Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Hệ số $a$ trong phương trình đường thẳng $y = a x + b$ đại diện cho Hệ số góc – nó quyết định độ dốc cũng như góc nghiêng của đường thẳng so với trục nằm ngang Ox. Cùng khám phá mối liên hệ hình học kỳ thú này nhé!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm Hệ số góc của Đường thẳng $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ )

Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox: Là góc $α$ tạo bởi tia $A x$ (phần đường thẳng nằm phía trên trục Ox) và tia $A x^{'}$ (chiều dương của trục Ox).
- Khi $a > 0$ : $α$ là góc nhọn ( $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ). Hệ số $a$ càng lớn thì góc $α$ càng lớn.
- Khi $a < 0$ : $α$ là góc tù ( $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ ). Hệ số $a$ càng lớn thì góc $α$ càng lớn.
Hệ số góc: Số $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y = a x + b$ .

Khái niệm hệ số góc và góc nghiêng α

Ví dụ 1: Xác định hệ số góc của các đường thẳng $y = 3 x - 1$ , $y = - 2 x + 5$ , $y = x$ .
Lời giải:

$y = 3 x - 1$ có hệ số góc $a = 3$ .
$y = - 2 x + 5$ có hệ số góc $a = - 2$ .
$y = x$ có hệ số góc $a = 1$ .

Ví dụ 2: So sánh góc nghiêng với trục Ox của hai đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 1$ và $(d_{2}) : y = 4 x - 3$ .
Lời giải: Cả hai có $a_{1} = 2 > 0$ và $a_{2} = 4 > 0 \Rightarrow$ Đều tạo góc nhọn với Ox. Vì $a_{2} = 4 > a_{1} = 2$ nên đường thẳng $(d_{2})$ có góc nghiêng lớn hơn $(d_{1})$ .

Ví dụ 3: Tính góc nghiêng $α$ của đường thẳng $y = x + 2$ .
Lời giải: $a = 1 > 0 \Rightarrow tan α = a = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}$ .

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $(d) : y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) và $(d^{'}) : y = a^{'} x + b^{'}$ ( $a^{'} \neq = 0$ ):

Song song: $(d) // (d^{'}) \Leftrightarrow {a = a^{'} b \neq = b^{'}$
Trùng nhau: $(d) \equiv (d^{'}) \Leftrightarrow {a = a^{'} b = b^{'}$
Cắt nhau: $(d)$ cắt $(d^{'}) \Leftrightarrow a \neq = a^{'}$
- Đặc biệt: $(d) ⊥ (d^{'}) \Leftrightarrow a \cdot a^{'} = - 1$ .

Ví dụ 1: Tìm $m$ để đường thẳng $y = m x + 2$ song song với đường thẳng $y = 3 x - 1$ .
Lời giải: Hai đường thẳng song song $\Leftrightarrow {m = 3 2 \neq = - 1 (lu \overset{o}{ˆ} n đ \overset{u}{ˊ} ng) \Rightarrow m = 3$ .

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của $(d_{1}) : y = 2 x + 3$ và $(d_{2}) : y = - x + 1$ .
Lời giải: Hệ số góc $a_{1} = 2 \neq = a_{2} = - 1 \Rightarrow$ Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm.

Ví dụ 3: Tìm $m$ để $(d) : y = (2 m - 1) x + 4$ vuông góc với $(d^{'}) : y = 2 x - 3$ .
Lời giải: Điều kiện vuông góc: $(2 m - 1) \cdot 2 = - 1 \Leftrightarrow 4 m - 2 = - 1 \Leftrightarrow 4 m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hệ số góc đường thẳng

🎯 Luyện tập Hệ số góc của Đường thẳng

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hệ số góc của đường thẳng y = 3x - 5 là bao nhiêu?

y = a x + b \Rightarrow a = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định hệ số góc & Tính góc nghiêng $α$ với trục Ox Phương pháp: Hệ số góc $a$ . Nếu $a > 0 \Rightarrow tan α = a$ ; Nếu $a < 0 \Rightarrow tan (18 0^{\circ} - α) = ∣ a ∣$ .

