Lớp 8 · Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Nhiều tính toán số học hoặc đại số phức tạp có thể biến đổi và tính nhẩm siêu nhanh nhờ sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Trong bài này, chúng ta sẽ khám phá 3 hằng đẳng thức cơ bản bậc 2 đầu tiên: Bình phương của một tổng, Bình phương của một hiệu, và Hiệu hai bình phương.

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Bình phương của một tổng

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Hình 1: Minh họa địa hình diện tích $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Ví dụ 1: Khai triển $(x + 4)^{2}$ .
Lời giải: $(x + 4)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ .

Ví dụ 2: Tính $(2 a + 3 b)^{2}$ .
Lời giải: $(2 a + 3 b)^{2} = (2 a)^{2} + 2 \cdot (2 a) \cdot (3 b) + (3 b)^{2} = 4 a^{2} + 12 ab + 9 b^{2}$ .

Ví dụ 3: Tính nhẩm $5 2^{2}$ .
Lời giải: $5 2^{2} = (50 + 2)^{2} = 5 0^{2} + 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^{2} = 2500 + 200 + 4 = 2704$ .

2. Bình phương của một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Hình 2: Minh họa hình học diện tích $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Ví dụ 1: Khai triển $(x - 5)^{2}$ .
Lời giải: $(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = x^{2} - 10 x + 25$ .

Ví dụ 2: Khai triển $(3 x - 2 y)^{2}$ .
Lời giải: $(3 x - 2 y)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot (2 y) + (2 y)^{2} = 9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}$ .

Ví dụ 3: Tính nhẩm $9 9^{2}$ .
Lời giải: $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10 0^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ .

3. Hiệu hai bình phương

Với hai biểu thức tùy ý $A$ và $B$ , ta có: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Hình 3: Minh họa hiệu hai bình phương $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$

Ví dụ 1: Tính $x^{2} - 9$ .
Lời giải: $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$ .

Ví dụ 2: Tính $4 a^{2} - 25 b^{2}$ .
Lời giải: $4 a^{2} - 25 b^{2} = (2 a)^{2} - (5 b)^{2} = (2 a - 5 b) (2 a + 5 b)$ .

Ví dụ 3: Tính nhanh $101 \cdot 99$ .
Lời giải: $101 \cdot 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10 0^{2} - 1^{2} = 10000 - 1 = 9999$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hằng đẳng thức 1, 2, 3

🎯 Luyện tập Hằng đẳng thức: Bình phương & Hiệu hai bình phương

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Khai triển hằng đẳng thức $(x + 3)^2$:

(x + 3)^2

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Khai triển biểu thức theo hằng đẳng thức Phương pháp: Nhận diện đúng $A$ và $B$ , áp dụng công thức $(A \pm B)^{2} = A^{2} \pm 2 A B + B^{2}$ hoặc $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

Ví dụ 1: Khai triển $(x + 2 y)^{2}$ .
Lời giải: $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$ .

Ví dụ 2: Khai triển $(3 x - 1)^{2}$ .
Lời giải: $9 x^{2} - 6 x + 1$ .

Ví dụ 3: Khai triển $(x - 4) (x + 4)$ .
Lời giải: $x^{2} - 16$ .

Dạng 2: Viết đa thức dưới dạng bình phương hoặc tích Phương pháp: Biến đổi các hạng tử về đúng dạng $A^{2} \pm 2 A B + B^{2}$ để thu gọn thành $(A \pm B)^{2}$ .

Ví dụ 1: Viết $x^{2} + 6 x + 9$ dưới dạng bình phương.
Lời giải: $x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x + 3)^{2}$ .

Ví dụ 2: Viết $4 x^{2} - 4 x + 1$ dưới dạng bình phương.
Lời giải: $(2 x)^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = (2 x - 1)^{2}$ .

Ví dụ 3: Viết $9 x^{2} - 16 y^{2}$ dưới dạng tích.
Lời giải: $(3 x)^{2} - (4 y)^{2} = (3 x - 4 y) (3 x + 4 y)$ .

Dạng 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức để thu gọn biểu thức trước, sau đó thay giá trị biến vào tính toán.

Ví dụ 1: Rút gọn $P = (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$ .
Lời giải: $P = (x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} - 6 x + 9) = 12 x$ .

Ví dụ 2: Tính giá trị $A = x^{2} - 4 x + 4$ tại $x = 102$ .
Lời giải: $A = (x - 2)^{2} = (102 - 2)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ .

Ví dụ 3: Tính nhanh $20 2^{2} - 202 \cdot 4 + 4$ .
Lời giải: $20 2^{2} - 2 \cdot 202 \cdot 2 + 2^{2} = (202 - 2)^{2} = 20 0^{2} = 40000$ .

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) Phương pháp: Đưa biểu thức về dạng $A (x) = (x \pm k)^{2} + m \geq m \Rightarrow GTNN = m$ hoặc $B (x) = m - (x \pm k)^{2} \leq m \Rightarrow GTLN = m$ .

