Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị hàm số

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Khái niệm Hàm số và Đồ thị là bước nhảy vọt quan trọng của Toán học: Biến đổi quan hệ giữa hai đại lượng thành hình ảnh trực quan trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy cùng tìm hiểu cách biểu diễn hàm số bằng bảng, công thức và đồ thị!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm Hàm số & Biến số

Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được duy nhất một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ , và $x$ được gọi là biến số.
Ký hiệu: $y = f (x)$ , $y = g (x)$ ,…
Các cách cho hàm số:
1. Cho bằng công thức: $y = 2 x + 1$ , $y = x^{2}$ ,…
2. Cho bằng bảng giá trị.
3. Cho bằng đồ thị.

Sơ đồ khái niệm hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = f (x) = 3 x - 1$ . Tính $f (0), f (2), f (- 1)$ .
Lời giải:

$f (0) = 3 (0) - 1 = - 1$ .
$f (2) = 3 (2) - 1 = 5$ .
$f (- 1) = 3 (- 1) - 1 = - 4$ .

Ví dụ 2: Cho hàm số cho bằng bảng:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Hỏi $y$ có phải là hàm số của $x$ không?
Lời giải: Phải, vì mỗi giá trị của $x$ đều ứng với duy nhất một giá trị của $y$ . (Công thức $y = x^{2}$ ).

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f (x) = \frac{10}{x}$ . Tìm $x$ khi $y = 5$ .
Lời giải: $\frac{10}{x} = 5 \Rightarrow x = 2$ .

2. Mặt phẳng tọa độ Oxy & Đồ thị hàm số

Mặt phẳng tọa độ Oxy gồm hai trục tọa độ vuông góc: Trục nằm ngang $O x$ (trục hoành), Trục thẳng đứng $O y$ (trục tung). Giao điểm $O (0; 0)$ là gốc tọa độ.
Mỗi điểm $M$ ứng với cặp số $(x_{0}; y_{0})$ : $x_{0}$ là hoành độ, $y_{0}$ là tung độ.
Đồ thị của hàm số $y = f (x)$ là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng $(x; f (x))$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Ví dụ 1: Biểu diễn các điểm $A (1; 2), B (- 2; 3), C (0; - 1)$ trên mặt phẳng Oxy.
Lời giải:

$A (1; 2)$ : Từ hoành độ $1$ giống lên tung độ $2$ .
$B (- 2; 3)$ : Từ hoành độ $- 2$ giống lên tung độ $3$ .
$C (0; - 1)$ : Nằm trên trục tung Oy tại vị trí $- 1$ .

Ví dụ 2: Điểm $P (3; 8)$ có thuộc đồ thị hàm số $y = 2 x + 2$ không?
Lời giải: Thay $x = 3 \Rightarrow y = 2 (3) + 2 = 8$ (trùng với tung độ điểm P) $\Rightarrow$ Điểm P thuộc đồ thị.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = 2 x$ . Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow O (0; 0)$ . Cho $x = 1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A (1; 2)$ . Đồ thị là đường thẳng đi qua $O (0; 0)$ và $A (1; 2)$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Khái niệm Hàm số & Đồ thị

🎯 Luyện tập Khái niệm Hàm số & Đồ thị Hàm số

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Cho hàm số y = f(x) = 2x - 3. Giá trị của f(2) bằng:

f(2) = 2(2) - 3 = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số $f (x_{0})$ & Tìm $x$ khi biết $y$ Phương pháp: Thay $x = x_{0}$ vào công thức để tính $y$ , hoặc cho công thức bằng $y$ để tìm $x$ .

Dạng 2: Kiểm tra một điểm $M (x_{0}; y_{0})$ có thuộc đồ thị hay không Phương pháp: Thay $x = x_{0}$ vào công thức hàm số. Nếu kết quả $y = y_{0}$ thì điểm $M$ thuộc đồ thị; ngược lại thì không thuộc.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Hàm số nhiệt độ theo thời gian): Nhiệt độ $T$ (°C) tại một trạm khí tượng phụ thuộc vào thời gian $t$ (giờ trong ngày) theo công thức $T (t) = - 0.5 (t - 14)^{2} + 30$ .

a) Tính nhiệt độ lúc $14$ giờ và lúc $18$ giờ.
b) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là bao nhiêu °C và đạt được vào lúc mấy giờ?

