, Khai triển, Chia đơn thức

🔍 Khám phá

🗺️ 1. Sơ đồ hệ thống hóa kiến thức Chương 1

\times

Đa• Đa

\times

Đa• Đa

:

Đơn

📖 2. Ba dạng bài tập tổng hợp cốt lõi

Ví dụ 1 (Rút gọn biểu thức tổng hợp): Rút gọn $P = (2 x - y) (x + 2 y) - (x + y)^{2} + 3 y^{2}$ .

Lời giải: $P = (2 x^{2} + 4 x y - x y - 2 y^{2}) - (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y^{2}$ $= 2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} - x^{2} - 2 x y - y^{2} + 3 y^{2} = x^{2} + x y$

Ví dụ 2 (Tìm $x$ từ đẳng thức): Tìm $x$ biết $(3 x + 1) (x - 2) - 3 x (x + 2) = 11$ .

Lời giải: $3 x^{2} - 6 x + x - 2 - 3 x^{2} - 6 x = 11 \Rightarrow - 11 x - 2 = 11 \Rightarrow - 11 x = 13 \Rightarrow x = - \frac{13}{11}$

Ví dụ 3 (Chứng minh biểu thức luôn nhận giá trị dương/âm): Chứng minh $A = x (x - 6) + 10$ luôn nhận giá trị dương với mọi $x$ .

Lời giải: $A = x^{2} - 6 x + 10 = (x^{2} - 6 x + 9) + 1 = (x - 3)^{2} + 1$ Vì $(x - 3)^{2} \geq 0$ với mọi $x \Rightarrow (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x$ .

✏️ Thực hành tương tác

🏆

Thực hành tương tác: Ôn tập Tổng hợp Chương 1 (Đa thức)

📌 Dạng bài: Đơn thức & Thu gọn

Thu gọn đơn thức $A = (-2x^2y^3) \cdot (3x^3y)$ và tìm bậc:

(-2x^2y^3) \cdot (3x^3y)

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Thu gọn, tìm bậc và tính giá trị biểu thức

Ví dụ 1: Thu gọn $A = 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + 5 x^{2} y + 4 x y^{2} - 1$ . Lời giải: $A = 8 x^{2} y + 2 x y^{2} - 1$ . Bậc là 3.

Ví dụ 2: Tính giá trị $B = (x - 2) (x + 2) - x^{2}$ tại $x = 2024$ . Lời giải: $B = x^{2} - 4 - x^{2} = - 4$ . Giá trị luôn bằng $- 4$ .

Ví dụ 3: Cho $x + y = 3$ . Tính $M = x^{2} + x y + 2 x + 2 y$ . Lời giải: $M = x (x + y) + 2 (x + y) = (x + 2) (x + y) = 3 (x + 2)$ .

Dạng 2: Phép tính cộng, trừ, nhân, chia đa thức tổng hợp

Ví dụ 1: Tính $(12 x^{4} y^{3} - 9 x^{3} y^{2}) : 3 x^{2} y^{2} - (4 x y - 3 x)$ . Lời giải: $(4 x^{2} y - 3 x) - 4 x y + 3 x = 4 x^{2} y - 4 x y$ .

Ví dụ 2: Tính $(x + y)^{2} - (x - y)^{2}$ . Lời giải: $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) - (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 4 x y$ .

Ví dụ 3: Rút gọn $P = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) - 8 x^{3}$ . Lời giải: $P = 8 x^{3} - 1 - 8 x^{3} = - 1$ .

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế liên môn

📝 Câu 1 (Thiết kế công viên): Một công viên hình chữ nhật diện tích $S = 15 x^{2} + 10 x y$ (m²). Người ta chia công viên làm 5 khu vực bằng nhau.

a) Viết đa thức biểu thị diện tích mỗi khu vực. b) Tính diện tích mỗi khu vực khi $x = 10$ m, $y = 6$ m.

Lời giải: a) $S_{0} = (15 x^{2} + 10 x y) : 5 = 3 x^{2} + 2 x y$ (m²). b) Thay $x = 10, y = 6 \Rightarrow S_{0} = 3 (100) + 2 (10) (6) = 300 + 120 = 420$ (m²).

📝 Câu 2 (Sản lượng nông nghiệp): Năng suất lúa vụ 1 là $(x + 2)$ tấn/ha trên diện tích $x$ ha. Năng suất vụ 2 là $(x + 1)$ tấn/ha trên diện tích $(x + 3)$ ha.

a) Viết đa thức tính tổng sản lượng lúa cả hai vụ. b) Tính tổng sản lượng khi $x = 5$ ha.

Lời giải: a) $S = x (x + 2) + (x + 1) (x + 3) = (x^{2} + 2 x) + (x^{2} + 4 x + 3) = 2 x^{2} + 6 x + 3$ (tấn). b) Thay $x = 5 \Rightarrow S = 2 (25) + 6 (5) + 3 = 50 + 30 + 3 = 83$ (tấn).