Ví dụ 1: Tìm GTNN của $P = x^{2} - 6 x + 10$ .
Lời giải: $P = (x^{2} - 6 x + 9) + 1 = (x - 3)^{2} + 1 \geq 1$ . GTNN của $P$ bằng $1$ khi $x = 3$ .

Ví dụ 2: Tìm GTLN của $Q = - x^{2} + 4 x + 5$ .
Lời giải: $Q = - (x^{2} - 4 x + 4) + 9 = - (x - 2)^{2} + 9 \leq 9$ . GTLN của $Q$ bằng $9$ khi $x = 2$ .

Ví dụ 3: Tìm GTNN của $M = 4 x^{2} + 4 x + 7$ .
Lời giải: $M = (2 x + 1)^{2} + 6 \geq 6$ . GTNN của $M$ bằng $6$ khi $x = - \frac{1}{2}$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Mở rộng sân trường): Một mảnh sân hình vuông ban đầu có cạnh $x$ (m). Sau khi quy hoạch, mỗi cạnh được mở rộng thêm $3$ (m).

a) Viết biểu thức tính diện tích sân trường mới.
b) Tính diện tích tăng thêm khi $x = 20$ m.

Lời giải:
a) Cạnh sân mới là $x + 3$ (m). Diện tích mới là $S = (x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (m²).
b) Diện tích tăng thêm $Δ S = S - x^{2} = 6 x + 9$ (m²). Thay $x = 20 \Rightarrow Δ S = 6 (20) + 9 = 129$ (m²).

📝 Câu 2 (Làm khung ảnh trang trí): Khung ảnh hình vuông cạnh $x$ (cm) được đặt lồng bên trong một bức tranh hình vuông cạnh $(x + 5)$ (cm).

a) Viết biểu thức tính diện tích phần bức tranh không bị khung ảnh che phủ.
b) Tính phần diện tích này khi $x = 15$ cm.

Lời giải:
a) Diện tích bức tranh là $(x + 5)^{2}$ , diện tích khung ảnh là $x^{2}$ . Phần diện tích còn lại:
$S = (x + 5)^{2} - x^{2} = (x + 5 - x) (x + 5 + x) = 5 (2 x + 5) = 10 x + 25 (cm²)$
b) Thay $x = 15 \Rightarrow S = 10 (15) + 25 = 175$ (cm²).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Khai triển $(x + 3)^2$ được:

⭐ Ghi nhớ

(A + B)² = A² + 2AB + B²
(A - B)² = A² - 2AB + B²
A² - B² = (A - B)(A + B)

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Khai triển hằng đẳng thức): Khai triển các biểu thức sau:

a) $(x + 4)^{2}$ b) $(2 x - 3)^{2}$ c) $(x - 5 y) (x + 5 y)$

d) $(3 x + 2 y)^{2}$ e) $(4 x - 1)^{2}$ f) $(9 x^{2} - 1)$

Bài 2 (Dễ — Viết dưới dạng bình phương hoặc tích):

a) Viết $x^{2} + 8 x + 16$ dưới dạng bình phương một tổng.

b) Viết $9 x^{2} - 12 x + 4$ dưới dạng bình phương một hiệu.

c) Viết $25 x^{2} - 4 y^{2}$ dưới dạng tích.

d) Viết $x^{2} y^{2} - 4$ dưới dạng tích.

e) Viết $4 x^{2} + 4 x + 1$ dưới dạng bình phương một tổng.

f) Viết $x^{2} - x + \frac{1}{4}$ dưới dạng bình phương một hiệu.

Bài 3 (Trung bình — Tính nhanh & Tính giá trị biểu thức):

a) Tính nhanh $10 2^{2}$ bằng hằng đẳng thức.

b) Tính nhanh $9 8^{2}$ bằng hằng đẳng thức.

c) Tính nhanh $105 \cdot 95$ bằng hiệu hai bình phương.

d) Tính giá trị $A = x^{2} - 6 x + 9$ tại $x = 103$ .

e) Tính giá trị $B = 4 x^{2} + 12 x + 9$ tại $x = 48.5$ .

f) Tính giá trị $C = x^{2} - y^{2}$ tại $x = 55, y = 45$ .

