Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Hai hằng đẳng thức cuối cùng trong bộ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là Tổng hai lập phương và Hiệu hai lập phương. Các công thức này giúp biến đổi tổng hoặc hiệu hai lũy thừa bậc ba thành dạng tích cực kỳ tiện lợi cho phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Tổng hai lập phương

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$

(Lưu ý: Ta gọi $A^{2} - A B + B^{2}$ là bình phương thiếu của một hiệu).

Hình 1: Mô hình ghép tổng hai thể tích lập phương $A^{3} + B^{3}$

Ví dụ 1: Khai triển $x^{3} + 27$ .
Lời giải: $x^{3} + 27 = x^{3} + 3^{3} = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ .

Ví dụ 2: Viết tích $(2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2})$ dưới dạng tổng hai lập phương.
Lời giải: $(2 x + y) [(2 x)^{2} - (2 x) y + y^{2}] = (2 x)^{3} + y^{3} = 8 x^{3} + y^{3}$ .

Ví dụ 3: Tính nhanh $1001 \cdot 999$ bằng hằng đẳng thức tổng lập phương.
Lời giải: $(10 + 1) (100 - 10 + 1) = 1 0^{3} + 1^{3} = 1001$ .

2. Hiệu hai lập phương

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$

(Lưu ý: Ta gọi $A^{2} + A B + B^{2}$ là bình phương thiếu của một tổng).

Ví dụ 1: Khai triển $x^{3} - 64$ .
Lời giải: $x^{3} - 64 = x^{3} - 4^{3} = (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ .

Ví dụ 2: Viết tích $(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$ dưới dạng hiệu hai lập phương.
Lời giải: $(3 x - 1) [(3 x)^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}] = (3 x)^{3} - 1^{3} = 27 x^{3} - 1$ .

Ví dụ 3: Tính nhanh $999$ dưới dạng tích hằng đẳng thức.
Lời giải: $(10 - 1) (100 + 10 + 1) = 1 0^{3} - 1^{3} = 1000 - 1 = 999$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Tổng & Hiệu hai lập phương

🎯 Luyện tập Hằng đẳng thức: Tổng & Hiệu hai lập phương

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Viết biểu thức $x^3 + 8$ dưới dạng tích:

x^3 + 8

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết tổng/hiệu hai lập phương thành tích Phương pháp: Nhận dạng $A^{3} \pm B^{3} = (A \pm B) (A^{2} \mp A B + B^{2})$ .

Ví dụ 1: Phân tích $8 x^{3} + 1$ .
Lời giải: $(2 x)^{3} + 1^{3} = (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$ .

Ví dụ 2: Phân tích $x^{3} - 8 y^{3}$ .
Lời giải: $x^{3} - (2 y)^{3} = (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2})$ .

Ví dụ 3: Phân tích $27 a^{3} + 64 b^{3}$ .
Lời giải: $(3 a)^{3} + (4 b)^{3} = (3 a + 4 b) (9 a^{2} - 12 ab + 16 b^{2})$ .

Dạng 2: Rút gọn biểu thức tổng hợp Phương pháp: Biến đổi các tích về dạng $A^{3} \pm B^{3}$ để thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Ví dụ 1: Rút gọn $A = (x - 1) (x^{2} + x + 1) - x^{3}$ .
Lời giải: $A = (x^{3} - 1) - x^{3} = - 1$ .

Ví dụ 2: Rút gọn $B = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .
Lời giải: $B = (x^{3} + 8) - (x^{3} - 8) = 16$ .

Ví dụ 3: Tính giá trị $P = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ tại $x = 10$ .
Lời giải: $P = x^{3} + 27 = 1 0^{3} + 27 = 1027$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Thể tích phần vật liệu rỗng): Một khối bê tông lập phương lớn có cạnh $a$ (m) bị khoét rỗng một góc lập phương nhỏ có cạnh $b$ (m).

a) Viết biểu thức thể tích phần bê tông còn lại dưới dạng tích.
b) Tính thể tích khi $a = 5$ m, $b = 2$ m.

Lời giải:
a) Thể tích còn lại: $V = a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ (m³).
b) Thay $a = 5, b = 2 \Rightarrow V = (5 - 2) (25 + 10 + 4) = 3 \cdot 39 = 117$ (m³).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Khai triển $x^3 + 8$ thành tích:

⭐ Ghi nhớ

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)
A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Viết dưới dạng tích): Phân tích các đa thức sau thành tích:

a) $x^{3} + 8$ b) $x^{3} - 27$ c) $8 x^{3} + 1$

d) $27 x^{3} - 8 y^{3}$ e) $125 a^{3} + b^{3}$ f) $x^{3} y^{3} - 1$

Bài 2 (Dễ — Viết dưới dạng tổng hoặc hiệu hai lập phương): Viết các tích sau dưới dạng tổng hoặc hiệu hai lập phương:

a) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ b) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

c) $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$ d) $(3 x - 2 y) (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2})$

e) $(a^{2} + b) (a^{4} - a^{2} b + b^{2})$ f) $(x - \frac{1}{2}) (x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4})$

Bài 3 (Trung bình — Rút gọn & Tính giá trị biểu thức):

a) Tính giá trị $A = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ tại $x = 10$ .

b) Tính giá trị $B = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ tại $x = 7$ .

c) Tính giá trị $C = (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$ tại $x = 3, y = 2$ .

d) Rút gọn $P = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) - x^{3}$ .

e) Rút gọn $Q = (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

f) Rút gọn $M = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Bài 4 (Trung bình — Tìm $x$ ):

a) Tìm $x$ biết $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3} = 2 x$ .

b) Tìm $x$ biết $(x - 1) (x^{2} + x + 1) - x^{3} = - x$ .

c) Tìm $x$ biết $x^{3} + 27 = 0$ .

