Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Định lí Pythagore là một trong những phát minh vĩ đại nhất của lịch sử toán học nhân loại. Định lí này mở ra mối liên hệ tuyệt đẹp giữa Số học (Bình phương) và Hình học (Tam giác vuông), làm nền tảng cho đo đạc đất đai, xây dựng và hệ tọa độ!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định lí Pythagore thuận & Đảo

Định lí Pythagore (Thuận): Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. $Δ A B C vu \overset{o}{ˆ} ng tại A \Rightarrow B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$
Định lí Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. $Δ A B C c \overset{o}{ˊ} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow Δ A B C vu \overset{o}{ˆ} ng tại A$

Công thức định lí Pythagore trong tam giác vuông

Ví dụ 1: Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Tính độ dài cạnh huyền $B C$ .
Lời giải: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 \Rightarrow B C = 100 = 10$ cm.

Ví dụ 2: Cho $Δ M N P$ có độ dài ba cạnh là $M N = 7$ cm, $N P = 24$ cm, $M P = 25$ cm. Tam giác $M N P$ có phải là tam giác vuông không?
Lời giải: Ta có $M P^{2} = 2 5^{2} = 625$ .
$M N^{2} + N P^{2} = 7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$ .
Vì $M P^{2} = M N^{2} + N P^{2} = 625 \Rightarrow Δ M N P$ vuông tại $N$ (Định lí Pythagore đảo).

Ví dụ 3: Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật $A B C D$ có $A B = 12$ cm, $B C = 5$ cm.
Lời giải: Áp dụng Pythagore cho $Δ A B C$ vuông tại $B$ :
$A C = A B^{2} + B C^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm.

2. Chứng minh Định lí Pythagore bằng Tam giác đồng dạng

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , kẻ đường cao $A H ⊥ B C$ .
Ta có $Δ H B A \sim Δ A B C$ (g.g) $\Rightarrow \frac{H B}{A B} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow A B^{2} = B H \cdot B C$ .
Ta có $Δ H A C \sim Δ A B C$ (g.g) $\Rightarrow \frac{H C}{A C} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow A C^{2} = C H \cdot B C$ .
Cộng hai vế lại: $A B^{2} + A C^{2} = B H \cdot B C + C H \cdot B C = (B H + C H) \cdot B C = B C \cdot B C = B C^{2}$ (Đây là chứng minh đại số vô cùng thanh thoát của Định lí Pythagore!)

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Biết $B H = 4$ cm, $C H = 9$ cm. Tính $A B, A C$ và $B C$ .
Lời giải: $B C = B H + C H = 4 + 9 = 13$ cm.
$A B^{2} = B H \cdot B C = 4 \times 13 = 52 \Rightarrow A B = 52 = 213$ cm.
$A C^{2} = C H \cdot B C = 9 \times 13 = 117 \Rightarrow A C = 117 = 313$ cm.

Ví dụ 2: Tính đường cao của tam giác đều cạnh $a$ .
Lời giải: Kẻ đường cao $A H$ . Vì tam giác đều nên $H$ là trung điểm $B C \Rightarrow B H = \frac{a}{2}$ .
$A H = A B^{2} - B H^{2} = a^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} = \frac{a 3}{2}$ .

Ví dụ 3: Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$ .
Lời giải: $c = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = a 2$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Định lí Pythagore

🎯 Luyện tập Định lí Pythagore & Ứng dụng

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm. Độ dài cạnh huyền $BC$ là:

BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính độ dài một cạnh tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại Phương pháp: Cạnh huyền $c = a^{2} + b^{2}$ ; Cạnh góc vuông $a = c^{2} - b^{2}$ .

Dạng 2: Kiểm tra tam giác vuông (Nhận biết bộ số Pythagore) Phương pháp: So sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương hai cạnh nhỏ hơn.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo kích thước màn hình Tivi): Kích thước màn hình Tivi (tính bằng inch, 1 inch $\approx 2.54$ cm) là độ dài đường chéo màn hình. Một Tivi có chiều rộng $96$ cm và chiều cao $54$ cm.

a) Tính độ dài đường chéo màn hình Tivi (cm).
b) Tivi này có kích thước khoảng bao nhiêu inch?

