Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 7: Lập phương của một tổng hay một hiệu

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Khi nâng lên lũy thừa bậc ba của một tổng hoặc một hiệu, ta thu được hai hằng đẳng thức rất đẹp mắt: Lập phương của một tổng và Lập phương của một hiệu. Bài học này giúp bạn nắm vững công thức và khai triển nhanh các biểu thức đại số dạng lập phương!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Lập phương của một tổng

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$

Hình 1: Biểu diễn khối lập phương thể tích $(A + B)^{3}$

Ví dụ 1: Khai triển $(x + 2)^{3}$ .
Lời giải: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .

Ví dụ 2: Khai triển $(2 x + y)^{3}$ .
Lời giải: $(2 x + y)^{3} = (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot y + 3 \cdot (2 x) \cdot y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$ .

Ví dụ 3: Tính nhẩm $1 1^{3}$ .
Lời giải: $1 1^{3} = (10 + 1)^{3} = 1 0^{3} + 3 \cdot 1 0^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 10 \cdot 1^{2} + 1^{3} = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331$ .

2. Lập phương của một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$

Ví dụ 1: Khai triển $(x - 1)^{3}$ .
Lời giải: $(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} - 1^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .

Ví dụ 2: Khai triển $(3 x - 2 y)^{3}$ .
Lời giải: $(3 x - 2 y)^{3} = (3 x)^{3} - 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot (2 y) + 3 \cdot (3 x) \cdot (2 y)^{2} - (2 y)^{3} = 27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} - 8 y^{3}$ .

Ví dụ 3: Tính nhẩm $9 9^{3}$ dưới dạng $A - B$ .
Lời giải: $9 9^{3} = (100 - 1)^{3} = 10 0^{3} - 3 (100)^{2} (1) + 3 (100) (1)^{2} - 1^{3} = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Lập phương một tổng / một hiệu

🎯 Luyện tập Hằng đẳng thức: Lập phương một tổng / một hiệu

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Khai triển hằng đẳng thức $(x + 2)^3$:

(x + 2)^3

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Khai triển hằng đẳng thức lập phương Phương pháp: Xác định $A, B$ rồi áp dụng công thức $(A \pm B)^{3} = A^{3} \pm 3 A^{2} B + 3 A B^{2} \pm B^{3}$ .

Ví dụ 1: Khai triển $(x + 3)^{3}$ .
Lời giải: $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ .

Ví dụ 2: Khai triển $(2 x - 1)^{3}$ .
Lời giải: $8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$ .

Ví dụ 3: Khai triển $(x + 2 y)^{3}$ .
Lời giải: $x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$ .

Dạng 2: Biến đổi đa thức về dạng lập phương Phương pháp: Nhận diện 4 hạng tử $A^{3} \pm 3 A^{2} B + 3 A B^{2} \pm B^{3}$ để thu gọn thành $(A \pm B)^{3}$ .

Ví dụ 1: Thu gọn $x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$ .
Lời giải: $x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot (2 y) + 3 \cdot x \cdot (2 y)^{2} + (2 y)^{3} = (x + 2 y)^{3}$ .

Ví dụ 2: Thu gọn $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27$ .
Lời giải: $(x - 3)^{3}$ .

Ví dụ 3: Tính giá trị $P = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ tại $x = 102$ .
Lời giải: $P = (x - 2)^{3} = (102 - 2)^{3} = 10 0^{3} = 1000000$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Thể tích khối bê tông lập phương mở rộng): Khối bê tông hình lập phương ban đầu có cạnh $x$ (m). Sau khi đúc rộng ra, mỗi cạnh tăng thêm $1$ (m).

a) Viết biểu thức đa thức biểu thị thể tích khối bê tông mới.
b) Tính thể tích phần bê tông tăng thêm khi $x = 2$ m.

Lời giải:
a) Cạnh mới là $x + 1$ (m). Thể tích mới $V = (x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ (m³).
b) Thể tích tăng thêm $Δ V = V - x^{3} = 3 x^{2} + 3 x + 1$ (m³). Thay $x = 2 \Rightarrow Δ V = 3 (4) + 3 (2) + 1 = 19$ (m³).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Khai triển $(x + 2)^3$ được:

⭐ Ghi nhớ

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Khai triển hằng đẳng thức): Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x + 1)^{3}$ b) $(x - 2)^{3}$ c) $(2 x + 1)^{3}$

d) $(x - 3 y)^{3}$ e) $(3 x + y)^{3}$ f) $(x - \frac{1}{3})^{3}$

Bài 2 (Dễ — Viết về dạng lập phương một tổng/hiệu):

a) Viết $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ thành lập phương một tổng.

b) Viết $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ thành lập phương một hiệu.

c) Viết $8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$ thành lập phương một tổng.

d) Viết $27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$ thành lập phương một hiệu.

e) Viết $x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$ thành lập phương một tổng.

f) Viết $8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$ thành lập phương một hiệu.

Bài 3 (Trung bình — Tính nhanh & Tính giá trị biểu thức):

a) Tính nhanh $10 1^{3}$ bằng hằng đẳng thức.

b) Tính nhanh $9 9^{3}$ bằng hằng đẳng thức.

c) Tính giá trị $P = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ tại $x = 97$ .

d) Tính giá trị $Q = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ tại $x = 104$ .

e) Tính giá trị $M = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$ tại $x = 6, y = 2$ .

f) Tính giá trị $N = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ tại $x = 35, y = 65$ .

