Lớp 8 · Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

Bài 38: Hình chóp tam giác đều

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Hình chóp tam giác đều là khối hình không gian quen thuộc xuất hiện trong các hộp quà, đèn trang trí hay chân tháp. Việc hiểu rõ cấu trúc các mặt bên, trung đoạn, đường cao sẽ giúp ta dễ dàng tính toán diện tích xung quanh và thể tích của chúng!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm & Đỉnh, Cạnh, Mặt của Hình chóp tam giác đều

Định nghĩa: Hình chóp tam giác đều $S . A B C$ là hình chóp có:
- Mặt đáy $A B C$ là một tam giác đều.
- Các mặt bên $S A B, S B C, S C A$ là các tam giác cân bằng nhau tại đỉnh $S$ .
- Đỉnh $S$ có hình chiếu vuông góc $H$ rơi đúng vào trọng tâm tam giác đáy $A B C$ . Đoạn $S H$ gọi là chiều cao $h$ .
- Đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống một cạnh đáy của mặt bên gọi là trung đoạn $d$ .

Mô tả hình chóp tam giác đều: Đáy tam giác đều, các mặt bên tam giác cân

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ . Hãy nêu tên các mặt bên, mặt đáy, các cạnh bên và các cạnh đáy.
Lời giải:

Mặt đáy: $Δ A B C$ .
Mặt bên: $Δ S A B, Δ S B C, Δ S C A$ .
Cạnh bên: $S A, S B, S C$ . Cạnh đáy: $A B, B C, C A$ .

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $a = 6$ cm, cạnh bên $b = 5$ cm. Tính độ dài trung đoạn $d$ .
Lời giải: Mặt bên $Δ S A B$ cân tại $S$ có đáy $A B = 6$ cm $\Rightarrow$ Trung đoạn $S M ⊥ A B$ có $A M = 3$ cm.
Áp dụng Pythagore: $d = S M = S B^{2} - A M^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 4$ cm.

Ví dụ 3: Tính chiều cao $h = S H$ của hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh bên $b = 10$ cm và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R = 6$ cm.
Lời giải: $S H ⊥ (A B C)$ tại $H \Rightarrow Δ S H A$ vuông tại $H \Rightarrow h = S H = S A^{2} - H A^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ cm.

2. Công thức Diện tích Xung quanh & Thể tích

Diện tích xung quanh ( $S_{x q}$ ): Bằng tích của nửa chu vi đáy $p$ với trung đoạn $d$ . $S_{x q} = p \cdot d$ (với $p = \frac{Chu vi đ a ˊ y}{2} = \frac{3 a}{2}$ , $d$ là trung đoạn)
Diện tích toàn phần ( $S_{tp}$ ): $S_{tp} = S_{x q} + S_{đ \overset{a}{ˊ} y}$
Thể tích ( $V$ ): Bằng một phần ba tích của diện tích đáy $S_{đ \overset{a}{ˊ} y}$ với chiều cao $h$ . $V = \frac{1}{3} S_{đ \overset{a}{ˊ} y} \cdot h$

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $a = 8$ cm và trung đoạn $d = 10$ cm. Tính $S_{x q}$ .
Lời giải: Nửa chu vi đáy $p = \frac{3 \times 8}{2} = 12$ cm.
Diện tích xung quanh $S_{x q} = p \cdot d = 12 \times 10 = 120$ cm².

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều có diện tích đáy $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 273$ cm² và chiều cao $h = 10$ cm. Tính thể tích $V$ .
Lời giải: $V = \frac{1}{3} S_{đ \overset{a}{ˊ} y} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 273 \cdot 10 = 903$ cm³ $\approx 155.88$ cm³.

Ví dụ 3: Cho một lồng đèn dạng hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $20$ cm, trung đoạn $25$ cm. Tính diện tích giấy kiếng cần dùng để dán xung quanh 3 mặt bên lồng đèn.
Lời giải: Nửa chu vi đáy $p = \frac{3 \times 20}{2} = 30$ cm.
Diện tích giấy dán xung quanh $S_{x q} = 30 \times 25 = 750$ cm².

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hình chóp tam giác đều

🎯 Luyện tập Hình chóp tam giác đều

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hình chóp tam giác đều có mặt đáy là hình gì?

\text{Mặt đáy chóp tam giác đều}

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ và diện tích toàn phần $S_{tp}$ Phương pháp: Tính nửa chu vi đáy $p \to$ Tìm trung đoạn $d \to S_{x q} = p \cdot d$ .

Dạng 2: Tính thể tích $V$ của hình chóp tam giác đều Phương pháp: Tính diện tích tam giác đều đáy $S = \frac{a ^{2} 3}{4} \to V = \frac{1}{3} S_{đ \overset{a}{ˊ} y} \cdot h$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Hộp quà tặng hình chóp tam giác đều): Người ta sản xuất một hộp quà hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $12$ cm, trung đoạn $10$ cm.

a) Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm vỏ 3 mặt bên của hộp quà.
b) Tính số tiền mua bìa nếu giá bìa là $50.000$ đồng/m².