Lời giải:
a) Đường chéo $d = 9 6^{2} + 5 4^{2} = 9.216 + 2.916 = 12.132 \approx 110.14$ cm.
b) Kích thước inch $= 110.14 \div 2.54 \approx 43.36 \Rightarrow$ Tivi thuộc loại $43$ inch.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phát biểu nào sau đây ĐÚNG về Định lí Pythagore?

⭐ Ghi nhớ

Pythagore thuận: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (Tam giác vuông).
Pythagore đảo: $c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông.
Bộ số hay gặp: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(6, 8, 10)$ , $(8, 15, 17)$ , $(9, 12, 15)$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính cạnh tam giác vuông):

a) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 5$ cm, $A C = 12$ cm. Tính $B C$ .
b) Cho tam giác $D E F$ vuông tại $D$ có $E F = 10$ cm, $D E = 6$ cm. Tính $D F$ .
c) Cho tam giác $M N P$ vuông tại $M$ có $M N = 8$ cm, $M P = 15$ cm. Tính $N P$ .
d) Tính đường chéo của hình vuông có cạnh $6$ cm.
e) Tính chiều cao của tam giác đều có cạnh $8$ cm.
f) Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật có hai kích thước $9$ cm và $12$ cm.

Bài 2 (Dễ — Nhận biết tam giác vuông): Kiểm tra xem các tam giác có độ dài ba cạnh sau có phải là tam giác vuông không:

a) $6 cm, 8 cm, 10 cm$ .
b) $7 cm, 10 cm, 12 cm$ .
c) $9 cm, 40 cm, 41 cm$ .
d) $11 cm, 60 cm, 61 cm$ .
e) $1.5 m, 2 m, 2.5 m$ .
f) $5 cm, 5 cm, 52 cm$ .

Bài 3 (Trung bình — Tam giác cân và tam giác thường):

a) Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có $A B = A C = 13$ cm, $B C = 10$ cm. Tính độ dài đường cao $A H$ hạ từ $A$ .
b) Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ có đường cao $A H = 12$ cm, $B C = 18$ cm. Tính chu vi tam giác $A B C$ .
c) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Biết $A B = 15$ cm, $B H = 9$ cm. Tính $B C, A H, A C$ .
d) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Biết $A H = 12$ cm, $B H = 9$ cm. Tính $C H, A B, A C$ .
e) Tính diện tích tam giác cân $A B C$ ( $A B = A C = 10$ cm, $B C = 12$ cm).
f) Cho hình thoi $A B C D$ có hai đường chéo $A C = 16$ cm, $B D = 12$ cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

Bài 4 (Trung bình — Hình học tổng hợp Pythagore): Cho hình thang vuông $A B C D$ ( $A = D = 9 0^{\circ}$ ) có $A B = 4$ cm, $C D = 9$ cm, $A D = 12$ cm.

a) Tính độ dài cạnh bên $B C$ .
b) Tính độ dài đường chéo $A C$ và $B D$ .
c) Chứng minh $A C ⊥ B D$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm điểm thỏa mãn hệ thức Pythagore): Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Lấy điểm $M$ bất kỳ trên cạnh $A C$ .

a) Chứng minh $B M^{2} - B C^{2} = A M^{2} - A C^{2}$ .
b) Chứng minh $B M^{2} + A C^{2} = B C^{2} + A M^{2}$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh đẳng thức Pythagore trong hình học): Cho tam giác $A B C$ nhọn, các đường cao $A D, B E, C F$ .

a) Chứng minh $A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ .
b) Chứng minh $A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = 2 (A D^{2} + B E^{2} + C F^{2})$ (trong tam giác đều).

Bài 7 (Khá — Tính khoảng cách không gian phẳng): Cho điểm $A (1; 2)$ và $B (4; 6)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Vẽ tam giác vuông có cạnh huyền AB và các cạnh song song với các trục tọa độ.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB sử dụng công thức Pythagore.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Bất đẳng thức tam giác và Pythagore): Cho hình chữ nhật $A B C D$ và điểm $M$ nằm bất kỳ trong hình chữ nhật. Chứng minh $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Chiều dài chiếc thang an toàn): Một chiếc thang dựa vào tường rào cao $3.6$ m. Để thang đứng an toàn không bị lật, chân thang phải đặt cách chân tường một khoảng $1.5$ m.

a) Tính chiều dài tối thiểu của chiếc thang.
b) Nếu thang dài $4.5$ m thì chân thang phải cách chân tường bao nhiêu mét?

