Lớp 8 · Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Hình chóp tứ giác đều là hình khối tượng trưng cho sự bền vững và uy nghi, từ Kim tự tháp Ai Cập cổ đại đến mái nhà, bảo tàng Louvre hiện đại. Hãy cùng tìm hiểu cấu trúc toán học và các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của khối hình độc đáo này!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm Hình chóp tứ giác đều

Định nghĩa: Hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ là hình chóp có:
- Mặt đáy $A B C D$ là một hình vuông.
- Các mặt bên $S A B, S B C, S C D, S D A$ là các tam giác cân bằng nhau tại đỉnh $S$ .
- Đỉnh $S$ có hình chiếu vuông góc $H$ rơi đúng vào giao điểm hai đường chéo của đáy hình vuông $A B C D$ . Đoạn $S H$ gọi là chiều cao $h$ .
- Đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống một cạnh đáy của mặt bên gọi là trung đoạn $d$ .

Mô tả hình chóp tứ giác đều: Đáy hình vuông, 4 mặt bên tam giác cân

Ví dụ 1: Nêu tên các yếu tố hình học của hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ .
Lời giải:

Mặt đáy: Hình vuông $A B C D$ .
4 Mặt bên: $Δ S A B, Δ S B C, Δ S C D, Δ S D A$ .
4 Cạnh bên: $S A, S B, S C, S D$ . 4 Cạnh đáy: $A B, B C, C D, D A$ .
Chiều cao $S H$ với $H = A C \cap B D$ .

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a = 8$ cm, cạnh bên $b = 5$ cm. Tính trung đoạn $d$ .
Lời giải: Kẻ trung đoạn $S M ⊥ A B$ . Vì $Δ S A B$ cân tại $S \Rightarrow M$ là trung điểm $A B \Rightarrow A M = 4$ cm.
Áp dụng Pythagore: $d = S M = S A^{2} - A M^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 3$ cm.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a = 12$ cm, trung đoạn $d = 10$ cm. Tính chiều cao $h = S H$ .
Lời giải: Kẻ $S H ⊥ (A B C D)$ và $S M ⊥ A B \Rightarrow H M ⊥ A B$ và $H M = \frac{a}{2} = 6$ cm.
Áp dụng Pythagore cho $Δ S H M$ vuông tại $H$ :
$h = S H = S M^{2} - H M^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8$ cm.

2. Công thức Diện tích Xung quanh & Thể tích

Diện tích xung quanh ( $S_{x q}$ ): Bằng tích của nửa chu vi đáy $p$ với trung đoạn $d$ . $S_{x q} = p \cdot d = 2 a \cdot d$ (với cạnh đáy $a$ , nửa chu vi $p = 2 a$ )
Diện tích toàn phần ( $S_{tp}$ ): $S_{tp} = S_{x q} + S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 2 a d + a^{2}$
Thể tích ( $V$ ): $V = \frac{1}{3} S_{đ \overset{a}{ˊ} y} \cdot h = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h$

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a = 10$ cm, trung đoạn $d = 12$ cm. Tính $S_{x q}$ và $S_{tp}$ .
Lời giải: Nửa chu vi đáy $p = 2 \times 10 = 20$ cm.
$S_{x q} = p \cdot d = 20 \times 12 = 240$ cm².
$S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 1 0^{2} = 100$ cm² $\Rightarrow S_{tp} = 240 + 100 = 340$ cm².

Ví dụ 2: Tính thể tích Kim tự tháp Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy $a = 230$ m và chiều cao $h = 147$ m.
Lời giải: $V = \frac{1}{3} \cdot 23 0^{2} \cdot 147 = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 147 = 2.592.100$ m³.

Ví dụ 3: Một lều cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều cạnh đáy $2$ m, chiều cao $1.5$ m. Tính thể tích không khí bên trong lều.
Lời giải: $V = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 1.5 = 2$ m³.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hình chóp tứ giác đều

🎯 Luyện tập Hình chóp tứ giác đều

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hình chóp tứ giác đều có mặt đáy là hình gì?

\text{Mặt đáy chóp tứ giác đều}

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ và toàn phần $S_{tp}$ Phương pháp: Tính $p = 2 a \to$ Tính $d \to S_{x q} = 2 a d \to S_{tp} = 2 a d + a^{2}$ .

