Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 34: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, không nhất thiết phải kiểm tra tất cả 3 cặp góc và 3 cặp cạnh. Toán học cung cấp 3 Dấu hiệu nhận biết (Trường hợp đồng dạng) vô cùng tiện lợi giúp giải quyết các bài toán chứng minh hình học một cách nhanh chóng!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c)

Định lí: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Tổng quát: Nếu $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} \Rightarrow Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ (c.c.c).

Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Cạnh - Cạnh - Cạnh

Ví dụ 1: Tam giác $A B C$ có $A B = 4, B C = 6, A C = 8$ . Tam giác $D E F$ có $D E = 6, E F = 9, D F = 12$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ D E F$ .
Lời giải: Xét tỉ số các cạnh: $\frac{A B}{D E} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ; $\frac{B C}{E F} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ; $\frac{A C}{D F} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .
Vì $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F} = \frac{2}{3} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ D E F$ (c.c.c).

Ví dụ 2: Cho $Δ M N P$ có $M N = 3, N P = 5, M P = 7$ và $Δ QR S$ có $QR = 6, R S = 10, QS = 14$ . Tính tỉ số đồng dạng.
Lời giải: $\frac{M N}{QR} = \frac{N P}{R S} = \frac{M P}{QS} = \frac{1}{2} \Rightarrow Δ M N P \sim Δ QR S$ (c.c.c) với $k = \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ . Gọi $D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C A$ . Chứng minh $Δ D E F \sim Δ C A B$ .
Lời giải: $D E, E F, F D$ là đường trung bình $\Rightarrow D E = \frac{1}{2} A C, E F = \frac{1}{2} A B, F D = \frac{1}{2} B C$ .
$\Rightarrow \frac{D E}{A C} = \frac{E F}{A B} = \frac{F D}{B C} = \frac{1}{2} \Rightarrow Δ D E F \sim Δ C A B$ (c.c.c).

2. Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c)

Định lí: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc kẹp giữa hai cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.
Tổng quát: Nếu $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C}$ và $A^{'} = A \Rightarrow Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ (c.g.c).

Ví dụ 1: Cho $Δ A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 6$ cm, $A = 5 0^{\circ}$ . Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A^{'} B^{'} = 6$ cm, $A^{'} C^{'} = 9$ cm, $A^{'} = 5 0^{\circ}$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
Lời giải: Ta có $A = A^{'} = 5 0^{\circ}$ . Tỉ số cạnh: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ; $\frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Vì $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{2}{3}$ và $A = A^{'} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (c.g.c).

Ví dụ 2: Cho góc $x O y$ . Trên $O x$ lấy điểm $A, B$ ( $O A = 2, O B = 8$ ). Trên $O y$ lấy $C, D$ ( $O C = 4, O D = 4$ ). Chứng minh $Δ O A C \sim Δ O D B$ (sửa $O D = 4 \to O C = 4, O D = 4$ sửa $O D = 4$ thành $O D = 8$ để $O A / O C = O C / O B$ hoặc $O A / O C = 2/4 = 1/2, O C / O B = 4/8 = 1/2$ ).
Lời giải: Ta có $O$ chung. Tỉ số $\frac{O A}{O C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ; $\frac{O C}{O B} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{O A}{O C} = \frac{O C}{O B} \Rightarrow Δ O A C \sim Δ O C B$ (c.g.c).

Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ . Trên cạnh $A B, A C$ lấy $D, E$ sao cho $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ . Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A C B$ .
Lời giải: Biến đổi $A D \cdot A B = A E \cdot A C \Rightarrow \frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ . Kết hợp $A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A C B$ (c.g.c).

3. Trường hợp 3: Góc - Góc (g.g)

Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Tổng quát: Nếu $A^{'} = A$ và $B^{'} = B \Rightarrow Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ (g.g).

Ví dụ 1: Cho $Δ A B C$ có $A = 7 0^{\circ}, B = 5 0^{\circ}$ và $Δ M N P$ có $M = 7 0^{\circ}, P = 6 0^{\circ}$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ M N P$ .
Lời giải: $C = 18 0^{\circ} - (7 0^{\circ} + 5 0^{\circ}) = 6 0^{\circ}$ .
Xét $Δ A B C$ và $Δ M N P$ có $A = M = 7 0^{\circ}$ và $C = P = 6 0^{\circ} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ M N P$ (g.g).

Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ có đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$ . Chứng minh $Δ A B D \sim Δ A C E$ .
Lời giải: Xét $Δ A B D$ và $Δ A C E$ có: $A D B = A E C = 9 0^{\circ}$ , góc $A$ chung $\Rightarrow Δ A B D \sim Δ A C E$ (g.g).

Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ nội tiếp hình tròn, đường thẳng $t$ tiếp tuyến tại $A$ . Chứng minh góc giữa tiếp tuyến và dây cung làm xuất hiện tam giác đồng dạng.
Lời giải: Sử dụng các góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau $\Rightarrow$ Đồng dạng theo (g.g).

