Lớp 8 · Chương 9: Tam giác đồng dạng

Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Hai tam giác đồng dạng là hình ảnh thu nhỏ hoặc phóng to của nhau nhưng vẫn giữ nguyên hình dạng chuẩn (các góc bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ). Đây là nền tảng cho kĩ thuật bản đồ, thiết kế kiến trúc và đo đạc thực địa!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm Hai tam giác đồng dạng

Định nghĩa: Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ được gọi là đồng dạng với tam giác $A B C$ nếu:
- $A^{'} = A, B^{'} = B, C^{'} = C$ .
- $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k$ ( $k$ gọi là tỉ số đồng dạng).
Ký hiệu: $Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ .

Hai tam giác đồng dạng: Các góc bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ

Tính chất:
1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó theo tỉ số $k = 1$ .
2. Nếu $Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ theo tỉ số $k$ thì $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ theo tỉ số $\frac{1}{k}$ .
3. Tính chất bắc cầu: Nếu $Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A^{''} B^{''} C^{''}$ và $Δ A^{''} B^{''} C^{''} \sim Δ A B C$ thì $Δ A^{'} B^{'} C^{'} \sim Δ A B C$ .

Ví dụ 1: Cho $Δ A B C \sim Δ D E F$ theo tỉ số $k = 2$ . Biết $A B = 4$ cm, $B C = 5$ cm, $A C = 6$ cm. Tính độ dài các cạnh của $Δ D E F$ .
Lời giải: Vì $Δ A B C \sim Δ D E F$ theo tỉ số $k = 2 \Rightarrow \frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F} = 2$ .
$\Rightarrow D E = \frac{4}{2} = 2$ cm; $E F = \frac{5}{2} = 2.5$ cm; $D F = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Ví dụ 2: Cho $Δ A B C \sim Δ M N P$ có $A = 5 5^{\circ}, N = 6 5^{\circ}$ . Tính số đo các góc còn lại của hai tam giác.
Lời giải: Vì hai tam giác đồng dạng nên:
$M = A = 5 5^{\circ}$ ; $B = N = 6 5^{\circ}$ .
$C = P = 18 0^{\circ} - (5 5^{\circ} + 6 5^{\circ}) = 6 0^{\circ}$ .

Ví dụ 3: Cho $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ theo tỉ số $k = 3$ . Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của hai tam giác.
Lời giải: Tỉ số chu vi $= k = 3$ . Tỉ số diện tích $= k^{2} = 3^{2} = 9$ .

2. Định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác

Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Mở rộng: Định lí vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

Ví dụ 1: Cho tam giác $A B C$ có $M N // B C$ ( $M \in A B, N \in A C$ ). Biết $A M = 3$ cm, $M B = 6$ cm, $M N = 4$ cm. Tính độ dài cạnh $B C$ .
Lời giải: Ta có $A B = A M + M B = 3 + 6 = 9$ cm.
Vì $M N // B C \Rightarrow Δ A M N \sim Δ A B C \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{4}{B C} \Rightarrow B C = \frac{9 \cdot 4}{3} = 12$ cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác $A B C$ có $A B = 10$ cm, $A C = 15$ cm. Một đường thẳng song song với $B C$ cắt $A B$ tại $D$ và $A C$ tại $E$ sao cho $A D = 4$ cm. Tính $A E$ .
Lời giải: $D E // B C \Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \Rightarrow \frac{4}{10} = \frac{A E}{15} \Rightarrow A E = \frac{4 \cdot 15}{10} = 6$ cm.

Ví dụ 3: Cho tam giác $A B C$ có chu vi $24$ cm. Trung điểm các cạnh $A B, A C, B C$ lần lượt là $D, E, F$ . Tính chu vi tam giác $D E F$ .
Lời giải: Vì $D E, E F, F D$ là các đường trung bình nên $D E // B C, E F // A B, F D // A C \Rightarrow Δ D E F \sim Δ A B C$ theo tỉ số $k = \frac{1}{2}$ .
Vậy chu vi $Δ D E F = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ cm.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hai tam giác đồng dạng

🎯 Luyện tập Khái niệm Hai tam giác đồng dạng

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Cho $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng $k = 2$. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?

\dfrac{A'B'}{AB} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số cạnh tương ứng từ hai tam giác đồng dạng Phương pháp: Chú ý đỉnh tương ứng: $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'} \Rightarrow A \leftrightarrow A^{'}, B \leftrightarrow B^{'}, C \leftrightarrow C^{'}$ .

