Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức khác. Đây là kỹ năng nền tảng cực kỳ quan trọng giúp bạn giải phương trình, rút gọn phân thức đại số và tìm giá trị lớn nhất / nhỏ nhất!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có chung một nhân tử (số hoặc phần biến), ta có thể đặt nhân tử chung đó ra ngoài ngoặc: $A \cdot B + A \cdot C = A \cdot (B + C)$

Hình 1: Đặt nhân tử chung A diện tích $A \cdot B + A \cdot C = A (B + C)$

Ví dụ 1: Phân tích $3 x^{2} - 6 x$ .
Lời giải: $3 x^{2} - 6 x = 3 x \cdot x - 3 x \cdot 2 = 3 x (x - 2)$ .

Ví dụ 2: Phân tích $5 x (x - y) - 10 y (x - y)$ .
Lời giải: $(x - y) (5 x - 10 y) = 5 (x - y) (x - 2 y)$ .

Ví dụ 3: Phân tích $4 a^{2} b - 6 a b^{2} + 2 ab$ .
Lời giải: $2 ab (2 a - 3 b + 1)$ .

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi tổng/hiệu thành tích:

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$
$A^{2} \pm 2 A B + B^{2} = (A \pm B)^{2}$
$A^{3} \pm B^{3} = (A \pm B) (A^{2} \mp A B + B^{2})$

Ví dụ 1: Phân tích $x^{2} - 16$ .
Lời giải: $x^{2} - 4^{2} = (x - 4) (x + 4)$ .

Ví dụ 2: Phân tích $9 x^{2} - 6 x + 1$ .
Lời giải: $(3 x)^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 1 + 1^{2} = (3 x - 1)^{2}$ .

Ví dụ 3: Phân tích $8 x^{3} + 27$ .
Lời giải: $(2 x)^{3} + 3^{3} = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$ .

3. Phương pháp nhóm hạng tử & Phối hợp nhiều phương pháp

Nhóm các hạng tử có chứa nhân tử chung hoặc tạo thành hằng đẳng thức lại với nhau.

Ví dụ 1: Phân tích $x^{2} - x y + 2 x - 2 y$ .
Lời giải: $(x^{2} - x y) + (2 x - 2 y) = x (x - y) + 2 (x - y) = (x - y) (x + 2)$ .

Ví dụ 2: Phân tích $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 9$ .
Lời giải: $(x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 9 = (x - y)^{2} - 3^{2} = (x - y - 3) (x - y + 3)$ .

Ví dụ 3: Phân tích $2 x^{3} - 8 x$ .
Lời giải: $2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2)$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Phân tích đa thức thành nhân tử

🎯 Luyện tập Phân tích đa thức thành nhân tử

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Phân tích đa thức $2x^2 - 4x$ thành nhân tử (bằng phương pháp đặt nhân tử chung):

2x^2 - 4x

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản Phương pháp: Đặt nhân tử chung $\to$ Dùng hằng đẳng thức $\to$ Nhóm hạng tử.

Ví dụ 1: Phân tích $x^{2} - 4 x$ .
Lời giải: $x (x - 4)$ .

Ví dụ 2: Phân tích $x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}$ .
Lời giải: $(x - 3)^{2} - y^{2} = (x - 3 - y) (x - 3 + y)$ .

Ví dụ 3: Phân tích $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .
Lời giải: $(x - 1)^{3}$ .

Dạng 2: Tìm $x$ bằng cách đưa về phương trình tích Phương pháp: Biến đổi $A (x) = 0 \Rightarrow A_{1} (x) \cdot A_{2} (x) = 0 \Rightarrow A_{1} (x) = 0$ hoặc $A_{2} (x) = 0$ .

Ví dụ 1: Tìm $x$ biết $x^{2} - 5 x = 0$ .
Lời giải: $x (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 5$ .

Ví dụ 2: Tìm $x$ biết $(x + 2)^{2} - 9 = 0$ .
Lời giải: $(x + 2 - 3) (x + 2 + 3) = 0 \Rightarrow (x - 1) (x + 5) = 0 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = - 5$ .

