Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 4: Phép nhân đa thức

🚀 Khởi động

✖️ Phép nhân đa thức — Mở rộng quy tắc phân phối

Phép nhân đa thức dựa trên quy tắc phân phối quen thuộc của phép nhân đối với phép cộng: $a (b + c) = ab + a c$ . Phép tính này cho phép chúng ta tính toán diện tích và mở rộng các biểu thức đại số phức tạp!

🖼️

Diện tích hình chữ nhật mở rộng

$S = (a + b) (c + d)$

📦

Thể tích khối lập phương mới

$V = (x + 1)^{3}$

💰

Doanh thu tổng hợp

$R = (p_{0} - Δ p) (q_{0} + Δ q)$

🔍 Khám phá

📖 1. Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

$A \cdot (B + C - D) = A \cdot B + A \cdot C - A \cdot D$

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân: $3 x \cdot (2 x^{2} - 4 x + 5)$ .

Lời giải: $3 x \cdot (2 x^{2} - 4 x + 5) = (3 x \cdot 2 x^{2}) + (3 x \cdot (- 4 x)) + (3 x \cdot 5) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x$

Ví dụ 2: Tính tích: $- 2 x^{2} y \cdot (x^{2} - 3 x y + y^{2})$ .

Lời giải: $- 2 x^{2} y \cdot (x^{2} - 3 x y + y^{2}) = - 2 x^{4} y + 6 x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3}$

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $P = x (x^{2} - y) - x^{2} (x + y) + x y (x + 1)$ .

Lời giải: $P = (x^{3} - x y) - (x^{3} + x^{2} y) + (x^{2} y + x y) = x^{3} - x y - x^{3} - x^{2} y + x^{2} y + x y = 0$

Hình vẽ minh họa: Bản chất hình học của phép nhân đơn thức với đa thức:

📖 2. Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích với nhau.

$(A + B) (C + D) = A \cdot C + A \cdot D + B \cdot C + B \cdot D$

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính $(x + 3) (2 x - 5)$ .

Lời giải: $(x + 3) (2 x - 5) = x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 2 x^{2} + x - 15$

Ví dụ 2: Tính $(2 x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ .

Lời giải: $(2 x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) = 2 x (x^{2} - x y + y^{2}) - y (x^{2} - x y + y^{2})$ $= 2 x^{3} - 2 x^{2} y + 2 x y^{2} - x^{2} y + x y^{2} - y^{3} = 2 x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $A = (x - 2) (x + 2) - (x - 1) (x + 3)$ .

Lời giải: $A = (x^{2} - 4) - (x^{2} + 3 x - x - 3) = x^{2} - 4 - (x^{2} + 2 x - 3) = x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3 = - 2 x - 1$

Hình vẽ minh họa: Chia diện tích hình chữ nhật lớn $(a + b) (c + d)$ thành 4 hình nhỏ:

✏️ Thực hành tương tác

✖️

Thực hành tương tác: Phép nhân Đa thức

✖️ Nhân đa thức ngẫu nhiên:

(x - 1)(2x + 5)

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Ví dụ 1: Tính $3 x^{2} (2 x^{3} - 5 x + 1)$ .

Lời giải: $6 x^{5} - 15 x^{3} + 3 x^{2}$ .

Ví dụ 2: Tính $(2 x - 3) (x^{2} + 3 x - 2)$ .

Lời giải: $2 x (x^{2} + 3 x - 2) - 3 (x^{2} + 3 x - 2) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 3 x^{2} - 9 x + 6 = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x + 6$ .

Ví dụ 3: Tính $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ .

Lời giải: $x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3} = x^{3} - y^{3}$ .

Dạng 2: Rút gọn biểu thức và tính giá trị tại giá trị cho trước

Ví dụ 1: Cho $P = x (x - y) + y (x - y)$ . Tính $P$ tại $x = 5, y = 3$ .

Lời giải: $P = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ . Tại $x = 5, y = 3 \Rightarrow 25 - 9 = 16$ .

Ví dụ 2: Rút gọn $Q = (2 x + 1) (x - 3) - 2 x (x + 1)$ .

