🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Giữa lý thuyết tính toán lý tưởng và thực tế thực nghiệm có một nhịp cầu nối tuyệt đẹp gọi là Luật số lớn. Khi số lần thực nghiệm ngày càng lớn, xác suất thực nghiệm sẽ tiến dần và xấp xỉ sát với xác suất lý thuyết!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm Xác suất Thực nghiệm

• Nếu thực hiện một phép thử $n$ lần độc lập và có $k$ lần sự kiện $A$ xuất hiện, thì tỉ số $P_{tn}(A)=\frac{k}{n}=\frac{\text{Soˆˊ laˆˋn xuaˆˊt hiện sự kiện A}}{\text{Tổng soˆˊ laˆˋn thực hiện pheˊp thử}}$ được gọi là xác suất thực nghiệm của sự kiện $A$ sau $n$ lần thử.

Mối liên hệ giữa Xác suất Thực nghiệm và Xác suất Lý thuyết

Ví dụ 1: Thực hiện gieo 1 con xúc xắc 50 lần thấy mặt 6 chấm xuất hiện 9 lần. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố xuất hiện mặt 6 chấm.
Lời giải: Xác suất thực nghiệm $P_{tn}=\frac{9}{50}=0.18$ ($18\%$).

Ví dụ 2: Thống kê 200 lượt xe qua trạm thu phí thấy có 140 xe ô tô con. Tính xác suất thực nghiệm xe đi qua là ô tô con.
Lời giải: $P_{tn}=\frac{140}{200}=0.7$ ($70\%$).

Ví dụ 3: Kiểm tra 500 sản phẩm may mặc xuất xưởng thấy có 8 sản phẩm bị lỗi chỉ. Tính xác suất thực nghiệm sản phẩm bị lỗi.
Lời giải: $P_{tn}=\frac{8}{500}=0.016$ ($1.6\%$).

---

2. Mối liên hệ giữa Xác suất Thực nghiệm & Lý thuyết (Luật số lớn)

• Định lý (Luật số lớn): Khi số lần lặp lại phép thử $n$ càng lớn thì xác suất thực nghiệm $\frac{k}{n}$ của biến cố càng xấp xỉ sát với xác suất lý thuyết của biến cố đó.
• Ứng dụng: Trong nhiều bài toán thực tế (y học, khảo sát thị trường, bảo hiểm), khi không thể tính toán lý thuyết được, ta dùng xác suất thực nghiệm của mẫu thử đủ lớn làm giá trị ước lượng cho xác suất lý thuyết.

Ví dụ 1: Thống kê y tế 1.000 ca phẫu thuật mắt thấy có 985 ca thành công. Ước lượng xác suất phẫu thuật mắt thành công.
Lời giải: Xác suất thực nghiệm $=\frac{985}{1.000}=0.985=98.5\%\Rightarrow$ Ước lượng xác suất phẫu thuật thành công là $98.5\%$.

Ví dụ 2: Khảo sát 2.000 khách hàng mua hàng siêu thị thấy 1.200 người thanh toán bằng mã QR. Ước lượng xác suất một khách hàng thanh toán bằng QR.
Lời giải: $P\approx \frac{1.200}{2.000}=0.6$ ($60\%$).

Ví dụ 3: Nhà toán học Pearson gieo 24.000 lần đồng xu thu được 12.012 lần mặt Sấp. Xác suất thực nghiệm bằng bao nhiêu?
Lời giải: $P_{tn}=\frac{12.012}{24.000}=0.5005\approx 0.5$ (rất sát với xác suất lý thuyết $0.5$).

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Mối liên hệ Xác suất

🎯 Luyện tập Mối liên hệ giữa Xác suất Thực nghiệm & Lý thuyết

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Xác suất thực nghiệm của một biến cố là gì?

$$P_{tn}(A) = \dfrac{k}{n}$$

Xác nhận đáp án

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính xác suất thực nghiệm qua kết quả thực nghiệm dữ liệu Phương pháp: Lấy số lần xuất hiện sự kiện $k$ chia cho tổng số lần thử $n$.