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn biểu thức tổng hợp):

a) Rút gọn $P = (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$ .

b) Rút gọn $Q = (2 x + 1)^{2} + (2 x - 1)^{2} - 8 x^{2}$ .

c) Rút gọn $M = (x - 2) (x + 2) - (x - 1)^{2}$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm $x$ ):

a) Tìm $x$ biết $(x + 2)^{2} - x^{2} = 12$ .

b) Tìm $x$ biết $(x - 3)^{2} - (x + 1) (x - 1) = 4$ .

c) Tìm $x$ biết $x^{2} - 16 = 0$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh đẳng thức & Biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ .

b) Chứng minh $P = (x - 2)^{2} + (x + 2)^{2} - 2 (x - 1) (x + 1) = 10$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

Bài 7 (Khá — Tìm GTLN và GTNN):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x^{2} - 8 x + 20$ .

b) Tìm giá trị lớn nhất của $B = - x^{2} + 6 x - 2$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Chứng minh biểu thức không âm/không dương):

a) Chứng minh $M = x^{2} - 4 x + 5 > 0$ với mọi $x \in R$ .

b) Chứng minh $N = - x^{2} + 2 x - 3 < 0$ với mọi $x \in R$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Mở rộng mảnh đất hình vuông): Một mảnh đất hình vuông có cạnh $x$ (m). Người ta mở rộng mảnh đất bằng cách tăng mỗi cạnh thêm $4$ (m).

a) Viết biểu thức đa thức tính diện tích mảnh đất sau khi mở rộng.

b) Viết biểu thức tính phần diện tích tăng thêm và tính diện tích tăng thêm khi $x = 15$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Cắt góc mảnh bìa hình vuông): Người ta cắt bỏ 4 góc hình vuông cạnh $y$ (cm) từ một tấm bìa hình vuông lớn cạnh $x$ (cm) với $x > 2 y$ .

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích phần tấm bìa còn lại dưới dạng tích.

b) Tính phần diện tích còn lại khi $x = 20$ cm và $y = 3$ cm.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $x^{2} + 8 x + 16$ . b) $4 x^{2} - 12 x + 9$ . c) $x^{2} - 25 y^{2}$ . d) $9 x^{2} + 12 x y + 4 y^{2}$ . e) $16 x^{2} - 8 x + 1$ . f) $(3 x - 1) (3 x + 1)$ .

Bài 2: a) $(x + 4)^{2}$ . b) $(3 x - 2)^{2}$ . c) $(5 x - 2 y) (5 x + 2 y)$ . d) $(x y - 2) (x y + 2)$ . e) $(2 x + 1)^{2}$ . f) $(x - \frac{1}{2})^{2}$ .

Bài 3: a) $10 2^{2} = (100 + 2)^{2} = 10000 + 400 + 4 = 10404$ . b) $9 8^{2} = (100 - 2)^{2} = 10000 - 400 + 4 = 9604$ . c) $105 \cdot 95 = (100 + 5) (100 - 5) = 10000 - 25 = 9975$ . d) $A = (x - 3)^{2} = (103 - 3)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ . e) $B = (2 x + 3)^{2} = [2 (48.5) + 3]^{2} = (97 + 3)^{2} = 10 0^{2} = 10000$ . f) $C = (x - y) (x + y) = (55 - 45) (55 + 45) = 10 \cdot 100 = 1000$ .

Bài 4: a) $P = (x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} - 6 x + 9) = 12 x$ . b) $Q = (4 x^{2} + 4 x + 1) + (4 x^{2} - 4 x + 1) - 8 x^{2} = 2$ . c) $M = (x^{2} - 4) - (x^{2} - 2 x + 1) = 2 x - 5$ .

Bài 5: a) $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} = 12 \Rightarrow 4 x = 8 \Rightarrow x = 2$ . b) $(x^{2} - 6 x + 9) - (x^{2} - 1) = 4 \Rightarrow - 6 x + 10 = 4 \Rightarrow - 6 x = - 6 \Rightarrow x = 1$ . c) $(x - 4) (x + 4) = 0 \Rightarrow x = 4$ hoặc $x = - 4$ .

Bài 6: a) Biến đổi VT $= (a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = 4 ab =$ VP (đpcm). b) $P = (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) - 2 (x^{2} - 1) = 2 x^{2} + 8 - 2 x^{2} + 2 = 10$ (không phụ thuộc vào $x$ ).

Bài 7: a) $A = (x^{2} - 8 x + 16) + 4 = (x - 4)^{2} + 4 \geq 4$ . GTNN bằng $4$ khi $x = 4$ . b) $B = - (x^{2} - 6 x + 9) + 7 = - (x - 3)^{2} + 7 \leq 7$ . GTLN bằng $7$ khi $x = 3$ .

Bài 8: a) $M = (x^{2} - 4 x + 4) + 1 = (x - 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x$ . b) $N = - (x^{2} - 2 x + 1) - 2 = - (x - 1)^{2} - 2 \leq - 2 < 0$ với mọi $x$ .

Bài 9: a) Diện tích sau khi mở rộng: $S = (x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ (m²). b) Diện tích tăng thêm: $Δ S = 8 x + 16$ (m²). Thay $x = 15 \Rightarrow Δ S = 8 (15) + 16 = 136$ (m²).

Bài 10: a) $S = x^{2} - 4 y^{2} = (x - 2 y) (x + 2 y)$ (cm²). b) Thay $x = 20, y = 3 \Rightarrow S = (20 - 6) (20 + 6) = 14 \cdot 26 = 364$ (cm²).