Lời giải: $Q = (2 x^{2} - 6 x + x - 3) - (2 x^{2} + 2 x) = 2 x^{2} - 5 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x = - 7 x - 3$ .

Ví dụ 3: Tính giá trị $M = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ tại $x = 10$ .

Lời giải: $M = x^{3} - 1$ . Tại $x = 10 \Rightarrow 1 0^{3} - 1 = 999$ .

Dạng 3: Tìm $x$ từ một đẳng thức cho trước

Ví dụ 1: Tìm $x$ biết $3 x (x - 2) - x (3 x + 1) = 14$ .

Lời giải: $3 x^{2} - 6 x - 3 x^{2} - x = 14 \Rightarrow - 7 x = 14 \Rightarrow x = - 2$ .

Ví dụ 2: Tìm $x$ biết $(x + 2) (x + 3) - (x - 1) (x + 5) = 0$ .

Lời giải: $(x^{2} + 5 x + 6) - (x^{2} + 4 x - 5) = 0 \Rightarrow x + 11 = 0 \Rightarrow x = - 11$ .

Ví dụ 3: Tìm $x$ biết $(2 x - 1) (x + 3) - 2 x^{2} = 5$ .

Lời giải: $2 x^{2} + 6 x - x - 3 - 2 x^{2} = 5 \Rightarrow 5 x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$ .

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Ví dụ 1: Chứng minh $A = x (2 x + 1) - x^{2} (x + 2) + x^{3} - x + 5$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

Lời giải: $A = 2 x^{2} + x - x^{3} - 2 x^{2} + x^{3} - x + 5 = 5$ . Kết quả bằng 5 hằng số.

Ví dụ 2: Chứng minh $B = (x - 5) (x + 2) - (x - 2) (x - 1)$ luôn nhận giá trị âm.

Lời giải: $B = (x^{2} - 3 x - 10) - (x^{2} - 3 x + 2) = - 12 < 0$ .

Ví dụ 3: Chứng minh $(x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{3} = 1$ .

Lời giải: $(x^{3} + 1) - x^{3} = 1$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Mở rộng mảnh vườn): Mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có chiều dài $x$ (m) và chiều rộng $y$ (m). Người ta mở rộng mỗi chiều thêm $2$ (m).

a) Viết đa thức tính diện tích mảnh vườn mới. b) Viết đa thức tính phần diện tích tăng thêm. c) Tính diện tích tăng thêm khi $x = 15$ m, $y = 10$ m.

Lời giải: a) Diện tích mới: $S_{m ớ i} = (x + 2) (y + 2) = x y + 2 x + 2 y + 4$ (m²). b) Diện tích tăng thêm: $Δ S = S_{m ớ i} - x y = 2 x + 2 y + 4$ (m²). c) Thay $x = 15, y = 10 \Rightarrow Δ S = 2 (15) + 2 (10) + 4 = 54$ (m²).

📝 Câu 2 (Thể tích bể nước): Bể nước có chiều dài $(x + 3)$ m, chiều rộng $(x - 1)$ m và chiều cao $x$ m.

a) Viết đa thức biểu thị thể tích bể. b) Tính thể tích khi $x = 2$ m.

Lời giải: a) $V = x (x + 3) (x - 1) = x (x^{2} + 2 x - 3) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ (m³). b) Thay $x = 2 \Rightarrow V = 2^{3} + 2 (2^{2}) - 3 (2) = 8 + 8 - 6 = 10$ (m³).

📝 Câu 3 (Lợi nhuận kinh doanh): Số lượng bán hàng $Q = 200 - 5 p$ (sản phẩm) với $p$ là đơn giá. Chi phí cho mỗi sản phẩm là $15$ nghìn đồng.

a) Viết đa thức tính tổng doanh thu $R = p \cdot Q$ . b) Viết đa thức tính lợi nhuận $L = R - 15 Q$ .