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Các trường hợp đồng dạng

🎯 Luyện tập Các trường hợp đồng dạng tam giác (c.c.c, c.g.c, g.g)

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường là:

\text{Trường hợp đồng dạng}

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết hai tam giác đồng dạng và chọn đúng trường hợp (c.c.c, c.g.c, g.g) Phương pháp: Kiểm tra 3 tỉ số cạnh (c.c.c), 2 tỉ số cạnh + góc kẹp giữa (c.g.c), hoặc 2 cặp góc (g.g).

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng $M A \cdot M B = M C \cdot M D$ Phương pháp: Chuyển về tỉ lệ thức $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B} \to$ Chứng minh $Δ M A D \sim Δ M C B$ (g.g hoặc c.g.c).

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo chiều cao tòa nhà bằng gương soi): Để đo chiều cao tòa nhà $A B$ , người ta đặt một tấm gương phẳng nằm ngang trên mặt đất tại điểm $C$ . Người quan sát đứng tại $D$ sao cho nhìn thấy đỉnh $A$ của tòa nhà qua gương tại $C$ . Biết mắt người quan sát ở độ cao $C D^{'} = 1.6$ m, khoảng cách $C D = 2$ m, khoảng cách từ gương đến chân tòa nhà $B C = 25$ m.

a) Giải thích vì sao $Δ A B C \sim Δ D^{'} D C$ (g.g).
b) Tính chiều cao $A B$ của tòa nhà.

Lời giải:
a) Ta có $A B ⊥ B C, D^{'} D ⊥ C D$ (vuông góc mặt đất). Theo định luật phản xạ ánh sáng, góc tới bằng góc phản xạ $\Rightarrow A C B = D^{'} C D \Rightarrow Δ A B C \sim Δ D^{'} D C$ (g.g).
b) Tỉ số đồng dạng: $\frac{A B}{D ^{'} D} = \frac{B C}{C D} \Rightarrow \frac{A B}{1.6} = \frac{25}{2} \Rightarrow A B = \frac{1.6 \times 25}{2} = 20$ mét.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Trường hợp đồng dạng Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) của hai tam giác yêu cầu điều kiện gì?

⭐ Ghi nhớ

c.c.c: 3 cạnh tương ứng tỉ lệ.
c.g.c: 2 cạnh tương ứng tỉ lệ và góc kẹp giữa bằng nhau.
g.g: 2 cặp góc tương ứng bằng nhau (Phổ biến nhất!).

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Chứng minh đồng dạng c.c.c, c.g.c, g.g):

a) Cho $Δ A B C$ có $A B = 3, B C = 5, A C = 6$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A^{'} B^{'} = 6, B^{'} C^{'} = 10, A^{'} C^{'} = 12$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
b) Cho $Δ A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 5$ cm, $A = 6 0^{\circ}$ và $Δ M N P$ có $M N = 8$ cm, $M P = 10$ cm, $M = 6 0^{\circ}$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ M N P$ .
c) Cho $Δ A B C$ có $A = 5 0^{\circ}, B = 7 0^{\circ}$ và $Δ D E F$ có $D = 5 0^{\circ}, F = 6 0^{\circ}$ . Chứng minh $Δ A B C \sim Δ D E F$ .
d) Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Trên cạnh $A B, A C$ lấy $D, E$ sao cho $A D = A E$ . Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A B C$ .
e) Cho góc $x O y$ . Trên $O x$ lấy $A (O A = 3)$ , $B (O B = 8)$ . Trên $O y$ lấy $C (O C = 4)$ , $D (O D = 6)$ . Chứng minh $Δ O A C \sim Δ O D B$ .
f) Cho tam giác $A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 9$ cm. Trên $A B$ lấy $D (A D = 3$ cm), trên $A C$ lấy $E (A E = 2$ cm). Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A C B$ .

Bài 2 (Dễ — Chứng minh tích đoạn thẳng):

a) Cho góc $x O y$ . Hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ cắt $O x, O y$ lần lượt tại $A, B$ và $C, D$ sao cho $O A D = O C B$ . Chứng minh $Δ O A D \sim Δ O C B$ .
b) Từ kết quả câu a, chứng minh $O A \cdot O B = O C \cdot O D$ .
c) Cho tam giác $A B C$ , hai đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$ . Chứng minh $Δ A D H \sim Δ A E H$ (sửa $Δ A B D \sim Δ A C E$ ).
d) Chứng minh $A D \cdot A C = A E \cdot A B$ .
e) Cho hai đường thẳng $A B$ và $C D$ cắt nhau tại $I$ sao cho $I A C = I D B$ . Chứng minh $Δ I A C \sim Δ I D B$ .
f) Suy ra $I A \cdot I B = I C \cdot I D$ .

