Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Tam giác vuông có sẵn góc vuông $9 0^{\circ}$ , vì vậy các dấu hiệu đồng dạng của nó trở nên gọn gàng và vô cùng mạnh mẽ! Đây là công cụ rút ngắn chứng minh và sản sinh ra hệ thống Hệ thức lượng trong tam giác vuông kinh điển.

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Hai tam giác vuông $Δ A B C$ (vuông tại $A$ ) và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (vuông tại $A^{'}$ ) đồng dạng với nhau nếu thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:

Trường hợp 1 (Góc nhọn): Có một cặp góc nhọn bằng nhau ( $B = B^{'}$ hoặc $C = C^{'}$ ).
Trường hợp 2 (Hai cạnh góc vuông): Hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ ( $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C}$ ).
Trường hợp 3 (Cạnh huyền - Cạnh góc vuông): Cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ ( $\frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ ).

Các dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B = 3 5^{\circ}$ và tam giác $D E F$ vuông tại $D$ có $F = 5 5^{\circ}$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ D E F$ .
Lời giải: Trong $Δ D E F$ vuông tại $D \Rightarrow E = 9 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .
Xét $Δ A B C$ và $Δ D E F$ vuông tại $A$ và $D$ có $B = E = 3 5^{\circ} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ D E F$ (Góc nhọn).

Ví dụ 2: Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ ( $A B = 6, A C = 8$ ) và $Δ M N P$ vuông tại $M$ ( $M N = 9, M P = 12$ ). Chứng minh $Δ A B C \sim Δ M N P$ .
Lời giải: Tỉ số cạnh góc vuông: $\frac{A B}{M N} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ; $\frac{A C}{M P} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ M N P$ (Hai cạnh góc vuông).

Ví dụ 3: Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ ( $B C = 10, A B = 6$ ) và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ vuông tại $A^{'}$ ( $B^{'} C^{'} = 15, A^{'} B^{'} = 9$ ). Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Lời giải: Tỉ số cạnh huyền $\frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{15}{10} = 1.5$ . Tỉ số cạnh góc vuông $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{9}{6} = 1.5 \Rightarrow Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ (ch-cgv).

2. Ứng dụng: Các Hệ thức lượng trong Tam giác vuông

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ hạ xuống cạnh huyền $B C$ :

$A H^{2} = B H \cdot C H$ (từ $Δ H B A \sim Δ H A C$ )
$A B^{2} = B H \cdot B C$ (từ $Δ H B A \sim Δ A B C$ )
$A C^{2} = C H \cdot B C$ (từ $Δ H A C \sim Δ A B C$ )
$A H \cdot B C = A B \cdot A C$ (từ diện tích tam giác $S = \frac{1}{2} A H \cdot B C = \frac{1}{2} A B \cdot A C$ )
$\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}$

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ đường cao $A H$ . Biết $B H = 4$ cm, $C H = 9$ cm. Tính $A H, A B, A C$ .
Lời giải:

$A H^{2} = B H \cdot C H = 4 \times 9 = 36 \Rightarrow A H = 6$ cm.
$B C = B H + C H = 4 + 9 = 13$ cm.
$A B = B H \cdot B C = 4 \times 13 = 213$ cm.
$A C = C H \cdot B C = 9 \times 13 = 313$ cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 5$ cm, $A C = 12$ cm. Tính đường cao $A H$ .
Lời giải: $B C = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ cm.
$A H \cdot B C = A B \cdot A C \Rightarrow A H = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62$ cm.

Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Biết $A B = 6$ cm, $A H = 4.8$ cm. Tính $B C$ .
Lời giải: $B H = A B^{2} - A H^{2} = 6^{2} - 4. 8^{2} = 36 - 23.04 = 12.96 = 3.6$ cm.
$A B^{2} = B H \cdot B C \Rightarrow B C = \frac{6 ^{2}}{3.6} = \frac{36}{3.6} = 10$ cm.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Tam giác vuông đồng dạng

🎯 Luyện tập Tam giác vuông đồng dạng

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hai tam giác vuông đồng dạng khi thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

\text{Điều kiện đồng dạng tam giác vuông}

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng & Tìm tỉ số đồng dạng Phương pháp: Tìm góc nhọn bằng nhau, hoặc 2 cạnh góc vuông tỉ lệ, hoặc cạnh huyền + cgv tỉ lệ.

