Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

🚀 Khởi động

➗ Phép chia đa thức cho đơn thức — Phân chia và Thu gọn

Phép chia đa thức cho đơn thức giúp ta thu gọn các biểu thức dạng tỉ lệ, tìm vận tốc, chiều cao hay năng suất trong các bài toán thực tế!

📐

Chiều cao hình chữ nhật

$h = S : a$

🚗

Thời gian chuyển động

$t = s : v$

⏱️

Năng suất lao động

$N = A : t$

🔍 Khám phá

📖 1. Chia đơn thức cho đơn thức

Điều kiện chia hết: Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ (khác 0) khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong $A$ .

Quy tắc:

Chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$ .
Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$ (sử dụng $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ ).
Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia $15 x^{5} y^{3} : 3 x^{2} y$ .

Lời giải: $15 x^{5} y^{3} : 3 x^{2} y = (15 : 3) \cdot (x^{5} : x^{2}) \cdot (y^{3} : y) = 5 x^{5 - 2} y^{3 - 1} = 5 x^{3} y^{2}$

Ví dụ 2: Đơn thức $A = 6 x^{3} y^{2}$ có chia hết cho $B = 2 x^{4} y$ không? Vì sao?

Lời giải: Không chia hết, vì biến $x$ trong $B$ có số mũ là 4 lớn hơn số mũ của $x$ trong $A$ (là 3).

Ví dụ 3: Tính $(- 12 a^{4} b^{3} c) : (- 4 a^{2} b^{3})$ .

Lời giải: $(- 12 : - 4) \cdot (a^{4} : a^{2}) \cdot (b^{3} : b^{3}) \cdot c = 3 a^{2} \cdot 1 \cdot c = 3 a^{2} c$

Hình vẽ minh họa: Sơ đồ quy tắc trừ số mũ trong phép chia đơn thức:

📖 2. Chia đa thức cho đơn thức

Định nghĩa: Đa thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ nếu mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$ .

Quy tắc: Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ , ta chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả lại với nhau.

$(X + Y - Z) : B = (X : B) + (Y : B) - (Z : B)$

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) : 3 x$ .

Lời giải: $(6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) : 3 x = (6 x^{3} : 3 x) + (- 9 x^{2} : 3 x) + (12 x : 3 x) = 2 x^{2} - 3 x + 4$

Ví dụ 2: Tính $(10 x^{4} y^{3} - 15 x^{3} y^{2} + 5 x^{2} y^{2}) : 5 x^{2} y^{2}$ .

Lời giải: $= (10 x^{4} y^{3} : 5 x^{2} y^{2}) - (15 x^{3} y^{2} : 5 x^{2} y^{2}) + (5 x^{2} y^{2} : 5 x^{2} y^{2}) = 2 x^{2} y - 3 x + 1$

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $P = (12 x^{3} - 8 x^{2}) : 4 x - (3 x - 1) x$ .

Lời giải: $P = (3 x^{2} - 2 x) - (3 x^{2} - x) = 3 x^{2} - 2 x - 3 x^{2} + x = - x$

Hình vẽ minh họa: Sơ đồ chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức:

✏️ Thực hành tương tác

➗

Thực hành tương tác: Phép chia Đa thức cho Đơn thức

➗ Thực hiện phép chia ngẫu nhiên:

(10x^4y^3 - 15x^3y^2) : (5x^2y^2)

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Thực hiện phép chia đơn thức cho đơn thức, đa thức cho đơn thức

Ví dụ 1: Tính $(- 20 x^{5} y^{3}) : (4 x^{2} y^{2})$ .

Lời giải: $- 5 x^{3} y$ .

Ví dụ 2: Tính $(15 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x^{2} y^{2}) : (- 5 x^{2} y^{2})$ .

Lời giải: $- 3 x + 2 y - 1$ .

Ví dụ 3: Tính $(\frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{3}{4} x^{2} y^{3}) : (\frac{1}{4} x^{2} y^{3})$ .

Lời giải: $2 x y - 3$ .

Dạng 2: Bài toán điều kiện chia hết

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên $n$ để $x^{5}$ chia hết cho $x^{n}$ .

Lời giải: $n \leq 5 \Rightarrow n \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ .

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên $n$ để đơn thức $A = 4 x^{n} y^{3}$ chia hết cho $B = 2 x^{2} y^{n}$ .

Lời giải: Để $A ⋮ B \Rightarrow {n \geq 2 3 \geq n \Rightarrow 2 \leq n \leq 3 \Rightarrow n \in {2, 3}$ .