Dạng 2: Tính thể tích $V$ của hình chóp tứ giác đều Phương pháp: Tính $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = a^{2} \to$ Tính $h \to V = \frac{1}{3} a^{2} h$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Mô hình bảo tàng Louvre kính ở Paris): Kính bảo tàng Louvre (Pháp) là hình chóp tứ giác đều bằng kính có cạnh đáy $35$ m, trung đoạn $28$ m.

a) Tính diện tích kính bao quanh 4 mặt bên của bảo tàng.
b) Nếu 1 m² kính cường lực giá $3.000.000$ đồng thì tổng tiền kính là bao nhiêu?

Lời giải:
a) Nửa chu vi đáy $p = 2 \times 35 = 70$ m.
Diện tích kính xung quanh $S_{x q} = 70 \times 28 = 1.960$ m².
b) Tổng tiền kính $= 1.960 \times 3.000.000 = 5.880.000.000$ đồng (5.88 tỷ đồng).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Mặt đáy của hình chóp tứ giác đều là hình gì?

⭐ Ghi nhớ

Chóp tứ giác đều: Mặt đáy hình vuông, 4 mặt bên tam giác cân bằng nhau.
Diện tích xung quanh: $S_{x q} = 2 a d$ .
Thể tích: $V = \frac{1}{3} a^{2} h$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính $S_{x q}$ và $S_{tp}$ cơ bản):

a) Hãy cho biết số mặt, số đỉnh, số cạnh của hình chóp tứ giác đều.
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $5$ cm, trung đoạn $6$ cm.
c) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $8$ cm, trung đoạn $10$ cm.
d) Tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ cm, trung đoạn $5$ cm.
e) Cho hình chóp tứ giác đều có $S_{x q} = 120$ cm², trung đoạn $d = 12$ cm. Tính cạnh đáy.
f) Cho hình chóp tứ giác đều có $S_{x q} = 160$ cm², cạnh đáy $a = 10$ cm. Tính trung đoạn $d$ .

Bài 2 (Dễ — Tính thể tích hình chóp tứ giác đều):

a) Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $h = 5$ cm.
b) Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $9$ cm, chiều cao $h = 10$ cm.
c) Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích $V = 100$ cm³, chiều cao $h = 12$ cm. Tính diện tích đáy và cạnh đáy.
d) Cho hình chóp tứ giác đều có thể tích $V = 144$ cm³, cạnh đáy $a = 6$ cm. Tính chiều cao $h$ .
e) Một khối kim tự tháp mô hình có cạnh đáy $20$ cm, chiều cao $15$ cm. Tính thể tích khối mô hình.
f) So sánh thể tích khối chóp tứ giác đều và thể tích khối hình hộp chữ nhật có cùng đáy và cùng chiều cao.

Bài 3 (Trung bình — Mối quan hệ tam giác vuông Pythagore không gian): Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy $a = 12$ cm, trung đoạn $d = 10$ cm.

a) Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ và diện tích toàn phần $S_{tp}$ .
b) Tính chiều cao $h = S H$ của hình chóp.
c) Tính thể tích $V$ của hình chóp.
d) Tính độ dài cạnh bên $S A$ của hình chóp.
e) Tính độ dài đường chéo $A C$ của mặt đáy.
f) Tính bán kính $R = H A$ của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy.

Bài 4 (Trung bình — Lồng đèn bánh ú Tết): Một chiếc bánh ú có dạng hình chóp tứ giác đều cạnh đáy $8$ cm, trung đoạn $6$ cm.

a) Tính diện tích lá gói bánh quanh 4 mặt bên.
b) Nếu người ta gói $50$ chiếc bánh ú thì cần tổng cộng bao nhiêu cm² lá gói?

Bài 5 (Trung bình — Mái che chóp tứ giác nhà chòi): Mái của một nhà chòi vườn có dạng hình chóp tứ giác đều cạnh đáy $3$ m, chiều cao $2$ m.

a) Tính trung đoạn $d$ của mái nhà chòi.
b) Tính diện tích tôn lợp mái xung quanh.
c) Chi phí tôn là $180.000$ đồng/m². Tính tổng chi phí tôn lợp mái.

Bài 6 (Khá — Mối liên hệ cạnh bên và chiều cao): Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh bên $b = 13$ cm, cạnh đáy $a = 10$ cm.

a) Tính trung đoạn $d$ của hình chóp.
b) Tính chiều cao $h$ của hình chóp.
c) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.