Lời giải:
a) Nửa chu vi đáy $p = \frac{3 \times 12}{2} = 18$ cm.
Diện tích xung quanh $S_{x q} = 18 \times 10 = 180$ cm² $= 0.018$ m².
b) Chi phí mua bìa $= 0.018 \times 50.000 = 900$ đồng/hộp quà.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt?

⭐ Ghi nhớ

Chóp tam giác đều: Đáy là tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
Diện tích xung quanh: $S_{x q} = p \cdot d$ .
Thể tích: $V = \frac{1}{3} S_{đ \overset{a}{ˊ} y} \cdot h$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết đặc điểm và tính $S_{x q}$ ):

a) Hãy cho biết số đỉnh, số mặt, số cạnh của hình chóp tam giác đều.
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $6$ cm, trung đoạn $8$ cm.
c) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $10$ cm, trung đoạn $12$ cm.
d) Cho hình chóp tam giác đều có $S_{x q} = 90$ cm², trung đoạn $d = 10$ cm. Tính chu vi đáy.
e) Cho hình chóp tam giác đều có $S_{x q} = 120$ cm², cạnh đáy $a = 8$ cm. Tính trung đoạn $d$ .
f) Tính thể tích hình chóp tam giác đều có diện tích đáy $S = 24$ cm², chiều cao $h = 9$ cm.

Bài 2 (Dễ — Tính thể tích hình chóp):

a) Tính thể tích hình chóp tam giác đều có $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 15$ cm², chiều cao $h = 8$ cm.
b) Tính thể tích hình chóp tam giác đều có $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 30$ cm², chiều cao $h = 10$ cm.
c) Cho hình chóp tam giác đều có thể tích $V = 100$ cm³, chiều cao $h = 12$ cm. Tính $S_{đ \overset{a}{ˊ} y}$ .
d) Cho hình chóp tam giác đều có thể tích $V = 45$ cm³, diện tích đáy $S = 27$ cm². Tính chiều cao $h$ .
e) Tính diện tích đáy của tam giác đều có cạnh $a = 4$ cm.
f) Tính thể tích hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $a = 4$ cm, chiều cao $h = 6$ cm.

Bài 3 (Trung bình — Tam giác vuông trong không gian chóp): Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy $a = 6$ cm, cạnh bên $b = 5$ cm.

a) Tính độ dài đường cao của mặt đáy $Δ A B C$ .
b) Tính diện tích mặt đáy $S_{A B C}$ .
c) Tính độ dài trung đoạn $d = S M$ của mặt bên.
d) Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình chóp.
e) Tính chiều cao $h = S H$ của hình chóp.
f) Tính thể tích $V$ của hình chóp.

Bài 4 (Trung bình — Thiết kế mô hình lồng đèn): Làm một lồng đèn hình chóp tam giác đều bằng khung tre. Biết cạnh đáy $30$ cm, cạnh bên $50$ cm.

a) Tính tổng độ dài dây tre cần dùng làm khung (tất cả các cạnh).
b) Tính diện tích giấy dán xung quanh lồng đèn.

Bài 5 (Trung bình — Bài toán nón che / mái nhà chóp tam giác): Một mái che của ki-ốt có dạng hình chóp tam giác đều cạnh đáy $4$ m, trung đoạn $3.5$ m.

a) Tính diện tích ngói lợp mái che (chỉ lợp 3 mặt bên).
b) Biết giá lợp 1 m² ngói là $250.000$ đồng. Tính tổng chi phí lợp mái.

Bài 6 (Khá — Mối liên hệ cạnh bên, chiều cao và trung đoạn): Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có chiều cao $h = 4$ cm, bán kính đường tròn nội tiếp đáy $r = 3$ cm.

a) Tính trung đoạn $d$ của hình chóp.
b) Tính cạnh đáy $a$ của tam giác đều $A B C$ .
c) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.

Bài 7 (Khá — Chứng minh các mặt bên bằng nhau): Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ .

a) Chứng minh các tam giác $Δ S A B, Δ S B C, Δ S C A$ là các tam giác cân bằng nhau.
b) Chứng minh các trung đoạn kẻ từ $S$ xuống các cạnh đáy bằng nhau.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tối ưu hóa nguyên vật liệu): Người ta dán giấy kiếng lên một khối hình chóp tam giác đều có $S_{x q} = 150$ cm². Biết giá giấy kiếng $10.000$ đồng/m² và hao hụt cắt giấy là $10%$ . Tính số tiền mua giấy kiếng.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Tháp đồng hồ trang trí đô thị): Một ngọn tháp tiểu cảnh hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $3$ m, chiều cao $4$ m, diện tích đáy $3.9$ m².

a) Tính thể tích không gian bên trong ngọn tháp.
b) Nếu đổ bê tông đặc làm bệ tháp thì cần bao nhiêu m³ bê tông?