Dạng 2: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông bằng hệ thức lượng Phương pháp: Áp dụng $A H^{2} = H B \cdot H C$ , $A B^{2} = B H \cdot B C$ , $A H \cdot B C = A B \cdot A C$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo chiều cao cột cờ bằng góc ngắm nghiêng): Một người đứng cách chân cột cờ $B C = 12$ m. Mắt người tại $D$ ở độ cao $C D^{'} = 1.5$ m so với mặt đất. Người đó cầm thước góc ngắm thấy tia nhìn đỉnh cột cờ $A$ hợp với phương ngang $D^{'} E$ một góc sao cho tam giác ngắm $D^{'} E A^{'}$ đồng dạng với tam giác thực tế. Biết thước góc cho tỉ lệ $A^{'} E / D^{'} E = 0.75$ .

a) Giải thích vì sao tam giác $A E D^{'}$ đồng dạng tam giác ngắm.
b) Tính chiều cao $A B$ của cột cờ.

Lời giải:
a) Hai tam giác vuông tại $E$ có cùng góc nâng nhọn nên đồng dạng.
b) Ta có $A E = D^{'} E \times 0.75 = 12 \times 0.75 = 9$ m.
Chiều cao cột cờ $A B = A E + E B = 9 + 1.5 = 10.5$ mét.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau khi thỏa mãn điều kiện nào?

⭐ Ghi nhớ

3 Dấu hiệu: (1) Góc nhọn, (2) 2 cgv tỉ lệ, (3) ch - cgv tỉ lệ.
Đường cao tam giác vuông: Tạo ra 3 tam giác vuông đồng dạng với nhau.
Hệ thức lượng: $A H^{2} = H B \cdot H C$ , $A B^{2} = B H \cdot B C$ , $A H \cdot B C = A B \cdot A C$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng):

a) Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ ( $B = 4 0^{\circ}$ ) và $Δ D E F$ vuông tại $D$ ( $E = 4 0^{\circ}$ ). Chứng minh $Δ A B C \sim Δ D E F$ .
b) Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ ( $A B = 3, A C = 4$ ) và $Δ M N P$ vuông tại $M$ ( $M N = 6, M P = 8$ ). Chứng minh $Δ A B C \sim Δ M N P$ .
c) Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ ( $B C = 13, A B = 5$ ) và $Δ D E F$ vuông tại $D$ ( $E F = 26, D E = 10$ ). Chứng minh $Δ A B C \sim Δ D E F$ .
d) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Chứng minh $Δ H B A \sim Δ A B C$ .
e) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Chứng minh $Δ H A C \sim Δ A B C$ .
f) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Chứng minh $Δ H B A \sim Δ H A C$ .

Bài 2 (Dễ — Vận dụng các hệ thức lượng cơ bản): Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ .

a) Biết $B H = 4$ cm, $C H = 9$ cm. Tính $A H$ .
b) Biết $B H = 1$ cm, $C H = 4$ cm. Tính $A H$ .
c) Biết $B H = 9$ cm, $B C = 25$ cm. Tính $A B$ .
d) Biết $C H = 16$ cm, $B C = 25$ cm. Tính $A C$ .
e) Biết $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Tính $B C$ và $A H$ .
f) Biết $A B = 5$ cm, $B C = 13$ cm. Tính $A C, B H, C H, A H$ .

Bài 3 (Trung bình — Tam giác vuông có hình chiếu & đường cao): Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ .

a) Chứng minh $A H^{2} = H B \cdot H C$ .
b) Chứng minh $A B^{2} = B H \cdot B C$ và $A C^{2} = C H \cdot B C$ .
c) Chứng minh $\frac{A B ^{2}}{A C ^{2}} = \frac{B H}{C H}$ .
d) Cho $A B = 12$ cm, $A C = 16$ cm. Tính độ dài $B H, C H, A H$ .
e) Gọi $D, E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $A B, A C$ . Chứng minh $A H = D E$ .
f) Chứng minh $A D \cdot A B = A E \cdot A C = A H^{2}$ .

Bài 4 (Trung bình — Hình chữ nhật & Đường vuông góc): Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm. Kẻ $A H ⊥ B D$ ( $H \in B D$ ).

a) Tính $B D$ .
b) Chứng minh $Δ A H B \sim Δ B C D$ .
c) Tính $A H, H B, H D$ .
d) Kẻ $C K ⊥ B D$ ( $K \in B D$ ). Chứng minh tứ giác $A H C K$ là hình bình hành.

