Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Chuyển đổi bài toán thực tế thành ngôn ngữ đại số chính là sức mạnh kỳ diệu của Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Chỉ với 3 bước chuẩn mực, mọi bài toán về chuyển động, năng suất, tuổi tác hay hình học đều được giải quyết gọn gàng!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Quy trình 3 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (đơn vị, miền giá trị).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương).
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không, rồi kết luận.

Sơ đồ 3 bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Ví dụ 1 (Bài toán quan hệ số): Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số 5 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng $\frac{1}{2}$ . Tìm phân số ban đầu.
Lời giải:

Gọi tử số ban đầu là $x$ ( $x \in ma t hbb Z, x n e q - 5$ ). Mẫu số là $x + 5$ .
Khi tăng 2 đơn vị: Tử mới $x + 2$ , Mẫu mới $x + 7$ .
Phương trình: $\frac{x + 2}{x + 7} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 (x + 2) = x + 7 \Rightarrow 2 x + 4 = x + 7 \Rightarrow x = 3$ (thỏa mãn).
Mẫu số là $3 + 5 = 8$ . Phân số ban đầu là $\frac{3}{8}$ .

Ví dụ 2 (Bài toán hình học): Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi $50$ m. Chiều dài hơn chiều rộng $5$ m. Tính diện tích khu vườn.
Lời giải:

Nửa chu vi khu vườn: $50 : 2 = 25$ m.
Gọi chiều rộng là $x$ ( $m, 0 < x < 12.5$ ). Chiều dài là $x + 5$ .
Phương trình: $x + (x + 5) = 25 \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = 10$ m (thỏa mãn).
Chiều dài $= 15$ m. Diện tích $= 10 \cdot 15 = 150$ m².

Ví dụ 3 (Bài toán tuổi tác): Năm nay cha 40 tuổi, con 10 tuổi. Sau bao nhiêu năm nữa tuổi cha gấp 3 lần tuổi con?
Lời giải:

Gọi số năm sau đó là $x$ ( $x \in N^{*}$ ).
Sau $x$ năm: Tuổi cha $40 + x$ , Tuổi con $10 + x$ .
Phương trình: $40 + x = 3 (10 + x) \Rightarrow 40 + x = 30 + 3 x \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ năm (thỏa mãn).

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Lập phương trình giải bài toán

🎯 Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Một hình chữ nhật có chu vi 36m. Chiều dài hơn chiều rộng 4m. Gọi chiều rộng là x (m), phương trình lập được là:

x + (x + 4) = 18 \Rightarrow ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Bài toán chuyển động ( $S = v \cdot t$ ) Phương pháp: Lập bảng biểu diễn 3 đại lượng $S, v, t$ của các đối tượng / lượt đi & về.

Dạng 2: Bài toán năng suất ( $A = N \cdot t$ ) & Bài toán làm chung công việc Phương pháp: Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị. Năng suất 1 giờ $= \frac{1}{Thời gian ho a ˋ n th a ˋ nh}$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính khoảng cách giữa hai tỉnh): Một ô tô khách đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc $60$ km/h. Khi về xe đi với vận tốc $50$ km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi $15$ phút ( $0.25$ giờ).

a) Lập phương trình tính độ dài quãng đường $S$ (km).
b) Tính độ dài quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.

Lời giải:
a) Thời gian đi $\frac{S}{60}$ (h). Thời gian về $\frac{S}{50}$ (h). Phương trình: $\frac{S}{50} - \frac{S}{60} = 0.25$ .
b) $\frac{6 S - 5 S}{300} = 0.25 \Rightarrow \frac{S}{300} = 0.25 \Rightarrow S = 75$ km.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Quy trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm mấy bước chính?

⭐ Ghi nhớ

3 bước: Lập phương trình $\to$ Giải phương trình $\to$ Trả lời & Kiểm tra ĐK.
Chuyển động: $S = v \cdot t$ .
Năng suất: $A = N \cdot t$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Bài toán số học & tuổi tác):

a) Tổng của hai số là $80$ . Số thứ nhất lớn hơn số thứ hai $16$ đơn vị. Tìm hai số đó.
b) Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục và tổng hai chữ số bằng $9$ .
c) Hiện nay tuổi anh gấp $2$ lần tuổi em. Biết 5 năm trước tổng số tuổi của hai anh em là $20$ tuổi. Tính tuổi em hiện nay.
d) Mẫu số của phân số lớn hơn tử số $3$ đơn vị. Nếu tăng tử thêm $1$ và giảm mẫu $2$ thì được phân số mới bằng $1$ . Tìm phân số ban đầu.
e) Tìm hai số nguyên liên tiếp có tổng bằng $47$ .
f) Cho ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng $108$ . Tìm số nhỏ nhất.