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Khoảng cách bay của máy bay): Một máy bay cất cánh từ sân bay A bay thẳng theo hướng Đông $300$ km, sau đó đổi hướng bay về hướng Bắc $400$ km đến điểm B.

a) Vẽ sơ đồ đường bay của máy bay.
b) Tính khoảng cách theo đường thẳng từ điểm B về lại sân bay A.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $B C = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ cm. b) $D F = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ cm. c) $N P = 8^{2} + 1 5^{2} = 17$ cm. d) $d = 6^{2} + 6^{2} = 62$ cm. e) $h = \frac{8 3}{2} = 43$ cm. f) $d = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ cm.

Bài 2: a) $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông. b) $7^{2} + 1 0^{2} = 149 \neq = 1 2^{2} = 144 \Rightarrow$ Không vuông. c) $9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1.600 = 1.681 = 4 1^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông. d) $1 1^{2} + 6 0^{2} = 121 + 3.600 = 3.721 = 6 1^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông. e) $1. 5^{2} + 2^{2} = 2.25 + 4 = 6.25 = 2. 5^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông. f) $5^{2} + 5^{2} = 50 = (52)^{2} \Rightarrow$ Tam giác vuông cân.

Bài 3: a) $H$ là trung điểm $B C \Rightarrow B H = 5$ cm. $A H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ cm. b) $B H = 9$ cm $\Rightarrow A B = 1 2^{2} + 9^{2} = 15$ cm. Chu vi $= 15 + 15 + 18 = 48$ cm. c) $A B^{2} = B H \cdot B C \Rightarrow B C = \frac{1 5 ^{2}}{9} = 25$ cm. $A H = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$ cm. $A C = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20$ cm. d) $A H^{2} = B H \cdot C H \Rightarrow C H = \frac{1 2 ^{2}}{9} = 16$ cm. $A B = 9^{2} + 1 2^{2} = 15$ cm. $A C = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$ cm. e) $B H = 6$ cm $\Rightarrow A H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ cm. $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ cm². f) Hai đường chéo vuông góc tại trung điểm $O \Rightarrow O A = 8, O B = 6 \Rightarrow A B = 8^{2} + 6^{2} = 10$ cm.

Bài 4: a) Kẻ $B E ⊥ C D \Rightarrow D E = A B = 4 \Rightarrow E C = C D - D E = 9 - 4 = 5$ cm. $B E = A D = 12$ cm. $B C = 1 2^{2} + 5^{2} = 13$ cm. b) $A C = 1 2^{2} + 9^{2} = 15$ cm. $B D = 1 2^{2} + 4^{2} = 160 = 410$ cm. c) Sử dụng tích các đoạn hoặc tỉ số góc vuông.

Bài 5: a) $B M^{2} = A B^{2} + A M^{2}$ , $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow B M^{2} - B C^{2} = A M^{2} - A C^{2}$ . b) Chuyển vế vế âm từ câu a $\Rightarrow B M^{2} + A C^{2} = B C^{2} + A M^{2}$ .

Bài 6: a) $A B^{2} - B D^{2} = A D^{2} = A C^{2} - C D^{2} \Rightarrow A B^{2} + C D^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ . b) Cộng các hệ thức tương tự từ 3 đường cao trong tam giác đều.

Bài 7: a) Cạnh ngang $Δ x = 4 - 1 = 3$ , Cạnh đứng $Δ y = 6 - 2 = 4$ . b) $A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ .

Bài 8: Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh hình chữ nhật. Áp dụng Pythagore cho 4 tam giác vuông tại 4 góc $\Rightarrow M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ .

Bài 9: a) Thang $L = 3. 6^{2} + 1. 5^{2} = 12.96 + 2.25 = 15.21 = 3.9$ mét. b) Khoảng cách $x = 4. 5^{2} - 3. 6^{2} = 20.25 - 12.96 = 7.29 = 2.7$ mét.

Bài 10: a) Tam giác $O A B$ vuông tại A. b) Khoảng cách $A B = 30 0^{2} + 40 0^{2} = 90.000 + 160.000 = 250.000 = 500$ km.