Bài 5 (Trung bình — Tam giác nhọn và hai đường cao): Cho tam giác $A B C$ nhọn có các đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh $Δ A B D \sim Δ A C E$ .
b) Chứng minh $Δ A D H \sim Δ A E H$ (sửa $Δ H B E \sim Δ H C D$ ).
c) Chứng minh $H B \cdot H D = H C \cdot H E$ .
d) Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A B C$ .

Bài 6 (Khá — Hình vuông và tia vuông góc): Cho hình vuông $A B C D$ . Trên cạnh $B C$ lấy điểm $M$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A M$ cắt đường thẳng $C D$ tại $N$ .

a) Chứng minh $Δ A B M = Δ A D N$ .
b) Chứng minh tam giác $A M N$ vuông cân tại $A$ .
c) Gọi $I$ là trung điểm $M N$ . Chứng minh $A I ⊥ M N$ và $I$ thuộc đường chéo $B D$ .

Bài 7 (Khá — Hệ thức lượng nghịch đảo tổng bình phương): Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ .

a) Chứng minh $\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}$ .
b) Áp dụng: Tính $A H$ khi $A B = 15$ cm, $A C = 20$ cm.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Bài toán hình học đường tròn tiếp tuyến): Cho nửa đường tròn đường kính $A B = 2 R$ . Từ điểm $M$ trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến $d$ . Kẻ $A C ⊥ d$ và $B D ⊥ d$ ( $C, D \in d$ ).

a) Chứng minh $M C = M D$ .
b) Chứng minh $A C \cdot B D = \frac{A B ^{2}}{4} = R^{2}$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Đo khoảng cách hai điểm bị vật cản): Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B hai bên bờ sông, một kĩ sư đứng tại C ( $A C ⊥ A B$ ). Kĩ sư kẻ đường cao $A H ⊥ B C$ ( $H \in B C$ ). Đo được $B H = 9$ m, $H C = 16$ m.

a) Giải thích vì sao $Δ H A B \sim Δ H C A$ .
b) Tính chiều dài khoảng cách $A B$ và chiều rộng sông $A H$ .

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Thiết kế độ dốc đường hầm gầm cầu): Một lối xuống hầm chui có chiều dài đường dốc $B C = 20$ m, độ sâu hầm $A H = 4$ m ( $A H ⊥ B C$ ).

a) Tính độ dài các đoạn đường dốc $B H$ và $H C$ .
b) Tính độ dốc (tỉ số $A H / B H$ ) của lối xuống hầm.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Cùng vuông và có góc nhọn $4 0^{\circ} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ D E F$ (g.g). b) Cùng vuông và $\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P} = \frac{1}{2} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ M N P$ (2 cgv). c) Cùng vuông và $\frac{E F}{B C} = \frac{D E}{A B} = 2 \Rightarrow Δ A B C \sim Δ D E F$ (ch-cgv). d) $A H B = B A C = 9 0^{\circ}, B$ chung $\Rightarrow Δ H B A \sim Δ A B C$ (g.g). e) $A H C = B A C = 9 0^{\circ}, C$ chung $\Rightarrow Δ H A C \sim Δ A B C$ (g.g). f) Vì cùng đồng dạng $Δ A B C \Rightarrow Δ H B A \sim Δ H A C$ (bắc cầu).

Bài 2: a) $A H = 4 \times 9 = 6$ cm. b) $A H = 1 \times 4 = 2$ cm. c) $A B = 9 \times 25 = 15$ cm. d) $A C = 16 \times 25 = 20$ cm. e) $B C = 6^{2} + 8^{2} = 10$ cm. $A H = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8$ cm. f) $A C = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ cm. $B H = \frac{5 ^{2}}{13} = \frac{25}{13}$ cm. $C H = \frac{1 2 ^{2}}{13} = \frac{144}{13}$ cm. $A H = \frac{60}{13}$ cm.