Lời giải:
a) Lúc $14$ h: $T (14) = - 0.5 (0)^{2} + 30 = 30$ °C.
Lúc $18$ h: $T (18) = - 0.5 (18 - 14)^{2} + 30 = - 0.5 (16) + 30 = 22$ °C.
b) Vì $- 0.5 (t - 14)^{2} \leq 0 \Rightarrow T (t) \leq 30$ . Nhiệt độ cao nhất là $30$ °C vào lúc $14$ giờ.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được duy nhất một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là:

⭐ Ghi nhớ

Hàm số: Mỗi $x$ xác định duy nhất một $y$ .
Tọa độ: $M (x_{0}; y_{0})$ với $x_{0}$ là hoành độ (Ox), $y_{0}$ là tung độ (Oy).
Thuộc đồ thị: Thay $x_{0}$ vào công thức phải ra đúng $y_{0}$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính giá trị của hàm số):

a) Cho hàm số $y = f (x) = 2 x + 5$ . Tính $f (0), f (1), f (- 2)$ .
b) Cho hàm số $y = g (x) = x^{2} - 3$ . Tính $g (0), g (3), g (- 3)$ .
c) Cho hàm số $y = h (x) = \frac{6}{x}$ . Tính $h (1), h (2), h (- 3)$ .
d) Cho hàm số $y = f (x) = - 3 x + 1$ . Tìm $x$ khi $y = 7$ .
e) Cho hàm số $y = f (x) = x^{2} + 1$ . Tìm $x$ khi $y = 10$ .
f) Cho hàm số $y = f (x) = 4 - x$ . Lập bảng giá trị của $y$ khi $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

Bài 2 (Dễ — Kiểm tra điểm thuộc đồ thị):

a) Cho hàm số $y = 3 x - 1$ . Kiểm tra các điểm $A (1; 2), B (0; 1), C (- 1; - 4)$ có thuộc đồ thị không.
b) Cho hàm số $y = - 2 x$ . Điểm nào sau đây thuộc đồ thị: $M (1; - 2), N (- 2; 4), P (3; 6)$ ?
c) Cho hàm số $y = x^{2} - 2$ . Kiểm tra điểm $D (2; 2)$ có thuộc đồ thị không.
d) Tìm tung độ của điểm $A$ thuộc đồ thị $y = 4 x - 3$ biết hoành độ $x_{A} = 2$ .
e) Tìm hoành độ của điểm $B$ thuộc đồ thị $y = - x + 5$ biết tung độ $y_{B} = 3$ .
f) Cho điểm $K (m; 5)$ thuộc đồ thị $y = 2 x + 1$ . Tìm $m$ .

Bài 3 (Trung bình — Đồ thị hàm số đơn giản):

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = 2 x$ .
b) Vẽ đồ thị hàm số $y = - x$ .
c) Vẽ đồ thị hàm số $y = x + 2$ .
d) Vẽ đồ thị hàm số $y = - 2 x + 4$ .
e) Xác định điểm giao của đồ thị $y = 2 x - 4$ với hai trục tọa độ Ox và Oy.
f) Cho hai điểm $A (1; 3)$ và $B (2; 5)$ . Tìm công thức hàm số dạng $y = a x + b$ có đồ thị đi qua A và B.

Bài 4 (Trung bình — Lập bảng và vẽ đồ thị hàm số): Cho hàm số $y = f (x) = - x + 3$ .

a) Tính $f (- 1), f (0), f (2)$ .
b) Lập bảng giá trị tương ứng của $y$ với $x = - 1, 0, 1, 2, 3$ .
c) Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bài 5 (Trung bình — Tìm điều kiện để điểm thuộc đồ thị): Cho hàm số $y = (2 m - 1) x + 3$ .

a) Tìm $m$ để đồ thị đi qua điểm $A (1; 5)$ .
b) Tìm $m$ để đồ thị đi qua điểm $B (- 2; 1)$ .
c) Chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm $C (0; 3)$ với mọi $m$ .

Bài 6 (Khá — Diện tích tam giác tạo bởi đồ thị và hai trục tọa độ): Đồ thị hàm số $y = - 2 x + 4$ cắt trục Ox tại A và cắt trục Oy tại B.

a) Tìm tọa độ các điểm A và B.
b) Tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ).

Bài 7 (Khá — Giao điểm của hai đồ thị hàm số): Cho hai hàm số $y = 2 x - 1$ và $y = - x + 5$ .

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đồ thị bằng phương pháp đại số.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Điểm cố định của đồ thị): Chứng minh rằng đồ thị của hàm số $y = (m + 1) x - 2 m + 3$ luôn đi qua điểm cố định $K (2; 5)$ với mọi giá trị của tham số $m$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Hàm số tiền taxi theo quãng đường): Giá cước dịch vụ taxi được tính theo công thức $y = 12.000 + 14.000 (x - 1)$ cho quãng đường $x \geq 1$ (km), trong đó $y$ là tổng số tiền (đồng).

a) Tính số tiền khách phải trả khi đi quãng đường $x = 5$ km và $x = 10$ km.
b) Nếu khách trả $152.000$ đồng thì quãng đường di chuyển là bao nhiêu km?

