Bài 37: Hình đồng dạng

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết hình đồng dạng):

a) Trong các hình sau, những cặp hình nào luôn đồng dạng với nhau: Hai tam giác đều, hai hình vuông, hai hình tròn, hai hình chữ nhật, hai hình thoi?
b) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $4$ cm và hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $10$ cm. Tìm tỉ số đồng dạng $k$ của $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $ABCD$.
c) Cho hai hình tròn có bán kính $R_1=3$ cm và $R_2=9$ cm. Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của hai hình tròn.
d) Cho hai hình chữ nhật $H_1$ ($3\times 5$ cm) và $H_2$ ($6\times 10$ cm). Chứng minh $H_1\sim H_2$ và tìm $k$.
e) Hai hình chữ nhật $H_1$ ($4\times 6$ cm) và $H_2$ ($6\times 9$ cm) có đồng dạng không? Vì sao?
f) Cho hai ngũ giác đều có cạnh lần lượt là $5$ cm và $15$ cm. Tính tỉ số chu vi của hai ngũ giác.

Bài 2 (Dễ — Xác định hình phối cảnh tâm O):

a) Cho tam giác $ABC$ và điểm $O$. Trên các tia $OA,OB,OC$ lấy các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $O{A}^{\prime }=3OA,O{B}^{\prime }=3OB,O{C}^{\prime }=3OC$. Chứng minh $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim \Delta ABC$ phối cảnh tâm $O$.
b) Tìm tỉ số đồng dạng của $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $\Delta ABC$.
c) Cho đoạn thẳng $AB=6$ cm và điểm $O$. Vẽ đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ đồng dạng phối cảnh tâm $O$ tỉ số $k=0.5$. Tính $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
d) Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Lấy $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $OA,OB,OC,OD$. Chứng minh $MNPQ$ đồng dạng phối cảnh với $ABCD$.
e) Tính tỉ số diện tích của $MNPQ$ và $ABCD$.
f) Nêu 2 ví dụ thực tế về hình đồng dạng phối cảnh (máy chiếu, bóng nắng, kính phóng đại…).

Bài 3 (Trung bình — Đa giác đồng dạng và tỉ số chu vi, diện tích):

a) Cho hai đa giác đồng dạng $H$ và $H^{\prime }$ theo tỉ số $k=2.5$. Biết chu vi đa giác $H$ là $20$ cm. Tính chu vi đa giác $H^{\prime }$.
b) Cho hai đa giác đồng dạng $H$ và $H^{\prime }$ có diện tích lần lượt là $25$ cm² và $225$ cm². Tính tỉ số đồng dạng $k$ ($k>1$).
c) Cho tam giác $ABC$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đồng dạng phối cảnh với $\Delta ABC$. Tìm tâm phối cảnh (trọng tâm G) và tỉ số phối cảnh.
d) Cho tứ giác $ABCD$. Lấy điểm $O$ bất kỳ. Lấy các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ sao cho $O{A}^{\prime }=2OA,O{B}^{\prime }=2OB,O{C}^{\prime }=2OC,O{D}^{\prime }=2OD$. Chứng minh $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\sim ABCD$.
e) Chứng minh $A^{\prime }{B}^{\prime }//AB,B^{\prime }{C}^{\prime }//BC,C^{\prime }{D}^{\prime }//CD,D^{\prime }{A}^{\prime }//DA$.
f) Cho diện tích $ABCD=30$ cm². Tính diện tích $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Bài 4 (Trung bình — Hình học tọa độ và thu phóng đồng dạng): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A(1;2),B(3;1),C(2;4)$.

a) Vẽ tam giác $ABC$.
b) Nhân tọa độ các đỉnh với $2$ để được các điểm $A^{\prime }(2;4),B^{\prime }(6;2),C^{\prime }(4;8)$. Vẽ tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
c) Chứng minh $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim \Delta ABC$ phối cảnh tâm gốc tọa độ $O(0;0)$ tỉ số $k=2$.

Bài 5 (Trung bình — Phép đồng dạng thu nhỏ): Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=12$ cm, $BC=8$ cm.

a) Vẽ hình chữ nhật $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ đồng dạng thu nhỏ với $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{4}$.
b) Tính chu vi và diện tích của $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Bài 6 (Khá — Chứng minh hai đa giác đồng dạng): Cho hai tứ giác $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các góc tương ứng bằng nhau: $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }},\hat{B}=\widehat{B^{\prime }},\hat{C}=\widehat{C^{\prime }},\hat{D}=\widehat{D^{\prime }}$ và các cạnh tương ứng tỉ lệ $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{D}^{\prime }}{CD}=\frac{D^{\prime }{A}^{\prime }}{DA}=k$.

a) Kẻ các đường chéo $AC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Chứng minh $\Delta ABC\sim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $\Delta ADC\sim \Delta A^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$.
b) Chứng minh hai tứ giác $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ đồng dạng.

Bài 7 (Khá — Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn): Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $I$ cố định ngoài đường tròn.

a) Qua $I$ vẽ các tia cắt đường tròn $(O;R)$ tạo thành hình đồng dạng phối cảnh.
b) Chứng minh hình đồng dạng phối cảnh tâm $I$ tỉ số $k$ của đường tròn $(O;R)$ là một đường tròn $(O^{\prime };R^{\prime })$ với $R^{\prime }=k\cdot R$.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Bài toán vẽ kĩ thuật tỉ lệ): Một bản vẽ kĩ thuật ngôi nhà vẽ theo tỉ lệ $1:100$.

a) Một phòng khách có dạng hình chữ nhật kích thước trên bản vẽ là $5$ cm $\times 8$ cm. Tính kích thước thực tế của phòng khách (m).
b) Diện tích thực tế của phòng khách là bao nhiêu m²?

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Phóng to ảnh chụp kĩ thuật số): Một bức ảnh chụp màn hình điện thoại có độ phân giải $1.080\times 1.920$ pixel được in ra khổ giấy lớn tỉ số phóng to $k=2.5$.

a) Tính kích thước pixel của bức ảnh sau khi phóng to.
b) Tỉ số diện tích bức ảnh in và bức ảnh điện thoại là bao nhiêu?

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo tỉ lệ mô hình xe ô tô): Một mô hình xe ô tô đồ chơi sản xuất theo tỉ lệ đồng dạng $1:18$ so với xe thật.

a) Biết chiều dài xe thật là $4.5$m ($450$ cm). Tính chiều dài mô hình xe đồ chơi.
b) Thể tích bình xăng xe thật là $54$ lít. Nếu mô hình làm rỗng theo đúng tỉ lệ thì thể tích mô hình bằng bao nhiêu cm³ (biết $1\text{ lıˊt}=1.000{\text{ cm}}^3$)?