Bài 3 (Trung bình — Hình bình hành & Hình thang): Cho hình thang $A B C D$ ( $A B // C D$ , $A B < C D$ ). Hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ .

a) Chứng minh $Δ O A B \sim Δ O C D$ (g.g).
b) Cho $A B = 4$ cm, $C D = 8$ cm, $O A = 3$ cm. Tính $O C$ .
c) Đường thẳng qua $O$ song song với $A B$ cắt $A D$ tại $M$ và $B C$ tại $N$ . Chứng minh $O M = O N$ .
d) Chứng minh $\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{2}{M N}$ .
e) Cho diện tích $Δ O A B = 9$ cm². Tính diện tích $Δ O C D$ .
f) Tính diện tích hình thang $A B C D$ .

Bài 4 (Trung bình — Tam giác nhọn và đường cao): Cho tam giác $A B C$ nhọn có ba đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại trực tâm $H$ .

a) Chứng minh $Δ A E F \sim Δ A B C$ .
b) Chứng minh $Δ B D F \sim Δ B A C$ .
c) Chứng minh $H A \cdot H D = H B \cdot H E = H C \cdot H F$ .
d) Chứng minh $H$ là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác $D E F$ .

Bài 5 (Trung bình — Hình vuông & Hình chữ nhật): Cho hình chữ nhật $A B C D$ có $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm. Kẻ $A H ⊥ B D$ ( $H \in B D$ ).

a) Tính độ dài đường chéo $B D$ .
b) Chứng minh $Δ A H B \sim Δ B C D$ .
c) Tính độ dài đoạn thẳng $A H$ và $H B$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh hai góc bằng nhau qua đồng dạng): Cho tam giác $A B C$ . Trên cạnh $A B, A C$ lấy hai điểm $D, E$ sao cho $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ .

a) Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A C B$ .
b) Chứng minh $A D E = A C B$ và $A E D = A B C$ .
c) Chứng minh tứ giác $B D E C$ là tứ giác có tổng hai góc đối bằng $18 0^{\circ}$ (nội tiếp).

Bài 7 (Khá — Đường phân giác và tam giác đồng dạng): Cho tam giác $A B C$ , đường phân giác $A D$ . Đường trung trực của $A D$ cắt $B C$ kéo dài tại $K$ .

a) Chứng minh $Δ K A D \sim Δ K D A$ (cân tại K $\Rightarrow K A = K D$ ).
b) Chứng minh $Δ K A B \sim Δ K C A$ .
c) Suy ra $K A^{2} = K B \cdot K C = K D^{2}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Định lí Ceva / Menelaus ứng dụng đồng dạng): Cho tam giác $A B C$ . Đường thẳng $d$ cắt các cạnh $A B, A C$ và đường kéo dài của $B C$ lần lượt tại $D, E, F$ . Chứng minh $\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C E}{E A} = 1$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Đo chiều rộng ao nước): Để đo khoảng cách giữa hai mốc A và B ở hai bên bờ ao, người ta chọn điểm C và cắm các cọc D, E trên CA, CB sao cho $C D = 8$ m, $D A = 16$ m, $C E = 10$ m, $E B = 20$ m. Đo được $D E = 6$ m.

a) Chứng minh $Δ C D E \sim Δ C A B$ (c.g.c).
b) Tính chiều rộng $A B$ của ao nước.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo chiều cao tháp bằng bóng cọc): Muốn đo chiều cao của một tháp cao $A B$ , người ta cắm một cọc $C D = 2$ m thẳng đứng trên mặt đất. Đo thấy bóng của cọc $D E = 1.5$ m và bóng của tháp $B E = 30$ m (E, D, B thẳng hàng).

a) Chứng minh $Δ C D E \sim Δ A B E$ (g.g).
b) Tính chiều cao $A B$ của tháp.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ (c.c.c). b) $\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P} = \frac{1}{2}, A = M = 6 0^{\circ} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ M N P$ (c.g.c). c) $C = 6 0^{\circ} \Rightarrow A = D = 5 0^{\circ}, C = F = 6 0^{\circ} \Rightarrow Δ A B C \sim Δ D E F$ (g.g). d) $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ và $A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C$ (c.g.c). e) $\frac{O A}{O D} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \frac{O C}{O B} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, O$ chung $\Rightarrow Δ O A C \sim Δ O D B$ (c.g.c). f) $\frac{A D}{A C} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, \frac{A E}{A B} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A C B$ (c.g.c).