Dạng 2: Tính độ dài cạnh, góc, chu vi, diện tích nhờ tỉ số đồng dạng Phương pháp: Sử dụng $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = k \Rightarrow$ Tỉ số chu vi $= k$ , Tỉ số diện tích $= k^{2}$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo khoảng cách hai vị trí qua mô hình đồng dạng): Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B trên bản đồ tỉ lệ $1 : 5.000$ , người ta đo độ dài trên bản đồ là $A^{'} B^{'} = 4$ cm.

a) Tính khoảng cách thực tế giữa hai điểm A và B ngoài thực địa (mét).
b) Giải thích vì sao bản đồ địa lý ứng dụng nguyên lý hai tam giác (hình) đồng dạng.

Lời giải:
a) Khoảng cách thực tế $= 4 cm \times 5.000 = 20.000 cm = 200$ mét.
b) Bản đồ thu nhỏ mọi kích thước thực địa theo cùng một tỉ số đồng dạng $k$ , giữ nguyên mọi góc nghiêng và hình dạng nên hình trên bản đồ đồng dạng với hình ngoài thực địa.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cho $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng $k$ . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

⭐ Ghi nhớ

Tam giác đồng dạng: Các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Tỉ số: Chu vi $= k$ , Diện tích $= k^{2}$ .
Song song: Đường thẳng song song với 1 cạnh cắt 2 cạnh còn lại tạo thành tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tìm cạnh và góc tương ứng):

a) Cho $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Kể tên các cặp góc bằng nhau và các tỉ số cạnh bằng nhau.
b) Cho $Δ A B C \sim Δ M N P$ với $A B = 4$ cm, $B C = 6$ cm, $A C = 8$ cm và $M N = 2$ cm. Tính $N P$ và $M P$ .
c) Cho $Δ A B C \sim Δ H I K$ . Biết $A = 4 0^{\circ}, B = 8 0^{\circ}$ . Tính số đo các góc của $Δ H I K$ .
d) Cho $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ theo tỉ số $k = \frac{3}{4}$ . Biết chu vi $Δ A B C = 24$ cm. Tính chu vi $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
e) Cho $Δ A B C \sim Δ D E F$ theo tỉ số $k = 2$ . Biết diện tích $Δ D E F = 12$ cm². Tính diện tích $Δ A B C$ .
f) Cho tam giác $A B C$ có $M N // B C$ ( $M \in A B, N \in A C$ ). Biết $A M = 2$ cm, $A B = 6$ cm, $A N = 3$ cm. Tính $A C$ .

Bài 2 (Dễ — Chứng minh tam giác đồng dạng qua đường song song):

a) Cho tam giác $A B C$ , điểm $M$ trên cạnh $A B$ sao cho $A M = \frac{1}{3} A B$ . Qua $M$ kẻ $M N // B C$ ( $N \in A C$ ). Chứng minh $Δ A M N \sim Δ A B C$ và tìm tỉ số đồng dạng.
b) Cho tam giác $A B C$ . Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A C$ . Chứng minh $Δ A D E \sim Δ A B C$ .
c) Trong câu b, tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của $Δ A D E$ và $Δ A B C$ .
d) Cho hình thang $A B C D$ ( $A B // C D$ ). Hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ . Chứng minh $Δ O A B \sim Δ O C D$ .
e) Cho tam giác $A B C$ . Một đường thẳng song song với $B C$ cắt $A B$ tại $P$ và $A C$ tại $Q$ . Biết $A P = 4$ cm, $P B = 2$ cm. Tính tỉ số đồng dạng của $Δ A P Q$ và $Δ A B C$ .
f) Cho tam giác $A B C$ có $A B = 8$ cm, $A C = 12$ cm, $B C = 10$ cm. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, A C$ . Tính các cạnh của $Δ A M N$ .

Bài 3 (Trung bình — Các đường đặc biệt trong tam giác đồng dạng): Cho $Δ A B C \sim Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ theo tỉ số đồng dạng $k$ .

a) Gọi $A H, A^{'} H^{'}$ lần lượt là đường cao hạ từ $A$ và $A^{'}$ . Chứng minh $Δ A B H \sim Δ A^{'} B^{'} H^{'}$ và suy ra $\frac{A H}{A ^{'} H ^{'}} = k$ .
b) Gọi $A M, A^{'} M^{'}$ lần lượt là đường trung tuyến của $Δ A B C$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Chứng minh $\frac{A M}{A ^{'} M ^{'}} = k$ .
c) Gọi $A D, A^{'} D^{'}$ lần lượt là đường phân giác của $Δ A B C$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ . Chứng minh $\frac{A D}{A ^{'} D ^{'}} = k$ .
d) Biết $A H = 6$ cm và $A^{'} H^{'} = 4$ cm. Tính tỉ số diện tích của $Δ A B C$ và $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
e) Cho $S_{A B C} = 36$ cm², $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = 16$ cm². Tính tỉ số chu vi của hai tam giác.
f) Cho $Δ A B C$ có đường cao $A H = 8$ cm, $B C = 12$ cm. Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ đồng dạng với $Δ A B C$ có $A^{'} H^{'} = 6$ cm. Tính $B^{'} C^{'}$ và $S_{A^{'} B^{'} C^{'}}$ .