📝 Câu 3 (Kinh tế hộ gia đình): Thu nhập gia đình gồm $2 x$ triệu đồng từ lương và $y$ triệu đồng từ kinh doanh. Chi tiêu gia đình bằng $60%$ thu nhập.

a) Viết đa thức tính số tiền tiết kiệm hàng tháng $T$ . b) Tính số tiền tiết kiệm khi $x = 10, y = 8$ .

Lời giải: a) $T = (2 x + y) - 0, 6 (2 x + y) = 0, 4 (2 x + y) = 0, 8 x + 0, 4 y$ (triệu đồng). b) Thay $x = 10, y = 8 \Rightarrow T = 0, 8 (10) + 0, 4 (8) = 8 + 3, 2 = 11, 2$ triệu đồng.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây là đơn thức thu gọn?

⭐ Ghi nhớ

Ghi nhớ 4 phép tính: Cộng, Trừ, Nhân, Chia đa thức.
Luôn thu gọn đa thức về dạng chuẩn trước khi tính giá trị hoặc tìm bậc.
Chú ý quy tắc đổi dấu khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Thu gọn đơn thức & Đa thức tổng hợp): Thu gọn các biểu thức sau và tìm bậc của chúng:

a) $A = (- \frac{2}{3} x^{2} y^{3}) \cdot (9 x^{3} y)$

b) $B = (- 2 x y^{2})^{3} \cdot (3 x^{2} y)$

c) $C = 4 x^{3} y - 2 x y^{2} + 3 x^{3} y + 5 x y^{2} - 7$

d) $D = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 5 x^{4} + 3 x^{2} - 8$

e) $E = a^{2} b - 3 a b^{2} + 2 a^{2} b + 5 a b^{2}$

f) $F = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 3 x y + \frac{3}{2} x^{2} y^{2} + 3 x y$

Bài 2 (Dễ — Phép cộng và trừ đa thức tổng hợp): Thực hiện các phép tính:

a) $(3 x^{2} + 2 x - 1) + (x^{2} - 5 x + 4)$

b) $(5 x^{2} y - 3 x y^{2}) - (2 x^{2} y + 4 x y^{2})$

c) $(2 x^{3} - x + 5) + (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$

d) $(3 x^{2} - 5 x y + 2) - (2 x^{2} - 5 x y - 3)$

e) Cho $M = 2 x^{2} y - 3 x y + 5$ và $N = x^{2} y + 4 x y - 2$ . Tính $M + N$ .

f) Cho $M = 2 x^{2} y - 3 x y + 5$ và $N = x^{2} y + 4 x y - 2$ . Tính $M - N$ .

Bài 3 (Trung bình — Phép nhân và phép chia đa thức): Thực hiện các phép tính:

a) $2 x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 5)$

b) $(- 2 x y) (x^{2} y - 3 x y^{2} + 4)$

c) $(x + 4) (x - 2)$

d) $(2 x - 3) (x^{2} + 2 x - 1)$

e) $(18 x^{4} y^{3} - 12 x^{3} y^{2}) : (6 x^{2} y)$

f) $(15 x^{4} y^{3} - 10 x^{3} y^{2} + 5 x^{2} y^{2}) : (5 x^{2} y^{2})$

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn & Tính giá trị biểu thức tổng hợp):

a) Rút gọn $P = (x - 3) (x + 3) - (x + 2) (x - 1)$ . Tính giá trị $P$ tại $x = 10$ .

b) Rút gọn $Q = (12 x^{4} y^{2} - 8 x^{3} y^{3}) : (4 x^{2} y^{2}) - 3 x^{2} + 2 x y$ .

c) Tính giá trị $M = (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$ tại $x = 2, y = 3$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm $x$ từ các phép tính):

a) Tìm $x$ biết $2 x (x - 3) - x (2 x + 1) = 14$ .

b) Tìm $x$ biết $(x + 1) (x + 3) - x (x + 2) = 7$ .

c) Tìm $x$ biết $(10 x^{2} - 5 x) : 5 x = 3$ .

Bài 6 (Khá — Biểu thức 3 đa thức & Tìm đa thức $X$ ):

a) Cho $A = 3 x^{2} y - 2 x y + 1$ , $B = x^{2} y + 4 x y - 3$ , $C = - x^{2} y + 4 x y - 2$ . Tính $2 A - 3 B + C$ .

b) Tìm đa thức $X$ biết $X + (2 x^{2} - y^{2}) = 5 x^{2} + 3 y^{2} - 1$ .