Dạng 2: Ước lượng số lượng sự kiện thực tế nhờ xác suất thực nghiệm Phương pháp: Tính xác suất thực nghiệm $\to$ Nhân với tổng quy mô quần thể để ước lượng số lượng.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Ước lượng số hạt giống nảy mầm nông nghiệp): Người ta gieo thử nghiệm 500 hạt giống lúa mới thấy có 460 hạt nảy mầm thành cây con.

a) Tính xác suất thực nghiệm hạt giống nảy mầm.
b) Nếu nông dân gieo $10.000$ hạt giống lúa này thì dự đoán có khoảng bao nhiêu hạt sẽ nảy mầm?

Lời giải:
a) Xác suất thực nghiệm $P_{tn}=\frac{460}{500}=0.92$ ($92\%$).
b) Dự đoán số hạt nảy mầm $=10.000\cdot 0.92=9.200$ hạt.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Xác suất thực nghiệm của biến cố A qua $n$ phép thử trong đó có $k$ lần xuất hiện A được tính bằng:

A$P_{tn}(A) = \dfrac{k}{n}$B$P_{tn}(A) = \dfrac{n}{k}$C$P_{tn}(A) = k \cdot n$D$P_{tn}(A) = n - k$

⭐ Ghi nhớ

• Xác suất thực nghiệm: $P_{tn}=\frac{k}{n}$.
• Luật số lớn: $n$ càng lớn thì $P_{tn}\approx P_{\text{lyˊ thuyeˆˊt}}$.
• Ước lượng thực tế: Dự đoán số lượng $=\text{Tổng quaˆˋn thể}\times P_{tn}$.

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính xác suất thực nghiệm cơ bản):

a) Tung một đồng xu 80 lần thấy xuất hiện mặt Sấp 42 lần. Tính xác suất thực nghiệm mặt Sấp.
b) Gieo 1 con xúc xắc 100 lần thấy mặt 6 chấm xuất hiện 18 lần. Tính xác suất thực nghiệm mặt 6 chấm.
c) Khảo sát 200 học sinh thấy có 120 bạn đi học bằng xe đạp. Tính xác suất thực nghiệm học sinh đi xe đạp.
d) Kiểm tra 400 bóng đèn thấy 6 bóng bị hỏng. Tính xác suất thực nghiệm bóng đèn hỏng.
e) Bắn 40 viên đạn vào mục tiêu thấy 34 viên trúng. Tính xác suất thực nghiệm bắn trúng.
f) Khảo sát 150 người mua hàng thấy 90 người trả bằng tiền mặt. Tính xác suất thực nghiệm trả tiền mặt.

Bài 2 (Dễ — Ước lượng số lượng thực tế từ xác suất thực nghiệm):

a) Tỉ lệ nảy mầm thực nghiệm của hạt giống ngô là $88\%$. Dự đoán số hạt nảy mầm khi gieo $2.500$ hạt.
b) Tỉ lệ phế phẩm thực nghiệm của nhà máy là $1.2\%$. Dự đoán số phế phẩm trong lô $5.000$ sản phẩm.
c) Khảo sát 500 người thấy $65\%$ thích xem phim chiếu rạp. Dự đoán số người thích xem phim trong nhóm $3.000$ người.
d) Tỉ lệ khỏi bệnh thực nghiệm của thuốc mới là $94\%$. Dự đoán số người khỏi bệnh trong $800$ bệnh nhân dùng thuốc.
e) Khảo sát 1.000 hộ gia đình thấy 750 hộ có máy giặt. Dự đoán tỉ lệ hộ có máy giặt trong toàn thành phố.
f) Bắn thử 100 phát thấy trúng 85 phát. Dự đoán số phát trúng khi bắn 200 phát.