Ví dụ 3: Tìm $n \in N$ để đa thức $P = 5 x^{4} - 3 x^{n}$ chia hết cho $x^{2}$ .

Lời giải: Mỗi hạng tử phải chia hết cho $x^{2} \Rightarrow n \geq 2$ .

Dạng 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1: Tính giá trị $A = (12 x^{4} y^{2} - 8 x^{3} y^{3}) : (4 x^{2} y^{2})$ tại $x = 2, y = 1$ .

Lời giải: $A = 3 x^{2} - 2 x y$ . Tại $x = 2, y = 1 \Rightarrow A = 3 (4) - 2 (2) (1) = 12 - 4 = 8$ .

Ví dụ 2: Rút gọn $B = (15 x^{3} - 10 x^{2}) : 5 x^{2} - (x - 2)$ .

Lời giải: $B = (3 x - 2) - x + 2 = 2 x$ .

Ví dụ 3: Tìm $x$ biết $(6 x^{3} - 3 x^{2}) : 3 x^{2} = 5$ .

Lời giải: $2 x - 1 = 5 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tìm chiều rộng hình chữ nhật): Một hình chữ nhật có diện tích $S = 6 x^{2} y + 4 x y^{2}$ (m²) và chiều dài là $a = 2 x y$ (m).

a) Viết biểu thức tính chiều rộng $b = S : a$ . b) Tính chiều rộng khi $x = 3$ m, $y = 2$ m.

Lời giải: a) $b = (6 x^{2} y + 4 x y^{2}) : 2 x y = 3 x + 2 y$ (m). b) Thay $x = 3, y = 2 \Rightarrow b = 3 (3) + 2 (2) = 13$ (m).

📝 Câu 2 (Vận tốc chuyển động): Một vật chuyển động trên quãng đường $s = 12 t^{3} + 6 t^{2}$ (m) trong thời gian $t$ (giây).

a) Viết biểu thức tính vận tốc trung bình $v = s : t$ . b) Tính vận tốc tại thời điểm $t = 2$ giây.

Lời giải: a) $v = (12 t^{3} + 6 t^{2}) : t = 12 t^{2} + 6 t$ (m/s). b) Thay $t = 2 \Rightarrow v = 12 (4) + 6 (2) = 48 + 12 = 60$ (m/s).

📝 Câu 3 (Chia đều tiền thưởng): Một nhóm $5 x$ học sinh nhận tổng số tiền thưởng là $T = 25 x^{2} + 15 x$ (nghìn đồng).

a) Viết đa thức tính số tiền mỗi học sinh nhận được. b) Tính số tiền mỗi học sinh nhận được khi $x = 4$ .

Lời giải: a) $M = (25 x^{2} + 15 x) : 5 x = 5 x + 3$ (nghìn đồng). b) Thay $x = 4 \Rightarrow M = 5 (4) + 3 = 23$ nghìn đồng.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Kết quả của phép chia $12x^4 : 3x^2$ là:

⭐ Ghi nhớ

$x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ với $m \geq n$ .
Đơn thức chia đơn thức: Lấy hệ số chia hệ số, số mũ trừ số mũ.
Đa thức chia đơn thức: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng lại.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Chia đơn thức cho đơn thức): Thực hiện phép tính:

a) $18 x^{4} y^{3} : (6 x^{2} y)$

b) $- 15 a^{3} b^{4} : (- 3 a b^{2})$

c) $12 x^{5} y^{2} z : (4 x^{3} y)$

d) $(- \frac{3}{4} x^{4} y^{3}) : (\frac{1}{2} x^{2} y^{2})$

e) $(2 x^{2} y)^{3} : (4 x^{3} y^{2})$

f) $- 25 a^{4} b^{5} c^{2} : (5 a^{2} b^{3} c)$

Bài 2 (Dễ — Chia đa thức cho đơn thức): Thực hiện phép tính:

a) $(8 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x) : (2 x)$

b) $(15 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x^{2} y^{2}) : (5 x^{2} y^{2})$

c) $(- 12 x^{4} y^{3} + 8 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{2}) : (- 4 x^{2} y^{2})$

d) $(9 a^{3} b^{2} - 6 a^{2} b^{3} + 3 a^{2} b^{2}) : (- 3 a^{2} b^{2})$

e) $(\frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{3}{4} x^{2} y^{3}) : (\frac{1}{4} x^{2} y^{3})$

f) $(4 x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2}) : (- 4 x^{2})$

Bài 3 (Trung bình — Rút gọn & Tính giá trị biểu thức chia):

a) Rút gọn $A = (15 x^{3} - 10 x^{2}) : 5 x^{2} - 3 x + 1$ .