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn biểu thức):

a) Rút gọn $A = (x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}$ .

b) Rút gọn $B = (x + 2)^{3} - 6 x (x + 2) - x^{3}$ .

c) Rút gọn $C = (2 x - 1)^{3} + 3 (2 x - 1)^{2} + 3 (2 x - 1) + 1$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm $x$ ):

a) Tìm $x$ biết $(x + 1)^{3} - x^{3} - 3 x^{2} = 7$ .

b) Tìm $x$ biết $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = 0$ .

c) Tìm $x$ biết $(x - 2)^{3} + 6 x (x - 2) = 0$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh đẳng thức & Biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $(a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = a^{3} + b^{3}$ .

b) Chứng minh $(a - b)^{3} + 3 ab (a - b) = a^{3} - b^{3}$ .

Bài 7 (Khá — Cho $x + y$ và $x y$ , tính $x^{3} + y^{3}$ ):

a) Cho $x + y = 5$ và $x y = 6$ . Tính $x^{3} + y^{3}$ .

b) Cho $x - y = 4$ và $x y = 5$ . Tính $x^{3} - y^{3}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 3 ghép):

a) Chứng minh $P = (x + 1)^{3} - x^{3} - 3 x \geq 1$ với mọi $x$ .

b) Tìm GTNN của $Q = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 5$ khi $x \geq - 1$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Thể tích bể chứa lập phương): Bể nước lập phương có cạnh $x$ (m) được mở rộng mỗi cạnh thêm $2$ (m).

a) Viết biểu thức đa thức tính thể tích bể mới.

b) Viết đa thức tính thể tích nước tăng thêm và tính khi $x = 3$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Khối hộp rỗng trong công nghiệp): Một khối kim loại hình lập phương cạnh $x$ (cm) bị khoét một lỗ lập phương rỗng bên trong cạnh $(x - 2)$ (cm).

a) Viết đa thức biểu thị thể tích phần kim loại còn lại.

b) Tính thể tích kim loại còn lại khi $x = 10$ cm.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . b) $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ . c) $8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$ . d) $x^{3} - 9 x^{2} y + 27 x y^{2} - 27 y^{3}$ . e) $27 x^{3} + 27 x^{2} y + 9 x y^{2} + y^{3}$ . f) $x^{3} - x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{27}$ .

Bài 2: a) $(x + 1)^{3}$ . b) $(x - 2)^{3}$ . c) $(2 x + 1)^{3}$ . d) $(3 x - 1)^{3}$ . e) $(x + 2 y)^{3}$ . f) $(2 x - 3 y)^{3}$ .

Bài 3: a) $10 1^{3} = (100 + 1)^{3} = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301$ . b) $9 9^{3} = (100 - 1)^{3} = 1000000 - 30000 + 300 - 1 = 970299$ . c) $P = (x + 3)^{3} = (97 + 3)^{3} = 10 0^{3} = 1000000$ . d) $Q = (x - 4)^{3} = (104 - 4)^{3} = 10 0^{3} = 1000000$ . e) $M = (2 x - y)^{3} = [2 (6) - 2]^{3} = 1 0^{3} = 1000$ . f) $N = (x + y)^{3} = (35 + 65)^{3} = 10 0^{3} = 1000000$ .

Bài 4: a) $A = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 6 x^{2} + 2$ . b) $B = (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - 6 x^{2} - 12 x - x^{3} = 8$ . c) Đặt $t = 2 x - 1 \Rightarrow C = t^{3} + 3 t^{2} + 3 t + 1 = (t + 1)^{3} = (2 x - 1 + 1)^{3} = (2 x)^{3} = 8 x^{3}$ .

Bài 5: a) $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x^{3} - 3 x^{2} = 7 \Rightarrow 3 x + 1 = 7 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ . b) $(x - 2)^{3} = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ . c) $(x - 2)^{3} + 6 x (x - 2) = (x - 2) [(x - 2)^{2} + 6 x] = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} - 8 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

Bài 6: a) Biến đổi VT $= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} = a^{3} + b^{3} =$ VP (đpcm). b) Biến đổi VT $= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} = a^{3} - b^{3} =$ VP (đpcm).

Bài 7: a) $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = 5^{3} - 3 (6) (5) = 125 - 90 = 35$ . b) $x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) = 4^{3} + 3 (5) (4) = 64 + 60 = 124$ .

Bài 8: a) $P = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x^{3} - 3 x = 3 x^{2} + 1 \geq 1$ với mọi $x \in R$ . b) $Q = (x + 1)^{3} + 4$ . Với $x \geq - 1 \Rightarrow x + 1 \geq 0 \Rightarrow (x + 1)^{3} \geq 0 \Rightarrow Q \geq 4$ . GTNN bằng $4$ khi $x = - 1$ .

Bài 9: a) Thể tích bể mới: $V = (x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ (m³). b) Thể tích tăng thêm: $Δ V = 6 x^{2} + 12 x + 8$ (m³). Thay $x = 3 \Rightarrow Δ V = 6 (9) + 12 (3) + 8 = 54 + 36 + 8 = 98$ (m³).

Bài 10: a) $V = x^{3} - (x - 2)^{3} = x^{3} - (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) = 6 x^{2} - 12 x + 8$ (cm³). b) Thay $x = 10 \Rightarrow V = 6 (100) - 12 (10) + 8 = 600 - 120 + 8 = 488$ (cm³).