Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

🚀 Khởi động

➕➖ Cộng và trừ đa thức — Kết hợp các khối đại số

Thực hiện phép cộng và phép trừ đa thức giúp chúng ta kết hợp nhiều công thức tính toán khác nhau thành một biểu thức rút gọn duy nhất!

🛍️

Tổng chi phí mua sắm

$T = A (x) + B (y)$

📈

Lợi nhuận doanh nghiệp

$L (x) = R (x) - C (x)$

🏗️

Diện tích phần còn lại

$S_{c \overset{o}{ˋ} n} = S_{tổng} - S_{nh \overset{a}{ˋ}}$

🔍 Khám phá

📖 1. Phép cộng hai đa thức

Quy tắc cộng hai đa thức:

Viết hai đa thức trong dấu ngoặc nối với nhau bởi dấu $+$ .
Bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên dấu của các hạng tử).
Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

Ví dụ 1: Cho $A = 3 x^{2} y - 2 x y + 5$ và $B = 2 x^{2} y + 5 x y - 3$ . Tính $A + B$ .

Lời giải: $A + B = (3 x^{2} y - 2 x y + 5) + (2 x^{2} y + 5 x y - 3)$ $= 3 x^{2} y - 2 x y + 5 + 2 x^{2} y + 5 x y - 3$ $= (3 x^{2} y + 2 x^{2} y) + (- 2 x y + 5 x y) + (5 - 3) = 5 x^{2} y + 3 x y + 2$

Ví dụ 2: Tính tổng hai đa thức $P = x^{3} - 3 x^{2} + x$ và $Q = 2 x^{2} - x + 4$ .

Lời giải: $P + Q = (x^{3} - 3 x^{2} + x) + (2 x^{2} - x + 4)$ $= x^{3} + (- 3 x^{2} + 2 x^{2}) + (x - x) + 4 = x^{3} - x^{2} + 4$

Ví dụ 3: Cho $M = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ và $N = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . Tính $M + N$ .

Lời giải: $M + N = (a^{2} - 2 ab + b^{2}) + (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = 2 a^{2} + 2 b^{2}$

Hình vẽ minh họa: Sơ đồ cộng hai đa thức:

➖ 2. Phép trừ hai đa thức

Quy tắc trừ hai đa thức:

Viết hai đa thức trong dấu ngoặc nối với nhau bởi dấu $-$ .
Bỏ dấu ngoặc: đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức nằm sau dấu $-$ .
Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

Ví dụ 1: Cho $A = 5 x^{2} y - 2 x y + 3$ và $B = 2 x^{2} y + 4 x y - 1$ . Tính $A - B$ .

Lời giải: $A - B = (5 x^{2} y - 2 x y + 3) - (2 x^{2} y + 4 x y - 1)$ $= 5 x^{2} y - 2 x y + 3 - 2 x^{2} y - 4 x y + 1$ $= (5 x^{2} y - 2 x^{2} y) + (- 2 x y - 4 x y) + (3 + 1) = 3 x^{2} y - 6 x y + 4$

Ví dụ 2: Cho $P = x^{3} + 2 x^{2} - x + 5$ và $Q = x^{3} - 3 x + 2$ . Tính $P - Q$ .

Lời giải: $P - Q = (x^{3} + 2 x^{2} - x + 5) - (x^{3} - 3 x + 2)$ $= x^{3} + 2 x^{2} - x + 5 - x^{3} + 3 x - 2$ $= (x^{3} - x^{3}) + 2 x^{2} + (- x + 3 x) + (5 - 2) = 2 x^{2} + 2 x + 3$

Ví dụ 3: Tìm đa thức $C$ biết $C + (2 x^{2} - y) = 5 x^{2} + 3 y$ .

Lời giải: $C = (5 x^{2} + 3 y) - (2 x^{2} - y) = 5 x^{2} + 3 y - 2 x^{2} + y = 3 x^{2} + 4 y$

Hình vẽ minh họa: Quy tắc đổi dấu khi bỏ dấu ngoặc âm:

✏️ Thực hành tương tác

➕➖

Thực hành tương tác: Phép cộng và Phép trừ Đa thức

🧮 Thực hiện phép tính:

(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4)

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Tính tổng và hiệu của hai đa thức

Ví dụ 1: Cho $A = 2 x^{2} - 3 x y + y^{2}$ và $B = x^{2} + 2 x y - 3 y^{2}$ . Tính $A + B$ và $A - B$ .