Bài 5 (Trung bình — Chứng minh đẳng thức):

a) Chứng minh $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) + (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = 2 a^{3}$ .

b) Chứng minh $(a + b)^{3} - (a - b)^{3} = 2 b (3 a^{2} + b^{2})$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $P = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 9$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

b) Chứng minh $Q = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + (y - z) (y^{2} + y z + z^{2}) + (z - x) (z^{2} + z x + x^{2}) = 0$ .

Bài 7 (Khá — Cho $x + y$ và $x y$ , tính $x^{3} + y^{3}$ ):

a) Cho $x + y = 4$ và $x y = 3$ . Tính $x^{3} + y^{3}$ .

b) Cho $x - y = 5$ và $x y = 2$ . Tính $x^{3} - y^{3}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Chứng minh biểu thức luôn dương):

a) Chứng minh $A = x^{2} - x + 1 > 0$ với mọi $x \in R$ (Bình phương thiếu của một hiệu).

b) Chứng minh $B = x^{2} + x + 1 > 0$ với mọi $x \in R$ (Bình phương thiếu của một tổng).

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Thể tích bể bơi ghép): Bể bơi A dạng hình lập phương cạnh $x$ (m), bể bơi B dạng hình lập phương cạnh $y$ (m).

a) Viết đa thức biểu thị tổng thể tích 2 bể bơi dưới dạng tích.

b) Tính tổng thể tích hai bể khi $x = 4$ m, $y = 3$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Lượng nước chênh lệch): Một thùng chứa hình lập phương lớn cạnh $a$ (m) và thùng nhỏ cạnh $b$ (m).

a) Viết đa thức biểu thị lượng nước chênh lệch giữa hai thùng khi đầy nước.

b) Tính lượng nước chênh lệch khi $a = 3$ m, $b = 1$ m.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ . b) $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ . c) $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$ . d) $(3 x - 2 y) (9 x^{2} + 6 x y + 4 y^{2})$ . e) $(5 a + b) (25 a^{2} - 5 ab + b^{2})$ . f) $(x y - 1) (x^{2} y^{2} + x y + 1)$ .

Bài 2: a) $x^{3} + 8$ . b) $x^{3} - 27$ . c) $8 x^{3} + 1$ . d) $27 x^{3} - 8 y^{3}$ . e) $a^{6} + b^{3}$ . f) $x^{3} - \frac{1}{8}$ .

Bài 3: a) $A = x^{3} - 1 = 1 0^{3} - 1 = 999$ . b) $B = x^{3} + 27 = 7^{3} + 27 = 343 + 27 = 370$ . c) $C = 8 x^{3} - y^{3} = 8 (27) - 8 = 216 - 8 = 208$ . d) $P = (x^{3} - 8) - x^{3} = - 8$ . e) $Q = (x^{3} + 1) + (x^{3} - 1) = 2 x^{3}$ . f) $M = (x^{3} + 8) - (x^{3} - 8) = 16$ .

Bài 4: a) $(x^{3} + 8) - x^{3} = 2 x \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ . b) $(x^{3} - 1) - x^{3} = - x \Rightarrow - x = - 1 \Rightarrow x = 1$ . c) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ (vì $x^{2} - 3 x + 9 > 0$ ).

Bài 5: a) VT $= (a^{3} + b^{3}) + (a^{3} - b^{3}) = 2 a^{3} =$ VP (đpcm). b) VT $= (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}) = 6 a^{2} b + 2 b^{3} = 2 b (3 a^{2} + b^{2}) =$ VP (đpcm).

Bài 6: a) $P = (x^{3} + 8) - (x^{3} - 1) = 9$ (không phụ thuộc vào $x$ ). b) $Q = (x^{3} - y^{3}) + (y^{3} - z^{3}) + (z^{3} - x^{3}) = 0$ (không phụ thuộc vào biến).

Bài 7: a) $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 4^{3} - 3 (3) (4) = 64 - 36 = 28$ . b) $x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) = 5^{3} + 3 (2) (5) = 125 + 30 = 155$ .

Bài 8: a) $A = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$ . b) $B = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$ .

Bài 9: a) $V = x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ (m³). b) Thay $x = 4, y = 3 \Rightarrow V = 4^{3} + 3^{3} = 64 + 27 = 91$ (m³).

Bài 10: a) $Δ V = a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ (m³). b) Thay $a = 3, b = 1 \Rightarrow Δ V = 3^{3} - 1^{3} = 27 - 1 = 26$ (m³).