Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 28: Hàm số bậc nhất và đồ thị hàm số bậc nhất

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Hàm số bậc nhất $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) biểu diễn các mối quan hệ tỉ lệ tuyến tính trong thực tế. Đồ thị của nó là một đường thẳng tuyệt đẹp giúp ta dự đoán xu hướng tăng giảm vô cùng trực quan!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa & Tính chất Hàm số bậc nhất

Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = a x + b$ , trong đó $a, b$ là các số cho trước và $a \neq = 0$ .
Tính chất: Hàm số bậc nhất $y = a x + b$ xác định với mọi $x \in R$ và có tính chất:
- Đồng biến trên $R$ khi $a > 0$ (khi $x$ tăng thì $y$ tăng).
- Nghịch biến trên $R$ khi $a < 0$ (khi $x$ tăng thì $y$ giảm).

Tính chất đồng biến (a > 0) và nghịch biến (a < 0) của hàm số bậc nhất

Ví dụ 1: Xác định hệ số $a, b$ và tính chất biến thiên của hàm số $y = 2 x - 5$ .
Lời giải: Hệ số $a = 2, b = - 5$ . Vì $a = 2 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $R$ .

Ví dụ 2: Tìm $m$ để hàm số $y = (3 - m) x + 1$ là hàm số bậc nhất nghịch biến.
Lời giải: Điều kiện: $a < 0 \Leftrightarrow 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3$ .

Ví dụ 3: Xét tính biến thiên của hàm số $y = - 2 x + 3$ .
Lời giải: $a = - 2 < 0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $R$ .

2. Đồ thị hàm số bậc nhất $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ )

Đồ thị của hàm số $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là một đường thẳng:
- Cắt trục tung $O y$ tại điểm $(0; b)$ .
- Cắt trục hoành $O x$ tại điểm $(- \frac{b}{a}; 0)$ .
Cách vẽ:
1. Cho $x = 0 \Rightarrow y = b$ , được điểm $A (0; b) \in O y$ .
2. Cho $y = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$ , được điểm $B (- \frac{b}{a}; 0) \in O x$ .
3. Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ .

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2 x - 4$ .
Lời giải:

Giao $O y$ : Cho $x = 0 \Rightarrow y = - 4 \Rightarrow A (0; - 4)$ .
Giao $O x$ : Cho $y = 0 \Rightarrow 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow B (2; 0)$ .
Đồ thị là đường thẳng đi qua $A (0; - 4)$ và $B (2; 0)$ .

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = - x + 3$ .
Lời giải:

Giao $O y$ : $A (0; 3)$ . Giao $O x$ : $B (3; 0)$ .
Kẻ đường thẳng qua $A (0; 3)$ và $B (3; 0)$ .

Ví dụ 3: Xác định $a, b$ để đồ thị $y = a x + b$ đi qua $M (1; 3)$ và $N (- 1; 1)$ .
Lời giải: Thay $M, N$ vào công thức:
${a + b = 3 - a + b = 1 \Rightarrow 2 b = 4 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = 1$ .
Vậy hàm số là $y = x + 2$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hàm số bậc nhất & Đồ thị

🎯 Luyện tập Hàm số bậc nhất & Đồ thị đường thẳng

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến trên R khi nào?

y = ax + b \quad (a = ?)

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết hàm số bậc nhất & Xét tính đồng biến, nghịch biến Phương pháp: Dạng $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ). $a > 0 \to$ Đồng biến; $a < 0 \to$ Nghịch biến.

Dạng 2: Vẽ đồ thị đường thẳng & Tìm tọa độ giao điểm với các trục tọa độ Phương pháp: Cho $x = 0 \to y = b$ ; Cho $y = 0 \to x = - b / a$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Hàm số độ cao máy bay hạ cánh): Một máy bay đang ở độ cao $10.000$ m bắt đầu hạ cánh. Độ cao $h$ (m) sau $t$ (phút) được mô tả bởi hàm số $h (t) = 10.000 - 500 t$ .

a) Giải thích vì sao đây là hàm số bậc nhất nghịch biến.
b) Sau bao nhiêu phút thì máy bay đáp xuống mặt đất ( $h = 0$ )?

Lời giải:
a) Hàm số có dạng $h = a t + b$ với $a = - 500 < 0 \Rightarrow$ Hàm số bậc nhất nghịch biến (khi thời gian $t$ tăng thì độ cao $h$ giảm).
b) Cho $h = 0 \Rightarrow 10.000 - 500 t = 0 \Rightarrow 500 t = 10.000 \Rightarrow t = 20$ phút.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$ với điều kiện nào của $a$ ?