Lời giải:

$A + B = 3 x^{2} - x y - 2 y^{2}$ .
$A - B = x^{2} - 5 x y + 4 y^{2}$ .

Ví dụ 2: Tính $(3 x^{3} - 2 x^{2} + 5) + (x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1)$ .

Lời giải: $4 x^{3} - 4 x + 6$ .

Ví dụ 3: Tính $(5 a^{2} b - 3 a b^{2}) - (2 a^{2} b - 5 a b^{2})$ .

Lời giải: $3 a^{2} b + 2 a b^{2}$ .

Dạng 2: Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm $M$ biết $M + (x^{2} - 3 y^{2}) = 4 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Lời giải: $M = (4 x^{2} + 2 y^{2}) - (x^{2} - 3 y^{2}) = 3 x^{2} + 5 y^{2}$ .

Ví dụ 2: Tìm $N$ biết $(5 x^{2} - 2 x y) - N = 2 x^{2} + 3 x y$ .

Lời giải: $N = (5 x^{2} - 2 x y) - (2 x^{2} + 3 x y) = 3 x^{2} - 5 x y$ .

Ví dụ 3: Tìm $P$ biết $P - (x^{3} - 2 x + 1) = 3 x^{2} + x - 4$ .

Lời giải: $P = (3 x^{2} + x - 4) + (x^{3} - 2 x + 1) = x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ .

Dạng 3: Rút gọn biểu thức và tính giá trị tại giá trị cho trước của biến

Ví dụ 1: Cho $A = 3 x^{2} y - 2 x y^{2}$ và $B = 2 x^{2} y + 5 x y^{2}$ . Tính $A + B$ tại $x = 1, y = 2$ .

Lời giải: $A + B = 5 x^{2} y + 3 x y^{2}$ . Tại $x = 1, y = 2 \Rightarrow 5 (1) (2) + 3 (1) (4) = 10 + 12 = 22$ .

Ví dụ 2: Rút gọn $P = (x^{2} - y^{2}) - (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 x y$ .

Lời giải: $P = - 2 y^{2}$ .

Ví dụ 3: Tính giá trị $M = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) - (x^{3} - 1)$ tại $x = 99$ .

Lời giải: $M = 3 x^{2} + 3 x + 2$ . Tại $x = 99 \Rightarrow M = 3 (99)^{2} + 3 (99) + 2 = 3 (99) (100) + 2 = 29702$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Lợi nhuận công ty): Doanh thu thu được của một cửa hàng trong một tháng biểu thị bởi đa thức $R (x) = 150 x + 2000$ (nghìn đồng). Tổng chi phí bỏ ra biểu thị bởi $C (x) = 90 x + 1200$ (nghìn đồng), với $x$ là số sản phẩm bán được.

a) Viết đa thức biểu thị lợi nhuận $L (x) = R (x) - C (x)$ . b) Tính lợi nhuận khi bán được $x = 500$ sản phẩm.

Lời giải: a) $L (x) = (150 x + 2000) - (90 x + 1200) = 60 x + 800$ (nghìn đồng). b) Thay $x = 500 \Rightarrow L (500) = 60 (500) + 800 = 30800$ (nghìn đồng) = 30,8 triệu đồng.

📝 Câu 2 (Diện tích phần còn lại): Một khu đất hình chữ nhật diện tích $S_{1} = 5 x^{2} + 3 x y$ (m²). Người ta dành một phần đất diện tích $S_{2} = 2 x^{2} - x y + 10$ (m²) để làm đường đi.

a) Viết đa thức biểu thị diện tích đất còn lại $S$ . b) Tính diện tích còn lại khi $x = 4$ m, $y = 3$ m.

Lời giải: a) $S = S_{1} - S_{2} = (5 x^{2} + 3 x y) - (2 x^{2} - x y + 10) = 3 x^{2} + 4 x y - 10$ (m²). b) Thay $x = 4, y = 3 \Rightarrow S = 3 (16) + 4 (4) (3) - 10 = 48 + 48 - 10 = 86$ (m²).