Bài 7 (Khá — Chứng minh các mặt bên đồng dạng/bằng nhau): Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ .

a) Chứng minh 4 tam giác mặt bên $Δ S A B, Δ S B C, Δ S C D, Δ S D A$ bằng nhau.
b) Chứng minh $A C ⊥ B D$ và $S H ⊥ (A B C D)$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Đèn trang trí pha lê): Một khối pha lê trang trí hình chóp tứ giác đều có $S_{tp} = 384$ cm², cạnh đáy $a = 12$ cm.

a) Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ .
b) Tính trung đoạn $d$ và chiều cao $h$ .
c) Tính thể tích $V$ của khối pha lê.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Tháp đồng hồ khu đô thị): Một ngọn tháp mái chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ m, chiều cao $4$ m.

a) Tính thể tích phần không gian bên trong mái tháp.
b) Người ta lợp ngói 4 mặt mái chóp với trung đoạn $5$ m. Tính diện tích ngói lợp.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đổ bê tông móng trụ cầu chóp tứ giác): Một bệ móng bê tông hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $4$ m, chiều cao $3$ m.

a) Tính thể tích bê tông cần dùng để đúc bệ móng này.
b) Nếu 1 m³ bê tông có khối lượng $2.400$ kg thì khối lượng bệ móng bằng bao nhiêu tấn?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Số mặt $= 5$ , số đỉnh $= 5$ , số cạnh $= 8$ . b) $p = 2 \times 5 = 10 \Rightarrow S_{x q} = 10 \times 6 = 60$ cm². c) $p = 2 \times 8 = 16 \Rightarrow S_{x q} = 16 \times 10 = 160$ cm². d) $S_{x q} = 2 (6) (5) = 60$ cm², $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 36 \Rightarrow S_{tp} = 96$ cm². e) $p = 2 a \Rightarrow 2 a \times 12 = 120 \Rightarrow 24 a = 120 \Rightarrow a = 5$ cm. f) $2 (10) \times d = 160 \Rightarrow 20 d = 160 \Rightarrow d = 8$ cm.

Bài 2: a) $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = 60$ cm³. b) $V = \frac{1}{3} \times 81 \times 10 = 270$ cm³. c) $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = \frac{3 V}{h} = \frac{300}{12} = 25$ cm² $\Rightarrow a = 25 = 5$ cm. d) $h = \frac{3 V}{a ^{2}} = \frac{3 \times 144}{36} = 12$ cm. e) $V = \frac{1}{3} \times 400 \times 15 = 2.000$ cm³. f) Thể tích khối chóp bằng $\frac{1}{3}$ thể tích khối hình hộp chữ nhật.

Bài 3: a) $p = 24 \Rightarrow S_{x q} = 24 \times 10 = 240$ cm². $S_{tp} = 240 + 144 = 384$ cm². b) $H M = 6$ cm $\Rightarrow h = S H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ cm. c) $V = \frac{1}{3} \times 144 \times 8 = 384$ cm³. d) $S A = S M^{2} + A M^{2} = 1 0^{2} + 6^{2} = 136 = 234$ cm. e) $A C = 122$ cm. f) $H A = 62$ cm.

Bài 4: a) $S_{x q} = 2 \times 8 \times 6 = 96$ cm². b) Tổng diện tích lá cho 50 bánh $= 50 \times 96 = 4.800$ cm².

Bài 5: a) $H M = 1.5$ m $\Rightarrow d = 2^{2} + 1. 5^{2} = 4 + 2.25 = 6.25 = 2.5$ m. b) $S_{x q} = 2 \times 3 \times 2.5 = 15$ m². c) Chi phí $= 15 \times 180.000 = 2.700.000$ đồng.

Bài 6: a) $A M = 5$ cm $\Rightarrow d = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ cm. b) $H M = 5$ cm $\Rightarrow h = 1 2^{2} - 5^{2} = 119 \approx 10.91$ cm. c) $S_{x q} = 2 \times 10 \times 12 = 240$ cm². $V = \frac{1}{3} \times 100 \times 119 \approx 363.63$ cm³.

Bài 7: a) Cạnh bên bằng nhau và cạnh đáy bằng nhau $\Rightarrow 4$ tam giác bằng nhau (c.c.c). b) Hai đường chéo hình vuông vuông góc và tính chất đường cao chóp đều.

Bài 8: a) $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 1 2^{2} = 144$ cm² $\Rightarrow S_{x q} = 384 - 144 = 240$ cm². b) $2 \times 12 \times d = 240 \Rightarrow 24 d = 240 \Rightarrow d = 10$ cm.
$H M = 6$ cm $\Rightarrow h = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ cm. c) $V = \frac{1}{3} \times 144 \times 8 = 384$ cm³.

Bài 9: a) $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 48$ m³. b) $S_{x q} = 2 \times 6 \times 5 = 60$ m².

Bài 10: a) $V = \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16$ m³. b) Khối lượng $= 16 \times 2.400 = 38.400$ kg $= 38.4$ tấn.