⭐ Ghi nhớ

Hàm bậc nhất: $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ).
$a > 0$ : Đồng biến (đường đi lên).
$a < 0$ : Nghịch biến (đường đi xuống).
Giao điểm: $O y (0; b)$ và $O x (- b / a; 0)$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết và xét tính biến thiên): Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Cho biết hệ số $a, b$ và xét tính đồng biến, nghịch biến:

a) $y = 3 x - 2$ b) $y = 1 - 5 x$ c) $y = - 2 x$

d) $y = x^{2} + 3$ e) $y = \frac{2}{x} + 1$ f) $y = 3 x + 2$

Bài 2 (Dễ — Tìm tham số m để hàm số là bậc nhất, đồng biến/nghịch biến):

a) Tìm $m$ để $y = (m - 1) x + 3$ là hàm số bậc nhất.
b) Tìm $m$ để $y = (2 m + 4) x - 1$ đồng biến trên $R$ .
c) Tìm $m$ để $y = (5 - m) x + 2$ nghịch biến trên $R$ .
d) Tìm $m$ để $y = (m^{2} + 1) x - 4$ luôn đồng biến trên $R$ .
e) Tìm $m$ để $y = (m - 2) x + m + 1$ đi qua gốc tọa độ O(0; 0).
f) Tìm $m$ để $y = (3 m - 6) x + 5$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài 3 (Trung bình — Vẽ đồ thị các hàm số bậc nhất): Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy:

a) $y = x + 3$
b) $y = - x + 3$
c) $y = 2 x - 4$
d) $y = - \frac{1}{2} x + 2$
e) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị $y = x + 3$ và $y = 2 x - 4$ .
f) Tính diện tích tam giác tạo bởi hai đường thẳng $y = x + 3$ , $y = - x + 3$ và trục Ox.

Bài 4 (Trung bình — Xác định đường thẳng y = ax + b):

a) Tìm $a, b$ biết đồ thị $y = a x + b$ đi qua $A (1; 4)$ và $B (- 1; 2)$ .
b) Tìm $a, b$ biết đồ thị $y = a x + b$ cắt Oy tại $(0; 3)$ và cắt Ox tại $(2; 0)$ .
c) Tìm $a, b$ biết đồ thị $y = a x + b$ đi qua $M (2; 5)$ và song song với $y = 3 x - 1$ .
d) Tìm $a, b$ biết đồ thị $y = a x + b$ đi qua $N (- 2; 1)$ và có hệ số góc bằng $2$ .

Bài 5 (Trung bình — Tính góc và khoảng cách đồ thị): Cho hàm số $y = x + 2$ .

a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $y = x + 2$ .
c) Tính số đo góc $α$ tạo bởi đường thẳng với chiều dương trục Ox.

Bài 6 (Khá — Ba đường thẳng đồng quy): Tìm $m$ để ba đường thẳng sau đồng quy (cùng đi qua 1 điểm): $(d_{1}) : y = 2 x - 1$ ; $(d_{2}) : y = - x + 5$ ; $(d_{3}) : y = m x + 1$ .

Bài 7 (Khá — Chứng minh điểm cố định của họ đường thẳng): Chứng minh đường thẳng $(d) : y = (m - 2) x + 2 m + 1$ luôn đi qua điểm cố định $A (- 2; 5)$ với mọi $m$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Chu vi & Diện tích tam giác đồ thị): Đồ thị $y = \frac{3}{4} x + 3$ cắt Ox tại A và Oy tại B.

a) Tính tọa độ các điểm A, B.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác OAB.
c) Tính chiều cao OH hạ từ O xuống đường thẳng AB.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Giá cước tiền nước sinh hoạt): Công ty cấp nước tính tiền nước theo công thức $y = a x + b$ , trong đó $x$ là số m³ nước tiêu thụ và $y$ là số tiền phải trả (đồng). Gia đình An dùng $10$ m³ nước hết $110.000$ đồng; gia đình Bình dùng $20$ m³ nước hết $200.000$ đồng.

a) Xác định các hệ số $a$ và $b$ .
b) Tính số tiền gia đình Cường phải trả khi sử dụng $15$ m³ nước.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo nhiệt độ theo độ F và độ C): Công thức chuyển đổi giữa nhiệt độ Fahrenheit ( $F$ ) và nhiệt độ Celsius ( $C$ ) là một hàm số bậc nhất $F = a C + b$ . Biết $0^{\circ} C = 3 2^{\circ} F$ và $10 0^{\circ} C = 21 2^{\circ} F$ .

a) Tìm các hệ số $a$ và $b$ .
b) Nhiệt độ cơ thể người bình thường là $3 7^{\circ} C$ tương ứng với bao nhiêu độ F?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Bậc nhất $a = 3, b = - 2 \Rightarrow$ Đồng biến ( $3 > 0$ ). b) Bậc nhất $a = - 5, b = 1 \Rightarrow$ Nghịch biến ( $- 5 < 0$ ). c) Bậc nhất $a = - 2, b = 0 \Rightarrow$ Nghịch biến ( $- 2 < 0$ ). d) Không phải bậc nhất (bậc 2). e) Không phải bậc nhất (chứa $x$ ở mẫu). f) Bậc nhất $a = 3, b = 2 \Rightarrow$ Đồng biến ( $3 > 0$ ).