Bài 3: a) Từ $Δ H B A \sim Δ H A C \Rightarrow \frac{A H}{H C} = \frac{H B}{A H} \Rightarrow A H^{2} = H B \cdot H C$ . b) Từ $Δ H B A \sim Δ A B C \Rightarrow A B^{2} = B H \cdot B C$ . Từ $Δ H A C \sim Δ A B C \Rightarrow A C^{2} = C H \cdot B C$ . c) Chia 2 vế của b: $\frac{A B ^{2}}{A C ^{2}} = \frac{B H \cdot B C}{C H \cdot B C} = \frac{B H}{C H}$ . d) $B C = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ cm. $B H = \frac{1 2 ^{2}}{20} = 7.2$ cm. $C H = 20 - 7.2 = 12.8$ cm. $A H = \frac{12 \times 16}{20} = 9.6$ cm. e) Tứ giác $A D H E$ có 3 góc vuông $\Rightarrow A D H E$ là hình chữ nhật $\Rightarrow D E = A H$ . f) $Δ A D H \sim Δ A H B \Rightarrow A D \cdot A B = A H^{2}$ . $Δ A E H \sim Δ A H C \Rightarrow A E \cdot A C = A H^{2} \Rightarrow A D \cdot A B = A E \cdot A C$ .

Bài 4: a) $B D = 8^{2} + 6^{2} = 10$ cm. b) $A H B = B C D = 9 0^{\circ}, A B H = B D C$ (so le trong) $\Rightarrow Δ A H B \sim Δ B C D$ (g.g). c) $A H = \frac{8 \times 6}{10} = 4.8$ cm. $H B = \frac{6 ^{2}}{10} = 3.6$ cm. $H D = 10 - 3.6 = 6.4$ cm. d) $A H ⊥ B D, C K ⊥ B D \Rightarrow A H // C K$ . $A H = C K = 4.8$ cm $\Rightarrow A H C K$ là hình bình hành.

Bài 5: a) $A D B = A E C = 9 0^{\circ}, A$ chung $\Rightarrow Δ A B D \sim Δ A C E$ (g.g). b) $H E B = H D C = 9 0^{\circ}, E H B = D H C$ (đối đỉnh) $\Rightarrow Δ H B E \sim Δ H C D$ (g.g). c) Từ b $\Rightarrow \frac{H B}{H C} = \frac{H E}{H D} \Rightarrow H B \cdot H D = H C \cdot H E$ . d) Từ a $\Rightarrow \frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ , $A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C$ (c.g.c).

Bài 6: a) $B = D = 9 0^{\circ}, A B = A D, B A M = D A N$ (cùng phụ với $M A D$ ) $\Rightarrow Δ A B M = Δ A D N$ (c.g.c). b) Từ a $\Rightarrow A M = A N$ . Vì $M A N = 9 0^{\circ} \Rightarrow Δ A M N$ vuông cân tại A. c) Tam giác $A M N$ vuông cân $\Rightarrow A I ⊥ M N$ . Dùng tính chất đối xứng suy ra $I \in B D$ .

Bài 7: a) $\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{A B ^{2} + A C ^{2}}{A B ^{2} \cdot A C ^{2}} = \frac{B C ^{2}}{( A H \cdot B C ) ^{2}} = \frac{1}{A H ^{2}}$ . b) $A H = \frac{15 \times 20}{1 5 ^{2} + 2 0 ^{2}} = \frac{300}{25} = 12$ cm.

Bài 8: a) Sử dụng tính chất hình thang vuông và các góc đối đỉnh suy ra $M$ là trung điểm $C D \Rightarrow M C = M D$ . b) $Δ C A M \sim Δ M D B$ (g.g) $\Rightarrow \frac{A C}{M D} = \frac{M C}{B D} \Rightarrow A C \cdot B D = M C \cdot M D = M C^{2}$ . Mà $M C = R \Rightarrow A C \cdot B D = R^{2} = \frac{A B ^{2}}{4}$ .

Bài 9: a) $A H B = A H C = 9 0^{\circ}, H A B = H C A$ (cùng phụ $H B A$ ) $\Rightarrow Δ H A B \sim Δ H C A$ (g.g). b) $A H^{2} = H B \cdot H C = 9 \times 16 = 144 \Rightarrow A H = 12$ m (chiều rộng sông).
$A B = A H^{2} + B H^{2} = 1 2^{2} + 9^{2} = 15$ mét.

Bài 10: a) $B H \cdot H C = A H^{2} = 16$ . Mà $B H + H C = 20 \Rightarrow B H (20 - B H) = 16 \Rightarrow B H^{2} - 20 B H + 16 = 0$ .
Giải ra $B H = 10 - 221 \approx 0.83$ m, $H C = 10 + 221 \approx 19.17$ m. b) Độ dốc $= \frac{A H}{B H} = \frac{4}{0.83} \approx 4.82$ (hay $482%$ ).