Bài 4 (Trung bình — Hình bình hành & Hình thang đồng dạng): Cho hình bình hành $A B C D$ . Trên cạnh $A B$ lấy điểm $E$ . Đường thẳng $D E$ cắt cơi kéo dài của $C B$ tại $F$ và cắt $A C$ tại $K$ .

a) Chứng minh $Δ K A E \sim Δ K C B$ .
b) Chứng minh $Δ K A D \sim Δ K C E$ .
c) Chứng minh $K D^{2} = K E \cdot K F$ .

Bài 5 (Trung bình — Tam giác đồng dạng và hệ thức cạnh): Cho tam giác $A B C$ nhọn có các đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh $Δ A B D \sim Δ A C E$ .
b) Chứng minh $Δ H B E \sim Δ H C D$ .
c) Chứng minh $H B \cdot H D = H C \cdot H E$ .

Bài 6 (Khá — Đường trung bình và tam giác đồng dạng đồng quy): Cho tam giác $A B C$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$ .

a) Chứng minh $Δ M N P \sim Δ A B C$ .
b) Tìm tỉ số đồng dạng và tỉ số diện tích của $Δ M N P$ và $Δ A B C$ .

Bài 7 (Khá — Chứng minh tích các đoạn thẳng bằng nhau): Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ .

a) Chứng minh $Δ H B A \sim Δ A B C$ .
b) Chứng minh $Δ H A C \sim Δ A B C$ .
c) Suy ra $A B^{2} = B H \cdot B C$ và $A C^{2} = C H \cdot B C$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Bài toán hình học phẳng tỉ số diện tích): Cho tam giác $A B C$ có diện tích $S$ . Trên cạnh $A B$ lấy điểm $D$ sao cho $A D = 2 D B$ . Trên cạnh $A C$ lấy điểm $E$ sao cho $A E = 2 E C$ .

a) Chứng minh $D E // B C$ và $Δ A D E \sim Δ A B C$ .
b) Tính diện tích tam giác $A D E$ và diện tích tứ giác $B D E C$ theo $S$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Đo chiều cao cây qua bóng nắng): Một học sinh muốn đo chiều cao của một cây xanh trong sân trường. Học sinh đặt một cọc cao $1.5$ m thẳng đứng trên mặt đất. Tại cùng một thời điểm, bóng của cọc trên mặt đất dài $0.9$ m và bóng của cây trên mặt đất dài $5.4$ m.

a) Vẽ hình minh họa hai tam giác vuông đồng dạng được tạo thành.
b) Tính chiều cao của cây xanh.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo chiều rộng khúc sông): Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B ở hai bên bờ sông mà không cần qua sông, người ta chọn điểm C sao cho $A C ⊥ A B$ . Sau đó cắm các cọc tạo thành tam giác $C D E$ với $D E // A B$ ( $D \in A C, E \in B C$ ). Đo được $C D = 15$ m, $D A = 45$ m, $D E = 20$ m.

a) Chứng minh $Δ C D E \sim Δ C A B$ .
b) Tính khoảng cách $A B$ giữa hai bờ sông.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Góc: $A = A^{'}, B = B^{'}, C = C^{'}$ . Tỉ số: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}}$ . b) $k = \frac{A B}{M N} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow N P = \frac{B C}{2} = 3$ cm, $M P = \frac{A C}{2} = 4$ cm. c) $C = 18 0^{\circ} - (4 0^{\circ} + 8 0^{\circ}) = 6 0^{\circ} \Rightarrow H = 4 0^{\circ}, I = 8 0^{\circ}, K = 6 0^{\circ}$ . d) Chu vi $Δ A^{'} B^{'} C^{'} = 24 \div \frac{3}{4} = 32$ cm. e) $S_{A B C} = k^{2} \cdot S_{D E F} = 4 \times 12 = 48$ cm². f) $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} \Rightarrow \frac{2}{6} = \frac{3}{A C} \Rightarrow A C = 9$ cm.