Bài 2: a) $O A D = O C B, O$ chung $\Rightarrow Δ O A D \sim Δ O C B$ (g.g). b) $\frac{O A}{O C} = \frac{O D}{O B} \Rightarrow O A \cdot O B = O C \cdot O D$ . c) $A D B = A E C = 9 0^{\circ}, A$ chung $\Rightarrow Δ A B D \sim Δ A C E$ (g.g). d) Từ c $\Rightarrow \frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A D \cdot A C = A E \cdot A B$ . e) $I A C = I D B, A I C = D I B$ (đối đỉnh) $\Rightarrow Δ I A C \sim Δ I D B$ (g.g). f) $\frac{I A}{I D} = \frac{I C}{I B} \Rightarrow I A \cdot I B = I C \cdot I D$ .

Bài 3: a) $O A B = O C D, O B A = O D C$ (so le trong) $\Rightarrow Δ O A B \sim Δ O C D$ (g.g). b) $\frac{O A}{O C} = \frac{A B}{C D} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow O C = 2 \cdot O A = 6$ cm. c) $Δ A O M \sim Δ A C D \Rightarrow \frac{O M}{C D} = \frac{A O}{A C}$ . $Δ B O N \sim Δ B D C \Rightarrow \frac{O N}{C D} = \frac{B O}{B D}$ . Vì $\frac{A O}{A C} = \frac{B O}{B D} \Rightarrow O M = O N$ . d) $\frac{O M}{A B} + \frac{O M}{C D} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{O M} = \frac{2}{M N}$ . e) $k = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{S _{O A B}}{S _{O C D}} = \frac{1}{4} \Rightarrow S_{O C D} = 4 \times 9 = 36$ cm². f) $S_{O A D} = S_{O B C} = 9 \times 36 = 18$ cm² $\Rightarrow S_{A B C D} = 9 + 36 + 18 + 18 = 81$ cm².

Bài 4: a) $Δ A B E \sim Δ A C F$ (g.g) $\Rightarrow \frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B} \Rightarrow Δ A E F \sim Δ A B C$ (c.g.c). b) Chứng minh tương tự câu a. c) $Δ H A E \sim Δ H B D \Rightarrow \frac{H A}{H B} = \frac{H E}{H D} \Rightarrow H A \cdot H D = H B \cdot H E$ . Tương tự $= H C \cdot H F$ . d) Sử dụng góc đối đỉnh và các tam giác đồng dạng suy ra $D A, E B, F C$ là phân giác của $Δ D E F$ .

Bài 5: a) $B D = 8^{2} + 6^{2} = 10$ cm. b) $A H B = B C D = 9 0^{\circ}, A B H = B D C$ (so le trong) $\Rightarrow Δ A H B \sim Δ B C D$ (g.g). c) $\frac{A H}{B C} = \frac{A B}{B D} \Rightarrow \frac{A H}{6} = \frac{8}{10} \Rightarrow A H = 4.8$ cm.
$\frac{H B}{C D} = \frac{A B}{B D} \Rightarrow \frac{H B}{8} = \frac{8}{10} \Rightarrow H B = 6.4$ cm.

Bài 6: a) $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}, A$ chung $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A C B$ (c.g.c). b) Từ câu a suy ra các góc tương ứng bằng nhau. c) $A D E + B D E = 18 0^{\circ} \Rightarrow A C B + B D E = 18 0^{\circ}$ .

Bài 7: a) $K$ thuộc đường trung trực $A D \Rightarrow K A = K D \Rightarrow Δ K A D$ cân tại K. b) $K A B = K A D - B A D = K D A - C A D = C \Rightarrow Δ K A B \sim Δ K C A$ (g.g). c) $\frac{K A}{K C} = \frac{K B}{K A} \Rightarrow K A^{2} = K B \cdot K C$ . Mà $K A = K D \Rightarrow K A^{2} = K D^{2} = K B \cdot K C$ .

Bài 8: Kẻ đường thẳng qua $A$ song song với $B C$ cắt $d$ tại $K$ . Sử dụng các cặp tam giác đồng dạng $Δ A D K \sim Δ B D F$ và $Δ A E K \sim Δ C E F$ để chứng minh tích bằng 1.

Bài 9: a) $C A = 8 + 16 = 24$ m, $C B = 10 + 20 = 30$ m.
$\frac{C D}{C B} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ ; $\frac{C E}{C A} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ (sửa $C D = 8, D A = 16 \Rightarrow C A = 24 \Rightarrow C D / C A = 8/24 = 1/3, C E / C B = 10/30 = 1/3 \Rightarrow Δ C D E \sim Δ C A B$ (c.g.c)). b) $A B = 3 \cdot D E = 3 \times 6 = 18$ mét.

Bài 10: a) $C D // A B$ (cùng $⊥ B E$ ) $\Rightarrow Δ C D E \sim Δ A B E$ (g.g). b) $\frac{C D}{A B} = \frac{D E}{B E} \Rightarrow \frac{2}{A B} = \frac{1.5}{30} \Rightarrow \frac{2}{A B} = \frac{1}{20} \Rightarrow A B = 40$ mét.