Dạng 2: Tìm tham số m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc Phương pháp:

Song song: $a = a^{'}$ và $b \neq = b^{'}$ .
Cắt nhau: $a \neq = a^{'}$ .
Vuông góc: $a \cdot a^{'} = - 1$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Độ dốc mái nhà và thoát nước mưa): Trong xây dựng, độ dốc mái nhà được tính bằng hệ số góc $a$ của đường thẳng mặt mái. Một mái nhà có độ dốc $a = 0.5$ (chiều dài $x = 10$ m nâng độ cao $y = 5$ m).

a) Viết phương trình đường thẳng mô tả mái nhà đi qua gốc $O (0; 0)$ .
b) Tính góc nghiêng $α$ của mái nhà so với phương ngang.

Lời giải:
a) Đồ thị đi qua $O (0; 0)$ nên $b = 0 \Rightarrow y = 0.5 x$ .
b) $tan α = 0.5 \Rightarrow α \approx 26.5 7^{\circ}$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hệ số góc của đường thẳng $y = 4x - 7$ là bao nhiêu?

⭐ Ghi nhớ

Hệ số góc: Số $a$ trong $y = a x + b$ .
Song song: $a = a^{'}$ và $b \neq = b^{'}$ .
Cắt nhau: $a \neq = a^{'}$ (Vuông góc: $a \cdot a^{'} = - 1$ ).

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Xác định hệ số góc): Tìm hệ số góc $a$ của các đường thẳng sau:

a) $y = 5 x - 3$ b) $y = - 3 x + 1$ c) $y = \frac{1}{2} x + 4$

d) $y = 2 - x$ e) $y = 2 x$ f) $2 x - y + 3 = 0$

Bài 2 (Dễ — Vị trí tương đối của hai đường thẳng): Cho các đường thẳng:
$(d_{1}) : y = 2 x + 1$ ; $(d_{2}) : y = 2 x - 5$ ; $(d_{3}) : y = - x + 1$ ; $(d_{4}) : y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

a) Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau.
b) Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau.
c) Tìm cặp đường thẳng vuông góc với nhau.

Bài 3 (Trung bình — Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau): Cho $(d_{1}) : y = (m + 1) x + 2$ và $(d_{2}) : y = (2 m - 1) x - 3$ .

a) Tìm $m$ để $(d_{1})$ và $(d_{2})$ là các hàm số bậc nhất.
b) Tìm $m$ để $(d_{1}) // (d_{2})$ .
c) Tìm $m$ để $(d_{1})$ cắt $(d_{2})$ .
d) Tìm $m$ để $(d_{1}) ⊥ (d_{2})$ .

Bài 4 (Trung bình — Tìm phương trình đường thẳng qua điểm & song song/vuông góc):

a) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ qua $A (2; 5)$ và song song với $y = 3 x - 1$ .
b) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ qua $B (- 1; 3)$ và song song với $y = - 2 x + 4$ .
c) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ qua $C (3; 1)$ và vuông góc với $y = x + 2$ .
d) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ qua $D (1; - 2)$ và có hệ số góc bằng $- 4$ .

Bài 5 (Trung bình — Tính góc nghiêng $α$ của đường thẳng với Ox):

a) Tính góc nghiêng $α$ của đường thẳng $y = x + 3$ .
b) Tính góc nghiêng $α$ của đường thẳng $y = 3 x - 1$ .
c) Tính góc nghiêng $α$ của đường thẳng $y = - x + 2$ .

Bài 6 (Khá — Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng khác): Cho $(d_{1}) : y = 2 x - 3$ và $(d_{2}) : y = - x + 3$ .

a) Tìm tọa độ giao điểm $M$ của $(d_{1})$ và $(d_{2})$ .
b) Viết phương trình đường thẳng $(d_{3})$ đi qua $M$ và song song với $y = 5 x + 1$ .

Bài 7 (Khá — Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng): Cho hai điểm $A (1; 2)$ và $B (3; 6)$ .

a) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng AB.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường trung trực $(d)$ của đoạn thẳng AB.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song): Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $(d_{1}) : y = 2 x + 3$ và $(d_{2}) : y = 2 x - 2$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Thiết kế đường dốc cho người khuyết tật): Quy chuẩn xây dựng đường dốc xe lăn cho người khuyết tật quy định hệ số góc $a \leq \frac{1}{12} \approx 0.0833$ .

a) Một bậc thềm cao $0.6$ m. Chiều dài tối thiểu $x$ của đường dốc bằng bao nhiêu mét?
b) Tính góc nghiêng tối đa $α$ của đường dốc so với phương ngang.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Tốc độ gia tăng doanh số công ty): Doanh số của hai chi nhánh công ty A và B sau $t$ tháng được biểu diễn bởi:
Chi nhánh A: $y_{A} = 20 t + 100$ (triệu đồng).
Chi nhánh B: $y_{B} = 30 t + 50$ (triệu đồng).

a) So sánh hệ số góc của hai đường doanh số và nêu ý nghĩa thực tế.
b) Sau bao nhiêu tháng thì doanh số chi nhánh B đuổi kịp và vượt chi nhánh A?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $a = 5$ . b) $a = - 3$ . c) $a = \frac{1}{2}$ . d) $a = - 1$ . e) $a = 2$ . f) Biến đổi $y = 2 x + 3 \Rightarrow a = 2$ .