Ví dụ 3: Tìm $x$ biết $x^{3} - 4 x = 0$ .
Lời giải: $x (x - 2) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2, x = - 2$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính diện tích đất nông nghiệp ghép): Một khu đất nông nghiệp hình chữ nhật có diện tích $S = x^{2} + 5 x + 6$ (m²).

a) Phân tích $S$ thành tích hai đa thức bậc nhất biểu thị kích thước chiều dài và chiều rộng.
b) Tính chu vi khu đất khi $x = 10$ m.

Lời giải:
a) $S = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3)$ (m²). Chiều rộng là $x + 2$ (m) và chiều dài là $x + 3$ (m).
b) Chu vi $P = 2 [(x + 2) + (x + 3)] = 2 (2 x + 5) = 4 x + 10$ (m). Thay $x = 10 \Rightarrow P = 4 (10) + 10 = 50$ (m).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phân tích đa thức $2x^2 - 4x$ thành nhân tử được:

⭐ Ghi nhớ

Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .
Hằng đẳng thức: Đưa đa thức về đúng dạng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Nhóm hạng tử: Nhóm các hạng tử có đặc điểm chung hợp lý.
Tách / Thêm bớt hạng tử: Dùng khi các phương pháp trên chưa áp dụng trực tiếp được.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Phân tích bằng phương pháp đặt nhân tử chung):

a) $3 x^{2} - 6 x$ b) $5 x^{2} y - 10 x y^{2}$ c) $4 x (x - y) + 3 (x - y)$

d) $x^{2} (y - 1) - x y (y - 1)$ e) $6 a^{2} b - 9 a b^{2} + 3 ab$ f) $2 x (y - z) + 5 (z - y)$

Bài 2 (Dễ — Phân tích bằng hằng đẳng thức):

a) $x^{2} - 16$ b) $4 x^{2} - 9 y^{2}$ c) $x^{2} + 6 x + 9$

d) $9 x^{2} - 12 x + 4$ e) $x^{3} + 27$ f) $8 x^{3} - 1$

Bài 3 (Trung bình — Phân tích bằng phương pháp nhóm hạng tử):

a) $x^{2} - x y + 3 x - 3 y$ b) $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 16$ c) $a^{2} - b^{2} + 4 a + 4$

d) $x^{3} - x^{2} y - x + y$ e) $x^{2} - y^{2} - 2 x + 1$ f) $x y - 3 x - 2 y + 6$

Bài 4 (Trung bình — Phối hợp nhiều phương pháp):

a) $2 x^{3} - 8 x$ b) $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$ c) $x^{4} - 16$

d) $x^{3} - 4 x^{2} y + 4 x y^{2}$ e) $5 x^{3} - 5 x$ f) $2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 y^{2}$

Bài 5 (Trung bình — Phân tích đa thức bậc hai bằng phương pháp tách hạng tử):

a) $x^{2} - 5 x + 6$ b) $x^{2} + 7 x + 12$ c) $x^{2} - 3 x - 4$

d) $x^{2} + x - 6$ e) $2 x^{2} + 5 x + 2$ f) $3 x^{2} - 8 x + 4$

Bài 6 (Khá — Tìm $x$ bằng phương pháp phân tích thành nhân tử):

a) Tìm $x$ biết $x^{2} - 9 = 0$ .

b) Tìm $x$ biết $x^{2} - 6 x = 0$ .

c) Tìm $x$ biết $(x - 2)^{2} - 25 = 0$ .

d) Tìm $x$ biết $x^{3} - 4 x = 0$ .

e) Tìm $x$ biết $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .

f) Tìm $x$ biết $x (x - 3) + 2 x - 6 = 0$ .