Lời giải: a) $R = p (200 - 5 p) = 200 p - 5 p^{2}$ . b) $L = 200 p - 5 p^{2} - 15 (200 - 5 p) = - 5 p^{2} + 275 p - 3000$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Kết quả của phép nhân $2x(3x^2 - 5)$ là:

⭐ Ghi nhớ

Đơn thức $\times$ Đa thức: $A (B + C) = A B + A C$ .
Đa thức $\times$ Đa thức: $(A + B) (C + D) = A C + A D + B C + B D$ .
Khai triển: Nhân xong nhóm các hạng tử đồng dạng để thu gọn.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhân đơn thức với đa thức): Thực hiện phép tính:

a) $3 x \cdot (2 x^{2} - 5 x + 1)$

b) $- 2 x y \cdot (x^{2} y - 3 x y^{2} + 4)$

c) $\frac{1}{2} x^{2} y \cdot (4 x^{2} - 2 x y + 6 y^{2})$

d) $- 3 a^{2} b \cdot (2 a^{2} - ab + 3 b^{2})$

e) $5 x \cdot (x^{2} - 2 x y + 1)$

f) $- x^{2} y^{2} \cdot (2 x - 3 y + 5)$

Bài 2 (Dễ — Nhân đa thức với đa thức): Thực hiện phép tính:

a) $(x + 4) (x - 2)$

b) $(2 x - 3) (x + 5)$

c) $(x - y) (x + y)$

d) $(2 x - 1) (3 x + 4)$

e) $(a - 2 b) (2 a + b)$

f) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$

Bài 3 (Trung bình — Rút gọn & Tính giá trị biểu thức tích):

a) Rút gọn $A = x (x - 2 y) + y (2 x + y)$ . Tính giá trị $A$ tại $x = 3, y = 4$ .

b) Rút gọn $B = (x - 3) (x + 5) - x (x + 2)$ . Tính giá trị $B$ tại $x = - 5$ .

c) Cho $P = (2 x + 1) (x - 3) - 2 x (x + 1)$ . Tính giá trị $P$ tại $x = 2$ .

d) Cho $Q = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ . Tính $Q$ tại $x = 5, y = 3$ .

e) Rút gọn $M = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3}$ .

f) Rút gọn $N = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) - 8 x^{3}$ .

Bài 4 (Trung bình — Tìm $x$ từ một đẳng thức tích):

a) Tìm $x$ biết $3 x (x - 2) - x (3 x + 1) = 14$ .

b) Tìm $x$ biết $(x + 1) (x + 3) - x (x + 2) = 7$ .

c) Tìm $x$ biết $(2 x - 1) (x + 3) - 2 x^{2} = 5$ .

Bài 5 (Trung bình — Khai triển biểu thức lũy thừa):

a) Khai triển $(x + 2)^{2}$ và $(x - 3)^{2}$ .

b) Khai triển $(2 x + y)^{2}$ và $(x - 2 y)^{2}$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $P = (2 x - 1) (3 x + 2) - 6 x (x + 1) + x = - 2$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

b) Chứng minh $Q = x (2 x + 1) - x^{2} (x + 2) + x^{3} - x + 5 = 5$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

Bài 7 (Khá — Tính nhanh dựa trên đẳng thức tích):

a) Cho $x + y = 5$ và $x y = 6$ . Tính $x^{2} + y^{2}$ .

b) Cho $x + y = 5$ và $x y = 6$ . Tính $x^{3} + y^{3}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tìm cặp số nguyên $x, y$ ): Tìm các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $(x + 1) (y - 2) = 5$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Mở rộng diện tích mảnh vườn): Mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có chiều dài $x$ (m) và chiều rộng $y$ (m). Người ta mở rộng mỗi chiều thêm $2$ (m).

a) Viết đa thức tính diện tích mảnh vườn mới.

b) Viết đa thức tính phần diện tích tăng thêm và tính diện tích tăng thêm khi $x = 15$ m, $y = 10$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Thể tích bể chứa nước): Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $(x + 3)$ m, chiều rộng $(x - 1)$ m và chiều cao $x$ m.

a) Viết đa thức biểu thị thể tích $V$ của bể nước.

b) Tính thể tích bể khi $x = 2$ m.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $3 x \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 5 x + 3 x \cdot 1 = 6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 x$ . b) $- 2 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y^{3} - 8 x y$ . c) $2 x^{4} y - x^{3} y^{2} + 3 x^{2} y^{3}$ . d) $- 6 a^{4} b + 3 a^{3} b^{2} - 9 a^{2} b^{3}$ . e) $5 x^{3} - 10 x^{2} y + 5 x$ . f) $- 2 x^{3} y^{2} + 3 x^{2} y^{3} - 5 x^{2} y^{2}$ .