📝 Câu 3 (Tổng quãng đường đi được): Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B. Xe thứ nhất đi quãng đường $S_{1} = 60 t + 10$ (km). Xe thứ hai đi quãng đường $S_{2} = 50 t + 25$ (km) trong thời gian $t$ (giờ).

a) Viết đa thức biểu thị tổng quãng đường hai xe đã đi. b) Viết đa thức biểu thị khoảng cách chênh lệch giữa hai xe.

Lời giải: a) Tổng: $S_{1} + S_{2} = (60 t + 10) + (50 t + 25) = 110 t + 35$ (km). b) Chênh lệch: $S_{1} - S_{2} = (60 t + 10) - (50 t + 25) = 10 t - 15$ (km).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Kết quả của phép tính $(3x^2 + 2x) + (x^2 - 5x)$ là:

⭐ Ghi nhớ

Cộng hai đa thức: $A + B = (A) + (B)$ , bỏ ngoặc giữ nguyên dấu, thu gọn.
Trừ hai đa thức: $A - B = (A) - (B)$ , bỏ ngoặc đổi dấu toàn bộ hạng tử của $B$ , thu gọn.
Tìm đa thức chưa biết:
- $X + B = A \Rightarrow X = A - B$ .
- $A - X = B \Rightarrow X = A - B$ .
- $X - A = B \Rightarrow X = A + B$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Phép cộng đa thức): Thực hiện phép cộng hai đa thức:

a) $(3 x^{2} + 2 x - 1) + (x^{2} - 5 x + 4)$

b) $(5 x^{2} y - 3 x y^{2}) + (2 x^{2} y + 4 x y^{2})$

c) $(2 x^{3} - x + 5) + (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$

d) $(a^{2} - 2 ab + b^{2}) + (a^{2} + 2 ab + b^{2})$

e) $(x^{3} - 3 x^{2} y + 2) + (3 x^{2} y - 2 x + 1)$

f) $(\frac{1}{2} x^{2} y - 2 x y) + (\frac{3}{2} x^{2} y + 5 x y)$

Bài 2 (Dễ — Phép trừ đa thức & Bỏ dấu ngoặc): Thực hiện phép trừ hai đa thức:

a) $(3 x^{2} + 2 x - 1) - (x^{2} - 5 x + 4)$

b) $(5 x^{2} y - 3 x y^{2}) - (2 x^{2} y + 4 x y^{2})$

c) $(2 x^{3} - x + 5) - (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$

d) $(a^{2} + 2 ab + b^{2}) - (a^{2} - 2 ab + b^{2})$

e) $(3 x^{2} - 5 x y + 2) - (2 x^{2} - 5 x y - 3)$

f) $(\frac{5}{2} x^{2} y - 3 x y) - (\frac{1}{2} x^{2} y + 2 x y)$

Bài 3 (Trung bình — Rút gọn & Tính giá trị đa thức tổng/hiệu):

a) Cho $A = 2 x^{2} y - 3 x y + 5$ và $B = x^{2} y + 4 x y - 2$ . Tính $A + B$ tại $x = 1, y = 2$ .

b) Cho $A = 2 x^{2} y - 3 x y + 5$ và $B = x^{2} y + 4 x y - 2$ . Tính $A - B$ tại $x = 1, y = 2$ .

c) Cho $P = x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}$ và $Q = 2 x^{3} + 2 x^{2} y - 3 x y^{2}$ . Tính $P + Q$ .

d) Cho $P = x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}$ và $Q = 2 x^{3} + 2 x^{2} y - 3 x y^{2}$ . Tính $P - Q$ .

e) Tính giá trị $M = (x^{2} - y^{2}) - (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 x y$ tại $x = 5, y = - 2$ .

f) Tính giá trị $N = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) - (x^{3} - 1)$ tại $x = 99$ .