b) Rút gọn $B = (12 x^{4} y^{2} - 8 x^{3} y^{3}) : (4 x^{2} y^{2}) - 3 x^{2} + 2 x y$ .

c) Tính giá trị của $P = (20 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}) : (4 x^{2} y^{2})$ tại $x = 3, y = 2$ .

d) Tính giá trị của $Q = (18 x^{4} y^{3} - 12 x^{3} y^{4}) : (6 x^{3} y^{2})$ tại $x = 2, y = - 1$ .

e) Tính giá trị của $M = (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}) : (x + y)$ tại $x = 4, y = 6$ .

f) Tính giá trị của $N = (x^{3} - y^{3}) : (x - y) - x y$ tại $x = 10, y = 2$ .

Bài 4 (Trung bình — Tìm $x$ từ phép chia):

a) Tìm $x$ biết $(10 x^{2} - 5 x) : 5 x = 3$ .

b) Tìm $x$ biết $(6 x^{3} - 3 x^{2}) : 3 x^{2} = 5$ .

c) Tìm $x$ biết $(12 x^{4} - 8 x^{3}) : 4 x^{2} - 3 x^{2} = 7$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm đơn thức chia): Cho đa thức $M = 6 x^{4} y^{3} - 9 x^{3} y^{4} + 3 x^{2} y^{2}$ .

a) Tìm thương $Q = M : (3 x^{2} y^{2})$ .

b) Tìm đơn thức $N$ sao cho $M : N = 2 x^{2} y - 3 x y^{2} + 1$ .

Bài 6 (Khá — Điều kiện chia hết):

a) Tìm số tự nhiên $n$ để $x^{5}$ chia hết cho $x^{n}$ .

b) Tìm $n \in N$ để đơn thức $A = 5 x^{n} y^{4}$ chia hết cho $B = 3 x^{3} y^{n}$ .

Bài 7 (Khá — Chứng minh chia hết & Giá trị nguyên):

a) Chứng minh đa thức $P = 12 x^{5} y^{3} - 8 x^{4} y^{4} + 4 x^{3} y^{2}$ chia hết cho đơn thức $Q = 2 x^{3} y^{2}$ .

b) Tìm các số nguyên $x$ để giá trị biểu thức $M = (x^{3} - 3 x^{2} + 5 x) : x$ nhận giá trị nguyên ( $x \neq = 0$ ).

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Rút gọn biểu thức nâng cao): Rút gọn biểu thức $K = [(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3}] : (4 x)$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Chiều rộng hình chữ nhật & Vận tốc):

a) Một hình chữ nhật có diện tích $S = 6 x^{2} y + 4 x y^{2}$ (m²) và chiều dài $a = 2 x y$ (m). Viết biểu thức tính chiều rộng $b = S : a$ và tính $b$ khi $x = 3$ m, $y = 2$ m.

b) Một ô tô đi quãng đường $s = 12 t^{3} + 6 t^{2}$ (m) trong thời gian $t$ (giây). Viết biểu thức tính vận tốc $v = s : t$ và tính $v$ tại $t = 2$ giây.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Chia đều tiền thưởng & Năng suất):

a) Một nhóm $5 x$ học sinh nhận tổng số tiền thưởng là $T = 25 x^{2} + 15 x$ (nghìn đồng). Viết đa thức tính số tiền mỗi học sinh nhận được và tính khi $x = 4$ .

b) Một xưởng sản xuất tổng sản lượng $Q = 18 a^{3} b^{2} + 12 a^{2} b^{3}$ (sản phẩm) trong $3 a^{2} b^{2}$ ngày làm việc. Viết đa thức tính sản lượng trung bình mỗi ngày.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $(18 : 6) x^{4 - 2} y^{3 - 1} = 3 x^{2} y^{2}$ . b) $(- 15 : - 3) a^{3 - 1} b^{4 - 2} = 5 a^{2} b^{2}$ . c) $(12 : 4) x^{5 - 3} y^{2 - 1} z = 3 x^{2} y z$ . d) $(- \frac{3}{4} : \frac{1}{2}) x^{4 - 2} y^{3 - 2} = - \frac{3}{2} x^{2} y$ . e) $(8 x^{6} y^{3}) : (4 x^{3} y^{2}) = 2 x^{3} y$ . f) $(- 25 : 5) a^{4 - 2} b^{5 - 3} c^{2 - 1} = - 5 a^{2} b^{2} c$ .