Bài 7 (Khá — Tính nhanh giá trị biểu thức):

a) Tính nhanh $A = 7 3^{2} + 2 7^{2} + 54 \cdot 73$ .

b) Tính nhanh $B = 10 5^{2} - 25$ .

c) Tính nhanh $C = 8 7^{2} + 26 \cdot 87 + 1 3^{2}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Phân tích đa thức thành nhân tử bằng thêm bớt hạng tử):

a) Phân tích $x^{4} + 4$ thành nhân tử.

b) Phân tích $x^{4} + x^{2} + 1$ thành nhân tử.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Kích thước mảnh đất): Mảnh đất hình chữ nhật diện tích $S = x^{2} + 6 x + 8$ (m²).

a) Phân tích $S$ thành tích hai đa thức bậc nhất để tìm chiều dài và chiều rộng.

b) Tính diện tích mảnh đất khi $x = 10$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Chia đều sản lượng sản xuất): Một nhà máy sản xuất tổng sản lượng $Q = x^{3} - x$ (sản phẩm) trong $x$ ngày.

a) Viết đa thức biểu thị sản lượng trung bình mỗi ngày dưới dạng tích.

b) Tính sản lượng mỗi ngày khi $x = 11$ ngày.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $3 x (x - 2)$ . b) $5 x y (x - 2 y)$ . c) $(x - y) (4 x + 3)$ . d) $x (y - 1) (x - y)$ . e) $3 ab (2 a - 3 b + 1)$ . f) $(y - z) (2 x - 5)$ .

Bài 2: a) $(x - 4) (x + 4)$ . b) $(2 x - 3 y) (2 x + 3 y)$ . c) $(x + 3)^{2}$ . d) $(3 x - 2)^{2}$ . e) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ . f) $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$ .

Bài 3: a) $x (x - y) + 3 (x - y) = (x - y) (x + 3)$ . b) $(x - y)^{2} - 4^{2} = (x - y - 4) (x - y + 4)$ . c) $(a + 2)^{2} - b^{2} = (a + 2 - b) (a + 2 + b)$ . d) $x^{2} (x - y) - (x - y) = (x - y) (x^{2} - 1) = (x - y) (x - 1) (x + 1)$ . e) $(x - 1)^{2} - y^{2} = (x - 1 - y) (x - 1 + y)$ . f) $x (y - 3) - 2 (y - 3) = (y - 3) (x - 2)$ .

Bài 4: a) $2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2)$ . b) $3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 (x - y)^{2}$ . c) $(x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ . d) $x (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}) = x (x - 2 y)^{2}$ . e) $5 x (x^{2} - 1) = 5 x (x - 1) (x + 1)$ . f) $2 [(x - 1)^{2} - y^{2}] = 2 (x - 1 - y) (x - 1 + y)$ .

Bài 5: a) $x^{2} - 2 x - 3 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . b) $x^{2} + 3 x + 4 x + 12 = (x + 3) (x + 4)$ . c) $x^{2} - 4 x + x - 4 = (x - 4) (x + 1)$ . d) $x^{2} + 3 x - 2 x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ . e) $2 x^{2} + 4 x + x + 2 = 2 x (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (2 x + 1)$ . f) $3 x^{2} - 6 x - 2 x + 4 = 3 x (x - 2) - 2 (x - 2) = (x - 2) (3 x - 2)$ .

Bài 6: a) $(x - 3) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = - 3$ . b) $x (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 6$ . c) $(x - 2 - 5) (x - 2 + 5) = 0 \Rightarrow (x - 7) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 7$ hoặc $x = - 3$ . d) $x (x - 2) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2, x = - 2$ . e) $(x - 2) (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = 5$ . f) $(x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = - 2$ .

Bài 7: a) $A = 7 3^{2} + 2 \cdot 73 \cdot 27 + 2 7^{2} = (73 + 27)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ . b) $B = (105 - 5) (105 + 5) = 100 \cdot 110 = 11000$ . c) $C = (87 + 13)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ .

Bài 8: a) $x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2 x)^{2} = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$ . b) $(x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2} = (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

Bài 9: a) $S = (x + 2) (x + 4)$ (m²). Chiều rộng là $x + 2$ (m), chiều dài là $x + 4$ (m). b) Thay $x = 10 \Rightarrow S = 12 \cdot 14 = 168$ (m²).

Bài 10: a) Năng suất $N = Q : x = (x^{3} - x) : x = x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ (sản phẩm/ngày). b) Thay $x = 11 \Rightarrow N = (11 - 1) (11 + 1) = 10 \cdot 12 = 120$ (sản phẩm/ngày).