Bài 3 (Trung bình — Bảng thống kê kết quả thực nghiệm): Gieo 1 con xúc xắc 120 lần thu được bảng kết quả:

Số chấm	1	2	3	4	5	6
Số lần	18	22	19	21	18	22

a) Tính xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 1 chấm.
b) Tính xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt chẵn chấm.
c) So sánh các xác suất thực nghiệm với xác suất lý thuyết $\frac{1}{6}\approx 0.167$.

Bài 4 (Trung bình — Thống kê chất lượng hàng hóa y tế): Kiểm tra ngẫu nhiên 800 khẩu trang y tế sản xuất tại xưởng thu được kết quả:

Loại	Đạt chuẩn lớp lọc	Lỗi quai đeo	Lỗi đóng gói
Số lượng	768	20	12

a) Tính xác suất thực nghiệm khẩu trang đạt chuẩn lớp lọc.
b) Tính xác suất thực nghiệm khẩu trang bị lỗi (bất kỳ lỗi nào).
c) Nếu lô hàng có $50.000$ khẩu trang thì ước lượng có khoảng bao nhiêu khẩu trang đạt chuẩn?

Bài 5 (Trung bình — Thử nghiệm gieo quẻ / bốc thăm): Thực hiện bốc 100 lần từ hộp chứa các viên bi màu (mỗi lần bốc xong trả lại vào hộp) thu được kết quả: 45 lần bi Đỏ, 35 lần bi Xanh, 20 lần bi Vàng.

a) Tính xác suất thực nghiệm bốc được bi Đỏ.
b) Ước lượng tỉ lệ phần trăm các màu bi trong hộp.
c) Nếu trong hộp tổng cộng có 20 viên bi, hãy dự đoán số lượng viên bi mỗi màu.

Bài 6 (Khá — So sánh kết quả thực nghiệm của hai người): Bạn An gieo đồng xu 50 lần thấy Sấp 28 lần. Bạn Bình gieo đồng xu 200 lần thấy Sấp 104 lần.

a) Tính xác suất thực nghiệm của An và Bình.
b) Giải thích vì sao kết quả của Bình gần với xác suất lý thuyết $0.5$ hơn kết quả của An.

Bài 7 (Khá — Ước lượng quy mô quần thể sinh vật trong tự nhiên): Để ước lượng số cá trong một hồ nước, người ta đánh bắt 200 con cá, đeo thẻ đánh dấu rồi thả lại hồ. Sau vài ngày, người ta đánh bắt ngẫu nhiên 150 con cá thì thấy có 10 con cá có đeo thẻ.

a) Tính xác suất thực nghiệm bắt được cá có đeo thẻ trong lần bắt thứ hai.
b) Hãy ước lượng tổng số cá có trong hồ nước đó.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Đánh giá tính cân đối của xúc xắc từ số liệu): Người ta gieo 1 con xúc xắc 600 lần thấy mặt 6 chấm xuất hiện 160 lần.

a) Tính xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 6 chấm.
b) So sánh xác suất thực nghiệm này với xác suất lý thuyết $\frac{1}{6}\approx 16.7\%$ và đưa ra nhận xét xem con xúc xắc có cân đối hay không.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Nghiên cứu thị trường hãng điện thoại): Phỏng vấn ngẫu nhiên 1.500 người dùng điện thoại thấy có 600 người dùng hãng A, 450 người dùng hãng B, 300 người dùng hãng C, còn lại dùng hãng khác.

a) Tính xác suất thực nghiệm người dùng chọn hãng A và hãng B.
b) Thị phần hãng A chiếm bao nhiêu phần trăm (%) theo ước lượng từ khảo sát?