Bài 2: a) $m - 1 \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = 1$ . b) $2 m + 4 > 0 \Leftrightarrow 2 m > - 4 \Leftrightarrow m > - 2$ . c) $5 - m < 0 \Leftrightarrow m > 5$ . d) $m^{2} + 1 > 0$ luôn đúng với mọi $m \in R$ . e) $x = 0, y = 0 \Rightarrow m + 1 = 0 \Rightarrow m = - 1$ . f) Giao Ox tại $(1; 0) \Rightarrow (3 m - 6) (1) + 5 = 0 \Rightarrow 3 m - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{3}$ .

Bài 3: a) Đường thẳng qua $(0; 3)$ và $(- 3; 0)$ . b) Đường thẳng qua $(0; 3)$ and $(3; 0)$ . c) Đường thẳng qua $(0; - 4)$ và $(2; 0)$ . d) Đường thẳng qua $(0; 2)$ và $(4; 0)$ . e) $x + 3 = 2 x - 4 \Rightarrow x = 7 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow I (7; 10)$ . f) Hai đường thẳng cắt nhau tại $C (0; 3)$ , cắt Ox tại $A (- 3; 0)$ và $B (3; 0) \Rightarrow A B = 6$ , chiều cao $O C = 3 \Rightarrow S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ (đvdt).

Bài 4: a) ${a + b = 4 - a + b = 2 \Rightarrow 2 b = 6 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow y = x + 3$ . b) $b = 3$ , $2 a + 3 = 0 \Rightarrow a = - 1.5 \Rightarrow y = - 1.5 x + 3$ . c) Song song với $y = 3 x - 1 \Rightarrow a = 3$ . Qua $M (2; 5) \Rightarrow 3 (2) + b = 5 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow y = 3 x - 1$ (trùng), sửa $b \neq = - 1 \Rightarrow b = - 1$ loại. Đề bài sửa $M (2; 7) \Rightarrow y = 3 x + 1$ . d) Hệ số góc $a = 2$ . Qua $N (- 2; 1) \Rightarrow 2 (- 2) + b = 1 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow y = 2 x + 5$ .

Bài 5: a) Đường thẳng qua $A (0; 2)$ và $B (- 2; 0)$ . b) $O A = 2, O B = 2 \Rightarrow △ O A B$ vuông cân tại O. $O H = \frac{O A \cdot O B}{A B} = \frac{2 \cdot 2}{2 2} = 2$ . c) $tan α = a = 1 \Rightarrow α = 4 5^{\circ}$ .

Bài 6: Giao điểm $(d_{1})$ và $(d_{2})$ : $2 x - 1 = - x + 5 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow I (2; 3)$ .
Để 3 đường thẳng đồng quy thì $I (2; 3) \in (d_{3}) \Rightarrow 3 = m (2) + 1 \Rightarrow 2 m = 2 \Rightarrow m = 1$ .

Bài 7: $y = m (x + 2) - 2 x + 1$ . Cho $x = - 2 \Rightarrow y = m (0) - 2 (- 2) + 1 = 5 \Rightarrow A (- 2; 5)$ thuộc đồ thị với mọi $m$ .

Bài 8: a) Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow B (0; 3)$ . Cho $y = 0 \Rightarrow x = - 4 \Rightarrow A (- 4; 0)$ . b) $O A = 4, O B = 3 \Rightarrow A B = 4^{2} + 3^{2} = 5$ . Chu vi $= 3 + 4 + 5 = 12$ . Diện tích $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ (đvdt). c) $O H = \frac{O A \cdot O B}{A B} = \frac{4 \cdot 3}{5} = 2.4$ .

Bài 9: a) ${10 a + b = 110.000 20 a + b = 200.000 \Rightarrow 10 a = 90.000 \Rightarrow a = 9.000, b = 20.000$ .
Hàm số: $y = 9.000 x + 20.000$ .
b) Thay $x = 15 \Rightarrow y = 9.000 (15) + 20.000 = 155.000$ đồng.

Bài 10: a) ${b = 32 100 a + b = 212 \Rightarrow 100 a = 180 \Rightarrow a = 1.8 = \frac{9}{5}$ .
Công thức: $F = 1.8 C + 32$ (hay $F = \frac{9}{5} C + 32$ ).
b) Thay $C = 37 \Rightarrow F = 1.8 (37) + 32 = 66.6 + 32 = 98. 6^{\circ} F$ .