Bài 7 (Khá — Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $M = (2 x - 1) (3 x + 2) - 6 x (x + 1) + x = - 2$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

b) Chứng minh $N = (x - 1) (x + 2) - (x + 1) (x - 2) - 2 x = 0$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Đẳng thức nâng cao): Cho $x - y = 7$ và $x y = 12$ . Tính giá trị của $x^{2} + y^{2}$ và $x^{3} - y^{3}$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Công viên & Năng suất nông nghiệp):

a) Một công viên hình chữ nhật diện tích $S = 15 x^{2} + 10 x y$ (m²). Người ta chia công viên làm 5 khu vực bằng nhau. Viết đa thức biểu thị diện tích mỗi khu vực và tính khi $x = 10$ m, $y = 6$ m.

b) Năng suất lúa vụ 1 là $(x + 2)$ tấn/ha trên diện tích $x$ ha. Năng suất vụ 2 là $(x + 1)$ tấn/ha trên diện tích $(x + 3)$ ha. Viết đa thức tính tổng sản lượng lúa cả hai vụ và tính khi $x = 5$ ha.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Tiết kiệm gia đình & Chi phí sản xuất):

a) Thu nhập gia đình gồm $2 x$ triệu đồng từ lương và $y$ triệu đồng từ kinh doanh. Chi tiêu gia đình bằng $60%$ thu nhập. Viết đa thức tính số tiền tiết kiệm hàng tháng $T$ và tính khi $x = 10, y = 8$ .

b) Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C (x) = 50 x + 1000$ (nghìn đồng). Doanh thu bán $x$ sản phẩm là $R (x) = 120 x$ (nghìn đồng). Viết đa thức lợi nhuận $P (x) = R (x) - C (x)$ và tính lợi nhuận khi bán 100 sản phẩm.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $A = - 6 x^{5} y^{4}$ , Bậc 9. b) $B = (- 8 x^{3} y^{6}) \cdot (3 x^{2} y) = - 24 x^{5} y^{7}$ , Bậc 12. c) $C = 7 x^{3} y + 3 x y^{2} - 7$ , Bậc 4. d) $D = 7 x^{4} - 8$ , Bậc 4. e) $E = 3 a^{2} b + 2 a b^{2}$ , Bậc 3. f) $F = 2 x^{2} y^{2}$ , Bậc 4.

Bài 2: a) $4 x^{2} - 3 x + 3$ . b) $3 x^{2} y - 7 x y^{2}$ . c) $3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 3$ . d) $x^{2} + 5$ . e) $M + N = 3 x^{2} y + x y + 3$ . f) $M - N = x^{2} y - 7 x y + 7$ .

Bài 3: a) $6 x^{4} - 8 x^{3} + 10 x^{2}$ . b) $- 2 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y^{3} - 8 x y$ . c) $x^{2} + 2 x - 8$ . d) $2 x^{3} + x^{2} - 8 x + 3$ . e) $3 x^{2} y^{2} - 2 x y$ . f) $3 x^{2} y - 2 x + 1$ .

Bài 4: a) $P = (x^{2} - 9) - (x^{2} + x - 2) = - x - 7$ . Thay $x = 10 \Rightarrow P = - 10 - 7 = - 17$ . b) $Q = (3 x^{2} y - 2 x y) - 3 x^{2} y + 2 x y = 0$ . c) $M = 8 x^{3} - y^{3}$ . Thay $x = 2, y = 3 \Rightarrow M = 8 (8) - 27 = 37$ .

Bài 5: a) $2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - x = 14 \Rightarrow - 7 x = 14 \Rightarrow x = - 2$ . b) $(x^{2} + 4 x + 3) - (x^{2} + 2 x) = 7 \Rightarrow 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$ . c) $2 x - 1 = 3 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Bài 6: a) $2 A - 3 B + C = (6 x^{2} y - 4 x y + 2) - (3 x^{2} y + 12 x y - 9) + (- x^{2} y + 4 x y - 2) = 2 x^{2} y - 12 x y + 9$ . b) $X = (5 x^{2} + 3 y^{2} - 1) - (2 x^{2} - y^{2}) = 3 x^{2} + 4 y^{2} - 1$ .

Bài 7: a) $M = 6 x^{2} + 4 x - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 6 x + x = - 2$ (hằng số với mọi $x$ ). b) $N = (x^{2} + x - 2) - (x^{2} - x - 2) - 2 x = 2 x - 2 x = 0$ (không phụ thuộc vào $x$ ).

Bài 8:

$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2 x y = 7^{2} + 2 (12) = 49 + 24 = 73$ .
$x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 7 (73 + 12) = 7 (85) = 595$ .

Bài 9: a) Diện tích mỗi khu vực: $S_{0} = (15 x^{2} + 10 x y) : 5 = 3 x^{2} + 2 x y$ (m²). Thay $x = 10, y = 6 \Rightarrow S_{0} = 3 (100) + 2 (10) (6) = 420$ (m²). b) Tổng sản lượng $S = x (x + 2) + (x + 1) (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x + 3$ (tấn). Thay $x = 5 \Rightarrow S = 2 (25) + 6 (5) + 3 = 83$ (tấn).

Bài 10: a) Tiết kiệm hàng tháng $T = (2 x + y) - 0, 6 (2 x + y) = 0, 4 (2 x + y) = 0, 8 x + 0, 4 y$ (triệu đồng). Thay $x = 10, y = 8 \Rightarrow T = 0, 8 (10) + 0, 4 (8) = 11, 2$ triệu đồng. b) Lợi nhuận $P (x) = R (x) - C (x) = 120 x - (50 x + 1000) = 70 x - 1000$ (nghìn đồng). Khi bán 100 sản phẩm $\Rightarrow P (100) = 70 (100) - 1000 = 6000$ nghìn đồng = 6 triệu đồng.