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đánh giá tỉ lệ cận thị học đường): Khám mắt cho 1.200 học sinh THCS tại một quận thu được 432 học sinh bị cận thị.

a) Tính xác suất thực nghiệm một học sinh bị cận thị.
b) Nếu quận đó có tổng cộng $25.000$ học sinh THCS thì dự đoán có khoảng bao nhiêu học sinh bị cận thị?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $P_{tn}=\frac{42}{80}=0.525$ ($52.5\%$). b) $P_{tn}=\frac{18}{100}=0.18$ ($18\%$). c) $P_{tn}=\frac{120}{200}=0.6$ ($60\%$). d) $P_{tn}=\frac{6}{400}=0.015$ ($1.5\%$). e) $P_{tn}=\frac{34}{40}=0.85$ ($85\%$). f) $P_{tn}=\frac{90}{150}=0.6$ ($60\%$).

Bài 2: a) Số hạt nảy mầm $=2.500\cdot 88\%=2.200$ hạt. b) Số phế phẩm $=5.000\cdot 1.2\%=60$ sản phẩm. c) Số người thích $=3.000\cdot 65\%=1.950$ người. d) Số người khỏi $=800\cdot 94\%=752$ người. e) Ước lượng tỉ lệ toàn thành phố $\approx \frac{750}{1.000}=75\%$. f) Số phát trúng $=200\cdot \frac{85}{100}=170$ phát.

Bài 3: a) $P_{tn}(1)=\frac{18}{120}=0.15$. b) Số lần mặt chẵn $=22+21+22=65\Rightarrow P_{tn}(\text{cha˘˜n})=\frac{65}{120}\approx 0.542$. c) Các xác suất thực nghiệm dao động quanh $0.15-0.183$, xấp xỉ xác suất lý thuyết $\frac{1}{6}\approx 0.167$.

Bài 4: a) $P_{tn}(\text{đạt})=\frac{768}{800}=0.96$ ($96\%$). b) Tổng khẩu trang lỗi $=20+12=32\Rightarrow P_{tn}(\text{loˆ˜i})=\frac{32}{800}=0.04$ ($4\%$). c) Số khẩu trang đạt chuẩn $=50.000\cdot 96\%=48.000$ chiếc.

Bài 5: a) $P_{tn}(\text{Đỏ})=\frac{45}{100}=0.45$. b) Tỉ lệ ước lượng: Bi Đỏ $45\%$, Bi Xanh $35\%$, Bi Vàng $20\%$. c) Trong 20 viên bi: Số bi Đỏ $=20\cdot 45\%=9$ viên; Bi Xanh $=20\cdot 35\%=7$ viên; Bi Vàng $=20\cdot 20\%=4$ viên.

Bài 6: a) $P_{An}=\frac{28}{50}=0.56$; $P_{B\grave{ı}nh}=\frac{104}{200}=0.52$. b) Theo luật số lớn, Bình thực hiện số lần gieo nhiều hơn (200 lần > 50 lần) nên xác suất thực nghiệm của Bình tiến sát xác suất lý thuyết $0.5$ hơn.

Bài 7: a) $P_{tn}=\frac{10}{150}=\frac{1}{15}$. b) Theo nguyên lý ước lượng: $\frac{200}{N}\approx \frac{10}{150}=\frac{1}{15}\Rightarrow N\approx 200\times 15=3.000$ con cá.

Bài 8: a) $P_{tn}(6)=\frac{160}{600}\approx 0.267$ ($26.7\%$). b) $26.7\%$ lệch nhiều so với xác suất lý thuyết $16.7\%\Rightarrow$ Xúc xắc có dấu hiệu không cân đối (bị lệch về mặt 6).

Bài 9: a) $P_{tn}(A)=\frac{600}{1.500}=0.4$ ($40\%$); $P_{tn}(B)=\frac{450}{1.500}=0.3$ ($30\%$). b) Thị phần hãng A ước lượng khoảng $40\%$.

Bài 10: a) $P_{tn}(\text{cận thị})=\frac{432}{1.200}=0.36$ ($36\%$). b) Số học sinh cận thị dự đoán $=25.000\cdot 36\%=9.000$ học sinh.