Bài 2: a) $x^{2} - 2 x + 4 x - 8 = x^{2} + 2 x - 8$ . b) $2 x^{2} + 10 x - 3 x - 15 = 2 x^{2} + 7 x - 15$ . c) $x^{2} + x y - x y - y^{2} = x^{2} - y^{2}$ . d) $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4$ . e) $2 a^{2} + ab - 4 ab - 2 b^{2} = 2 a^{2} - 3 ab - 2 b^{2}$ . f) $x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3 x^{2} - 9 x + 27 = x^{3} + 27$ .

Bài 3: a) $A = x^{2} - 2 x y + 2 x y + y^{2} = x^{2} + y^{2}$ . Thay $x = 3, y = 4 \Rightarrow A = 3^{2} + 4^{2} = 25$ . b) $B = (x^{2} + 2 x - 15) - (x^{2} + 2 x) = - 15$ . Giá trị luôn bằng $- 15$ với mọi $x$ . c) $P = 2 x^{2} - 5 x - 3 - 2 x^{2} - 2 x = - 7 x - 3$ . Thay $x = 2 \Rightarrow P = - 7 (2) - 3 = - 17$ . d) $Q = x^{3} - y^{3}$ . Thay $x = 5, y = 3 \Rightarrow Q = 5^{3} - 3^{3} = 125 - 27 = 98$ . e) $M = (x^{3} + 8) - x^{3} = 8$ . f) $N = (8 x^{3} - 1) - 8 x^{3} = - 1$ .

Bài 4: a) $3 x^{2} - 6 x - 3 x^{2} - x = 14 \Rightarrow - 7 x = 14 \Rightarrow x = - 2$ . b) $(x^{2} + 4 x + 3) - (x^{2} + 2 x) = 7 \Rightarrow 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$ . c) $2 x^{2} + 6 x - x - 3 - 2 x^{2} = 5 \Rightarrow 5 x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$ .

Bài 5: a) $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ ; $(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ . b) $(2 x + y)^{2} = 4 x^{2} + 4 x y + y^{2}$ ; $(x - 2 y)^{2} = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$ .

Bài 6: a) $P = 6 x^{2} + 4 x - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 6 x + x = - 2$ (không phụ thuộc vào $x$ ). b) $Q = 2 x^{2} + x - x^{3} - 2 x^{2} + x^{3} - x + 5 = 5$ (không phụ thuộc vào $x$ ).

Bài 7: a) $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 5^{2} - 2 (6) = 25 - 12 = 13$ . b) $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = 5 (13 - 6) = 5 (7) = 35$ .

Bài 8: Vì $x, y \in Z$ nên $x + 1$ và $y - 2$ là các cặp ước của $5 \in {1, 5, - 1, - 5}$ :

${x + 1 = 1 y - 2 = 5 \Rightarrow (x, y) = (0, 7)$
${x + 1 = 5 y - 2 = 1 \Rightarrow (x, y) = (4, 3)$
${x + 1 = - 1 y - 2 = - 5 \Rightarrow (x, y) = (- 2, - 3)$
${x + 1 = - 5 y - 2 = - 1 \Rightarrow (x, y) = (- 6, 1)$

Bài 9: a) $S_{m ớ i} = (x + 2) (y + 2) = x y + 2 x + 2 y + 4$ (m²). b) Diện tích tăng thêm: $Δ S = 2 x + 2 y + 4$ (m²). Thay $x = 15, y = 10 \Rightarrow Δ S = 2 (15) + 2 (10) + 4 = 54$ (m²).

Bài 10: a) $V = x (x + 3) (x - 1) = x (x^{2} + 2 x - 3) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ (m³). b) Thay $x = 2 \Rightarrow V = 2^{3} + 2 (2^{2}) - 3 (2) = 8 + 8 - 6 = 10$ (m³).