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Tốc độ hạ nhiệt đồ uống): Nhiệt độ cốc trà sữa $y$ (°C) hạ dần theo thời gian $x$ (phút) theo công thức $y = 80 - 2 x$ (với $0 \leq x \leq 30$ ).

a) Lập bảng giá trị nhiệt độ cốc trà sữa sau $0, 5, 10, 15, 20, 30$ phút.
b) Sau bao nhiêu phút thì nhiệt độ cốc trà sữa hạ xuống còn $40$ °C?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $f (0) = 5, f (1) = 7, f (- 2) = 1$ . b) $g (0) = - 3, g (3) = 6, g (- 3) = 6$ . c) $h (1) = 6, h (2) = 3, h (- 3) = - 2$ . d) $- 3 x + 1 = 7 \Rightarrow - 3 x = 6 \Rightarrow x = - 2$ . e) $x^{2} + 1 = 10 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . f) $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2} \Rightarrow y \in {6, 5, 4, 3, 2}$ .

Bài 2: a) $A (1; 2)$ thuộc ( $2 = 3 (1) - 1$ ); $B (0; 1)$ không thuộc ( $1 \neq = - 1$ ); $C (- 1; - 4)$ thuộc ( $- 4 = 3 (- 1) - 1$ ). b) $M (1; - 2)$ thuộc; $N (- 2; 4)$ thuộc; $P (3; 6)$ không thuộc. c) Thay $x = 2 \Rightarrow y = 2^{2} - 2 = 2 \Rightarrow D (2; 2)$ thuộc đồ thị. d) $y_{A} = 4 (2) - 3 = 5$ . e) $3 = - x_{B} + 5 \Rightarrow x_{B} = 2$ . f) $5 = 2 m + 1 \Rightarrow 2 m = 4 \Rightarrow m = 2$ .

Bài 3: a) Đường thẳng qua $O (0; 0)$ và $(1; 2)$ . b) Đường thẳng qua $O (0; 0)$ và $(1; - 1)$ . c) Đường thẳng qua $(0; 2)$ và $(- 2; 0)$ . d) Đường thẳng qua $(0; 4)$ và $(2; 0)$ . e) Trục Oy tại $(0; - 4)$ , Trục Ox tại $(2; 0)$ . f) $a (1) + b = 3$ và $a (2) + b = 5 \Rightarrow a = 2, b = 1 \Rightarrow y = 2 x + 1$ .

Bài 4: a) $f (- 1) = 4, f (0) = 3, f (2) = 1$ . b) Bảng giá trị: $x \in {- 1, 0, 1, 2, 3} \Rightarrow y \in {4, 3, 2, 1, 0}$ . c) Vẽ đường thẳng qua $(0; 3)$ và $(3; 0)$ .

Bài 5: a) $5 = (2 m - 1) 1 + 3 \Rightarrow 2 m - 1 = 2 \Rightarrow 2 m = 3 \Rightarrow m = 1.5$ . b) $1 = (2 m - 1) (- 2) + 3 \Rightarrow - 4 m + 2 + 3 = 1 \Rightarrow - 4 m = - 4 \Rightarrow m = 1$ . c) Thay $x = 0 \Rightarrow y = (2 m - 1) 0 + 3 = 3 \Rightarrow$ Đồ thị luôn qua $C (0; 3)$ với mọi $m$ .

Bài 6: a) Giao Ox: $y = 0 \Rightarrow - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A (2; 0)$ . Giao Oy: $x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B (0; 4)$ . b) Tam giác OAB vuông tại O có $O A = 2, O B = 4 \Rightarrow S_{△ O A B} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ (đvdt).

Bài 7: a) Vẽ 2 đường thẳng trên cùng hệ trục. b) Phương trình hoành độ giao điểm: $2 x - 1 = - x + 5 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2 (2) - 1 = 3 \Rightarrow I (2; 3)$ .

Bài 8: Biến đổi $y = m (x - 2) + x + 3$ . Khi $x = 2 \Rightarrow y = m (0) + 2 + 3 = 5 \Rightarrow$ Điểm cố định $K (2; 5)$ luôn thỏa mãn với mọi $m$ .

Bài 9: a) $x = 5 \Rightarrow y = 12.000 + 14.000 (4) = 68.000$ đồng.
$x = 10 \Rightarrow y = 12.000 + 14.000 (9) = 138.000$ đồng.
b) $12.000 + 14.000 (x - 1) = 152.000 \Rightarrow 14.000 (x - 1) = 140.000 \Rightarrow x - 1 = 10 \Rightarrow x = 11$ km.

Bài 10: a) Bảng nhiệt độ: $x \in {0, 5, 10, 15, 20, 30} \Rightarrow y \in {80, 70, 60, 50, 40, 20}$ (°C).
b) $40 = 80 - 2 x \Rightarrow 2 x = 40 \Rightarrow x = 20$ phút.