Bài 2: a) $(8 x^{3} : 2 x) - (6 x^{2} : 2 x) + (4 x : 2 x) = 4 x^{2} - 3 x + 2$ . b) $(15 x^{3} y^{2} : 5 x^{2} y^{2}) - (10 x^{2} y^{3} : 5 x^{2} y^{2}) + (5 x^{2} y^{2} : 5 x^{2} y^{2}) = 3 x - 2 y + 1$ . c) $3 x^{2} y - 2 x + 1$ . d) $- 3 a + 2 b - 1$ . e) $2 x y - 3$ . f) $- x^{2} + 2 x - 3$ .

Bài 3: a) $A = (3 x - 2) - 3 x + 1 = - 1$ . b) $B = (3 x^{2} y - 2 x y) - 3 x^{2} y + 2 x y = 0$ . c) $P = 5 x - 3 y$ . Thay $x = 3, y = 2 \Rightarrow P = 5 (3) - 3 (2) = 15 - 6 = 9$ . d) $Q = 3 x - 2 y$ . Thay $x = 2, y = - 1 \Rightarrow Q = 3 (2) - 2 (- 1) = 6 + 2 = 8$ . e) $M = (x + y)^{3} : (x + y) = (x + y)^{2}$ . Thay $x = 4, y = 6 \Rightarrow M = (4 + 6)^{2} = 100$ . f) $N = (x^{2} + x y + y^{2}) - x y = x^{2} + y^{2}$ . Thay $x = 10, y = 2 \Rightarrow N = 100 + 4 = 104$ .

Bài 4: a) $2 x - 1 = 3 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ . b) $2 x - 1 = 5 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ . c) $(3 x^{2} - 2 x) - 3 x^{2} = 7 \Rightarrow - 2 x = 7 \Rightarrow x = - \frac{7}{2}$ .

Bài 5: a) $Q = (6 x^{4} y^{3} : 3 x^{2} y^{2}) - (9 x^{3} y^{4} : 3 x^{2} y^{2}) + (3 x^{2} y^{2} : 3 x^{2} y^{2}) = 2 x^{2} y - 3 x y^{2} + 1$ . b) $N = M : (2 x^{2} y - 3 x y^{2} + 1) = 3 x^{2} y^{2}$ .

Bài 6: a) $n \leq 5 \Rightarrow n \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ . b) Để $A ⋮ B \Rightarrow {n \geq 3 4 \geq n \Rightarrow 3 \leq n \leq 4 \Rightarrow n \in {3, 4}$ .

Bài 7: a) Vì từng hạng tử $12 x^{5} y^{3} ⋮ 2 x^{3} y^{2}$ , $- 8 x^{4} y^{4} ⋮ 2 x^{3} y^{2}$ , và $4 x^{3} y^{2} ⋮ 2 x^{3} y^{2}$ nên $P ⋮ Q$ . Thương $P : Q = 6 x^{2} y - 4 x y^{2} + 2$ . b) $M = x^{2} - 3 x + 5$ . Với $x \in Z ∖ {0}$ , $x^{2} - 3 x + 5$ luôn là số nguyên.

Bài 8: Biến đổi tử số: $(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3} = (2 x - y + 2 x + y) [(2 x - y)^{2} - (2 x - y) (2 x + y) + (2 x + y)^{2}]$ $= 4 x [(4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) - (4 x^{2} - y^{2}) + (4 x^{2} + 4 x y + y^{2})] = 4 x (4 x^{2} + 3 y^{2})$ . Do đó $K = 4 x (4 x^{2} + 3 y^{2}) : (4 x) = 4 x^{2} + 3 y^{2}$ .

Bài 9: a) $b = (6 x^{2} y + 4 x y^{2}) : 2 x y = 3 x + 2 y$ (m). Thay $x = 3, y = 2 \Rightarrow b = 3 (3) + 2 (2) = 13$ (m). b) $v = (12 t^{3} + 6 t^{2}) : t = 12 t^{2} + 6 t$ (m/s). Thay $t = 2 \Rightarrow v = 12 (4) + 6 (2) = 60$ (m/s).

Bài 10: a) $M = (25 x^{2} + 15 x) : 5 x = 5 x + 3$ (nghìn đồng). Khi $x = 4 \Rightarrow M = 5 (4) + 3 = 23$ nghìn đồng. b) Năng suất $N = (18 a^{3} b^{2} + 12 a^{2} b^{3}) : 3 a^{2} b^{2} = 6 a + 4 b$ (sản phẩm/ngày).