Bài 4 (Trung bình — Tìm đa thức chưa biết):

a) Tìm đa thức $M$ biết $M + (x^{2} - 3 y^{2}) = 4 x^{2} + 2 y^{2}$ .

b) Tìm đa thức $N$ biết $(5 x^{2} - 2 x y) - N = 2 x^{2} + 3 x y$ .

c) Tìm đa thức $P$ biết $P - (x^{3} - 2 x + 1) = 3 x^{2} + x - 4$ .

Bài 5 (Trung bình — Biểu thức 3 đa thức): Cho $A = 2 x^{2} y - 3 x y + 5$ , $B = 3 x^{2} y + 2 x y - 1$ , $C = - x^{2} y + 4 x y - 2$ .

a) Tính $A + B + C$ .

b) Tính $A + B - C$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến):

a) Chứng minh $M = (x^{2} + y^{2} - z^{2}) + (y^{2} + z^{2} - x^{2}) + (z^{2} + x^{2} - y^{2}) - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 0$ .

b) Chứng minh $N = (3 x^{2} - 2 x + 5) - (x^{2} - 5 x + 1) - (2 x^{2} + 3 x - 4) = 8$ có giá trị không phụ thuộc vào $x$ .

Bài 7 (Khá — Bậc của đa thức tổng và hiệu): Cho $A = 3 x^{3} y^{2} - 2 x^{2} y^{3} + 5 x$ và $B = - 3 x^{3} y^{2} + 4 x^{2} y^{3} - x + 1$ .

a) Tính $A + B$ và tìm bậc của $A + B$ .

b) Tính $A - B$ và tìm bậc của $A - B$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tìm m thỏa mãn giá trị cho trước): Cho $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - m$ và $Q (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 5$ . Tìm $m$ để đa thức hiệu $P (x) - 2 Q (x)$ nhận giá trị bằng 0 tại $x = 1$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Lợi nhuận kinh doanh cửa hàng): Doanh thu thu được của một cửa hàng trong một tháng biểu thị bởi đa thức $R (x) = 150 x + 2000$ (nghìn đồng). Tổng chi phí bỏ ra biểu thị bởi $C (x) = 90 x + 1200$ (nghìn đồng), với $x$ là số sản phẩm bán được.

a) Viết đa thức biểu thị lợi nhuận $L (x) = R (x) - C (x)$ .

b) Tính lợi nhuận khi bán được $x = 500$ sản phẩm.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Diện tích phần đất làm đường): Một khu đất hình chữ nhật diện tích $S_{1} = 5 x^{2} + 3 x y$ (m²). Người ta dành một phần đất diện tích $S_{2} = 2 x^{2} - x y + 10$ (m²) để làm đường đi.

a) Viết đa thức biểu thị diện tích đất còn lại $S = S_{1} - S_{2}$ .

b) Tính diện tích còn lại khi $x = 4$ m, $y = 3$ m.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $(3 x^{2} + x^{2}) + (2 x - 5 x) + (- 1 + 4) = 4 x^{2} - 3 x + 3$ . b) $(5 x^{2} y + 2 x^{2} y) + (- 3 x y^{2} + 4 x y^{2}) = 7 x^{2} y + x y^{2}$ . c) $(2 x^{3} + x^{3}) + 3 x^{2} - x + (5 - 2) = 3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 3$ . d) $(a^{2} + a^{2}) + (- 2 ab + 2 ab) + (b^{2} + b^{2}) = 2 a^{2} + 2 b^{2}$ . e) $x^{3} + (- 3 x^{2} y + 3 x^{2} y) - 2 x + (2 + 1) = x^{3} - 2 x + 3$ . f) $(\frac{1}{2} x^{2} y + \frac{3}{2} x^{2} y) + (- 2 x y + 5 x y) = 2 x^{2} y + 3 x y$ .

Bài 2: a) $3 x^{2} + 2 x - 1 - x^{2} + 5 x - 4 = (3 x^{2} - x^{2}) + (2 x + 5 x) + (- 1 - 4) = 2 x^{2} + 7 x - 5$ . b) $5 x^{2} y - 3 x y^{2} - 2 x^{2} y - 4 x y^{2} = 3 x^{2} y - 7 x y^{2}$ . c) $2 x^{3} - x + 5 - x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} - 3 x^{2} - x + 7$ . d) $a^{2} + 2 ab + b^{2} - a^{2} + 2 ab - b^{2} = 4 ab$ . e) $3 x^{2} - 5 x y + 2 - 2 x^{2} + 5 x y + 3 = x^{2} + 5$ . f) $\frac{5}{2} x^{2} y - 3 x y - \frac{1}{2} x^{2} y - 2 x y = 2 x^{2} y - 5 x y$ .