Bài 2: a) $M N // B C \Rightarrow Δ A M N \sim Δ A B C$ theo $k = \frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ . b) $D E$ là đường trung bình $\Rightarrow D E // B C \Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C$ . c) Tỉ số chu vi $= \frac{1}{2}$ , tỉ số diện tích $= (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . d) $A B // C D \Rightarrow O A B = O C D$ (so le trong), $O B A = O D C \Rightarrow Δ O A B \sim Δ O C D$ (g.g). e) $A P = 4, A B = 6 \Rightarrow k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . f) Các cạnh bằng một nửa cạnh tương ứng: $A M = 4$ cm, $A N = 6$ cm, $M N = 5$ cm.

Bài 3: a) $Δ A B H \sim Δ A^{'} B^{'} H^{'}$ (g.g) do $B = B^{'}$ và $A H B = A^{'} H^{'} B^{'} = 9 0^{\circ} \Rightarrow \frac{A H}{A ^{'} H ^{'}} = \frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = k$ . b) Chứng minh bằng tỉ số cạnh và góc kẹp giữa $B = B^{'}$ . c) Chứng minh tương tự qua góc $B A D = B^{'} A^{'} D^{'}$ . d) $k = \frac{6}{4} = 1.5 \Rightarrow \frac{S _{A B C}}{S _{A^{'} B^{'} C^{'}}} = 1. 5^{2} = 2.25$ . e) $k^{2} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4} \Rightarrow k = \frac{3}{2}$ . Tỉ số chu vi $= \frac{3}{2}$ . f) $k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow B^{'} C^{'} = 12 \div \frac{4}{3} = 9$ cm. $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$ cm².

Bài 4: a) $A E // B C \Rightarrow Δ K A E \sim Δ K C B$ (g.g). b) $A D // B F \Rightarrow Δ K A D \sim Δ K C E$ (g.g) (sửa $E \in A B \Rightarrow A D // C F$ ). c) Từ các tam giác đồng dạng $\Rightarrow \frac{K D}{K E} = \frac{K C}{K A} = \frac{K F}{K D} \Rightarrow K D^{2} = K E \cdot K F$ .

Bài 5: a) $A D B = A E C = 9 0^{\circ}, A$ chung $\Rightarrow Δ A B D \sim Δ A C E$ (g.g). b) $H E B = H D C = 9 0^{\circ}, E H B = D H C$ (đối đỉnh) $\Rightarrow Δ H B E \sim Δ H C D$ (g.g). c) Từ câu b $\Rightarrow \frac{H B}{H C} = \frac{H E}{H D} \Rightarrow H B \cdot H D = H C \cdot H E$ .

Bài 6: a) $M N, N P, P M$ là các đường trung bình $\Rightarrow M N = \frac{1}{2} A B, N P = \frac{1}{2} B C, P M = \frac{1}{2} A C \Rightarrow Δ M N P \sim Δ A B C$ (c.c.c). b) Tỉ số đồng dạng $k = \frac{1}{2}$ , tỉ số diện tích $= \frac{1}{4}$ .

Bài 7: a) $A H B = B A C = 9 0^{\circ}, B$ chung $\Rightarrow Δ H B A \sim Δ A B C$ (g.g). b) $A H C = B A C = 9 0^{\circ}, C$ chung $\Rightarrow Δ H A C \sim Δ A B C$ (g.g). c) Từ a $\Rightarrow \frac{H B}{A B} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow A B^{2} = B H \cdot B C$ . Từ b $\Rightarrow \frac{H C}{A C} = \frac{A C}{B C} \Rightarrow A C^{2} = C H \cdot B C$ .

Bài 8: a) $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{2}{3} \Rightarrow D E // B C$ (Talet đảo) $\Rightarrow Δ A D E \sim Δ A B C$ . b) $S_{A D E} = (\frac{2}{3})^{2} S = \frac{4}{9} S \Rightarrow S_{B D E C} = S - \frac{4}{9} S = \frac{5}{9} S$ .

Bài 9: a) Hai tam giác vuông đồng dạng do cùng góc nâng mặt trời. b) Chiều cao cây $h = 1.5 \cdot \frac{5.4}{0.9} = 1.5 \times 6 = 9$ mét.

Bài 10: a) $D E // A B \Rightarrow Δ C D E \sim Δ C A B$ (g.g). b) $C A = C D + D A = 15 + 45 = 60$ m.
$\frac{C D}{C A} = \frac{D E}{A B} \Rightarrow \frac{15}{60} = \frac{20}{A B} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{20}{A B} \Rightarrow A B = 80$ mét.