Bài 2: a) $(d_{1}) // (d_{2})$ (vì $a_{1} = a_{2} = 2, b_{1} \neq = b_{2}$ ). b) Cặp $(d_{1})$ và $(d_{3})$ , $(d_{2})$ và $(d_{3})$ cắt nhau. c) Cặp $(d_{1}) ⊥ (d_{4})$ vì $a_{1} \cdot a_{4} = 2 \cdot (- 0.5) = - 1$ .

Bài 3: a) $m + 1 \neq = 0$ và $2 m - 1 \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = - 1$ và $m \neq = 0.5$ . b) Song song: $m + 1 = 2 m - 1 \Rightarrow m = 2$ (thỏa mãn). c) Cắt nhau: $m \neq = 2$ (và $m \neq = - 1, 0.5$ ). d) Vuông góc: $(m + 1) (2 m - 1) = - 1 \Rightarrow 2 m^{2} + m - 1 = - 1 \Rightarrow 2 m^{2} + m = 0 \Rightarrow m (2 m + 1) = 0 \Rightarrow m = 0$ hoặc $m = - 0.5$ .

Bài 4: a) $a = 3 \Rightarrow 3 (2) + b = 5 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow y = 3 x - 1$ (sửa $A (2; 7) \Rightarrow y = 3 x + 1$ ). b) $a = - 2 \Rightarrow - 2 (- 1) + b = 3 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow y = - 2 x + 1$ . c) $a \cdot 1 = - 1 \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow - 1 (3) + b = 1 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow y = - x + 4$ . d) $a = - 4 \Rightarrow - 4 (1) + b = - 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow y = - 4 x + 2$ .

Bài 5: a) $a = 1 > 0 \Rightarrow tan α = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}$ . b) $a = 3 > 0 \Rightarrow tan α = 3 \Rightarrow α = 6 0^{\circ}$ . c) $a = - 1 < 0 \Rightarrow tan (18 0^{\circ} - α) = 1 \Rightarrow 18 0^{\circ} - α = 4 5^{\circ} \Rightarrow α = 13 5^{\circ}$ .

Bài 6: a) $2 x - 3 = - x + 3 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow M (2; 1)$ .
b) $(d_{3}) // y = 5 x + 1 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow 5 (2) + b = 1 \Rightarrow b = - 9 \Rightarrow y = 5 x - 9$ .

Bài 7: a) Trung điểm $I (2; 4)$ . b) Đường thẳng AB có hệ số góc $a = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2 \Rightarrow y = 2 x$ . c) Đường trung trực $(d) ⊥ A B \Rightarrow a^{'} = - 0.5$ . Đi qua $I (2; 4) \Rightarrow - 0.5 (2) + b = 4 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow (d) : y = - 0.5 x + 5$ .

Bài 8: Lấy $A (0; 3) \in (d_{1})$ . Khoảng cách từ A đến $(d_{2}) : 2 x - y - 2 = 0$ là $h = \frac{∣2 ( 0 ) - 3 - 2∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{5} = 5$ .

Bài 9: a) $a = \frac{0.6}{x} \leq \frac{1}{12} \Rightarrow x \geq 0.6 \cdot 12 = 7.2$ m.
b) $tan α = \frac{1}{12} \Rightarrow α \approx 4.7 6^{\circ}$ .

Bài 10: a) Chi nhánh A có hệ số góc $a_{A} = 20$ (tốc độ tăng $20$ triệu/tháng). Chi nhánh B có $a_{B} = 30$ (tốc độ tăng $30$ triệu/tháng). Chi nhánh B tăng trưởng nhanh hơn.
b) Cho $y_{B} = y_{A} \Rightarrow 30 t + 50 = 20 t + 100 \Rightarrow 10 t = 50 \Rightarrow t = 5$ tháng.