Bài 3: a) $A + B = 3 x^{2} y + x y + 3$ . Thay $x = 1, y = 2 \Rightarrow 3 (1) (2) + (1) (2) + 3 = 6 + 2 + 3 = 11$ . b) $A - B = x^{2} y - 7 x y + 7$ . Thay $x = 1, y = 2 \Rightarrow (1) (2) - 7 (1) (2) + 7 = 2 - 14 + 7 = - 5$ . c) $P + Q = 3 x^{3} - 2 x y^{2}$ . d) $P - Q = - x^{3} - 4 x^{2} y + 4 x y^{2}$ . e) $M = x^{2} - y^{2} - x^{2} - 2 x y - y^{2} + 2 x y = - 2 y^{2}$ . Thay $y = - 2 \Rightarrow M = - 2 (- 2)^{2} = - 8$ . f) $N = 3 x^{2} + 3 x + 2$ . Thay $x = 99 \Rightarrow N = 3 (99)^{2} + 3 (99) + 2 = 3 (99) (100) + 2 = 29702$ .

Bài 4: a) $M = (4 x^{2} + 2 y^{2}) - (x^{2} - 3 y^{2}) = 3 x^{2} + 5 y^{2}$ . b) $N = (5 x^{2} - 2 x y) - (2 x^{2} + 3 x y) = 3 x^{2} - 5 x y$ . c) $P = (3 x^{2} + x - 4) + (x^{3} - 2 x + 1) = x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ .

Bài 5: a) $A + B + C = (2 + 3 - 1) x^{2} y + (- 3 + 2 + 4) x y + (5 - 1 - 2) = 4 x^{2} y + 3 x y + 2$ . b) $A + B - C = (2 x^{2} y - 3 x y + 5) + (3 x^{2} y + 2 x y - 1) - (- x^{2} y + 4 x y - 2) = 6 x^{2} y - 5 x y + 6$ .

Bài 6: a) $M = x^{2} + y^{2} - z^{2} + y^{2} + z^{2} - x^{2} + z^{2} + x^{2} - y^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} = 0$ . b) $N = 3 x^{2} - 2 x + 5 - x^{2} + 5 x - 1 - 2 x^{2} - 3 x + 4 = (3 - 1 - 2) x^{2} + (- 2 + 5 - 3) x + (5 - 1 + 4) = 8$ .

Bài 7: a) $A + B = (3 - 3) x^{3} y^{2} + (- 2 + 4) x^{2} y^{3} + (5 - 1) x + 1 = 2 x^{2} y^{3} + 4 x + 1$ . Bậc là $2 + 3 = 5$ . b) $A - B = 6 x^{3} y^{2} - 6 x^{2} y^{3} + 6 x - 1$ . Bậc là $3 + 2 = 5$ .

Bài 8: $P (x) - 2 Q (x) = (2 x^{3} - 3 x^{2} + x - m) - (2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 10) = - 7 x^{2} + 7 x - 10 - m$ . Tại $x = 1 \Rightarrow - 7 (1)^{2} + 7 (1) - 10 - m = 0 \Rightarrow - 10 - m = 0 \Rightarrow m = - 10$ .

Bài 9: a) $L (x) = R (x) - C (x) = (150 x + 2000) - (90 x + 1200) = 60 x + 800$ (nghìn đồng). b) Thay $x = 500 \Rightarrow L (500) = 60 (500) + 800 = 30800$ nghìn đồng = 30,8 triệu đồng.

Bài 10: a) $S = S_{1} - S_{2} = (5 x^{2} + 3 x y) - (2 x^{2} - x y + 10) = 3 x^{2} + 4 x y - 10$ (m²). b) Thay $x = 4, y = 3 \Rightarrow S = 3 (16) + 4 (4) (3) - 10 = 48 + 48 - 10 = 86$ (m²).