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Khối gỗ hình chóp chế tác mỹ nghệ): Một khối gỗ hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $10$ cm, trung đoạn $12$ cm. Người thợ sơn toàn bộ 4 mặt (xung quanh và đáy) của khối gỗ.

a) Tính tổng diện tích sơn (diện tích toàn phần) nếu diện tích đáy bằng $43.3$ cm².
b) Tính lượng sơn cần dùng nếu $100$ cm² tốn $5$ gram sơn.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Số đỉnh $= 4$ , số mặt $= 4$ , số cạnh $= 6$ . b) $p = \frac{3 \times 6}{2} = 9 \Rightarrow S_{x q} = 9 \times 8 = 72$ cm². c) $p = 15 \Rightarrow S_{x q} = 15 \times 12 = 180$ cm². d) $p = \frac{90}{10} = 9 \Rightarrow$ Chu vi đáy $= 2 p = 18$ cm. e) $p = \frac{3 \times 8}{2} = 12 \Rightarrow d = \frac{120}{12} = 10$ cm. f) $V = \frac{1}{3} \times 24 \times 9 = 72$ cm³.

Bài 2: a) $V = \frac{1}{3} \times 15 \times 8 = 40$ cm³. b) $V = \frac{1}{3} \times 30 \times 10 = 100$ cm³. c) $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = \frac{3 V}{h} = \frac{300}{12} = 25$ cm². d) $h = \frac{3 V}{S} = \frac{135}{27} = 5$ cm. e) $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = \frac{4 ^{2} 3}{4} = 43 \approx 6.93$ cm². f) $V = \frac{1}{3} \cdot 43 \cdot 6 = 83 \approx 13.86$ cm³.

Bài 3: a) Đáy chiều cao $h_{d} = \frac{6 3}{2} = 33 \approx 5.2$ cm. b) $S_{A B C} = \frac{6 ^{2} 3}{4} = 93 \approx 15.59$ cm². c) Trung đoạn $d = 5^{2} - 3^{2} = 4$ cm. d) $p = 9 \Rightarrow S_{x q} = 9 \times 4 = 36$ cm². e) Bán kính ngoại tiếp $R = \frac{2}{3} (33) = 23 \Rightarrow h = 5^{2} - (23)^{2} = 25 - 12 = 13 \approx 3.61$ cm. f) $V = \frac{1}{3} \cdot 93 \cdot 13 = 339 \approx 18.73$ cm³.

Bài 4: a) Tổng độ dài dây tre $= 3 \times 30 + 3 \times 50 = 90 + 150 = 240$ cm $= 2.4$ m. b) Trung đoạn $d = 5 0^{2} - 1 5^{2} = 2500 - 225 = 2275 \approx 47.7$ cm.
$p = 45 \Rightarrow S_{x q} = 45 \times 47.7 = 2146.5$ cm².

Bài 5: a) $p = \frac{3 \times 4}{2} = 6$ m. $S_{x q} = 6 \times 3.5 = 21$ m². b) Chi phí $= 21 \times 250.000 = 5.250.000$ đồng.

Bài 6: a) Trung đoạn $d = h^{2} + r^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 5$ cm. b) Bán kính nội tiếp $r = \frac{a 3}{6} = 3 \Rightarrow a = \frac{18}{3} = 63 \approx 10.39$ cm. c) $p = 93 \Rightarrow S_{x q} = 93 \times 5 = 453 \approx 77.94$ cm².
$S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 273 \Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot 273 \cdot 4 = 363 \approx 62.35$ cm³.

Bài 7: a) Các cạnh bên $S A = S B = S C$ và $A B = B C = C A \Rightarrow Δ S A B = Δ S B C = Δ S C A$ (c.c.c) và đều là tam giác cân tại S. b) Đường cao kẻ từ S xuống các cạnh đáy bằng nhau do các tam giác bằng nhau.

Bài 8: $S_{x q} = 0.015$ m². Cần mua diện tích $= 0.015 \times 1.1 = 0.0165$ m².
Chi phí $= 0.0165 \times 10.000 = 165$ đồng.

Bài 9: a) $V = \frac{1}{3} \times 3.9 \times 4 = 5.2$ m³. b) Thể tích bê tông đặc $= 5.2$ m³.

Bài 10: a) $p = \frac{3 \times 10}{2} = 15$ cm $\Rightarrow S_{x q} = 15 \times 12 = 180$ cm².
$S_{tp} = 180 + 43.3 = 223.3$ cm². b) Lượng sơn $= \frac{223.3}{100} \times 5 = 11.165$ gram.