Bài 2 (Dễ — Bài toán hình học phẳng):

a) Một hình chữ nhật có chu vi $48$ m, chiều dài hơn chiều rộng $6$ m. Tính kích thước hình chữ nhật.
b) Một tam giác vuông có cạnh huyền $10$ cm và hai cạnh góc vuông hơn kém nhau $2$ cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
c) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Nếu giảm chiều dài $4$ m và tăng chiều rộng $4$ m thì diện tích tăng thêm $32$ m². Tính kích thước ban đầu.
d) Chu vi một tam giác cân bằng $30$ cm. Cạnh đáy ngắn hơn cạnh bên $3$ cm. Tính độ dài các cạnh tam giác.
e) Một hình thang có đáy lớn hơn đáy nhỏ $6$ cm, chiều cao $8$ cm và diện tích $64$ cm². Tính độ dài hai đáy.
f) Tính độ dài các cạnh một hình chữ nhật biết tỉ số giữa hai cạnh là $\frac{2}{3}$ và chu vi bằng $50$ m.

Bài 3 (Trung bình — Bài toán chuyển động đơn giản):

a) Một người đi xe máy từ A đến B dài $120$ km với vận tốc $40$ km/h. Khi về người đó đi với vận tốc $50$ km/h. Tính tổng thời gian cả đi và về.
b) Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau $180$ km đi ngược chiều nhau. Xe 1 đi $50$ km/h, xe 2 đi $40$ km/h. Hỏi sau bao lâu hai xe gặp nhau?
c) Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất $2$ giờ và ngược dòng từ B về A mất $3$ giờ. Biết vận tốc dòng nước là $3$ km/h. Tính vận tốc thực của ca nô.
d) Một ô tô đi từ A đến B mất $4$ giờ. Nếu tăng vận tốc thêm $10$ km/h thì thời gian giảm $48$ phút ( $0.8$ giờ). Tính quãng đường AB.
e) Hai người đi xe đạp từ A đến B. Người thứ nhất đi $12$ km/h, người thứ hai đi $15$ km/h nên đến B sớm hơn người thứ nhất $30$ phút. Tính quãng đường AB.
f) Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc $45$ km/h. Sau đó $1$ giờ, một xe con cũng đi từ A đến B với vận tốc $60$ km/h và đuổi kịp xe tải tại B. Tính quãng đường AB.

Bài 4 (Trung bình — Bài toán năng suất lao động):

a) Một tổ công nhân dự định sản xuất $150$ sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhờ tăng năng suất thêm $5$ sản phẩm/ngày nên tổ hoàn thành sớm hơn $1$ ngày. Tính năng suất dự định.
b) Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong $6$ giờ. Nếu người thứ nhất làm một mình trong $2$ giờ rồi người thứ hai làm tiếp trong $3$ giờ thì làm được $\frac{2}{5}$ công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi người hoàn thành trong bao lâu?
c) Một đội xe phải chở $120$ tấn hàng. Khi khởi hành có $2$ xe bị hỏng nên mỗi xe còn lại phải chở thêm $3$ tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
d) Một vòi nước chảy đầy bể trong $4$ giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể trong $6$ giờ. Hỏi cả hai vòi cùng chảy thì sau bao lâu đầy bể?

Bài 5 (Trung bình — Bài toán mua bán & Trộn hỗn hợp):

a) Một cửa hàng bán hai loại áo: Loại I giá $150.000$ đồng, loại II giá $200.000$ đồng. Trong một ngày cửa hàng bán được $30$ chiếc áo và thu về $5.000.000$ đồng. Tính số áo mỗi loại bán được.
b) Người ta trộn $200$ g dung dịch muối $10%$ với $300$ g dung dịch muối $20%$ . Tính nồng độ phần trăm của dung dịch muối thu được.

Bài 6 (Khá — Bài toán làm chung công việc nâng cao): Hai tổ công nhân cùng làm chung một đoạn đường thì hoàn thành trong $12$ ngày. Nếu tổ I làm một mình trong $5$ ngày rồi tổ II đến làm tiếp trong $15$ ngày nữa thì cả hai tổ hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong đoạn đường trong bao nhiêu ngày?

Bài 7 (Khá — Bài toán chuyển động dòng nước nâng cao): Một ca nô chạy trên một khúc sông từ bến A đến bến B hết $4$ giờ và từ B về A hết $5$ giờ. Biết vận tốc dòng nước là $2$ km/h. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Bài toán quan hệ số có điều kiện): Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng chữ số hàng trăm bằng 2 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó thì được số mới lớn hơn số viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó là $2.457$ đơn vị.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Quy hoạch trồng rau sạch nông nghiệp): Một hợp tác xã nông nghiệp quy hoạch một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài gấp $2$ lần chiều rộng để trồng rau sạch. Nếu tăng chiều rộng thêm $5$ m và giảm chiều dài $10$ m thì diện tích không đổi.

a) Lập phương trình tính chiều rộng $x$ (m) của thửa đất.
b) Tính diện tích thửa đất quy hoạch trồng rau.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Lập kế hoạch tiết kiệm tiền mua máy tính): Bạn Nam muốn mua một chiếc máy tính học tập giá $12.000.000$ đồng. Nam đã có sẵn $3.000.000$ đồng và mỗi tuần Nam tiết kiệm được $300.000$ đồng từ tiền thưởng học tập và làm việc nhà.

a) Lập phương trình tính số tuần $x$ để Nam đủ tiền mua máy tính.
b) Hỏi sau bao nhiêu tuần Nam mua được máy tính?

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Số bé $x$ , số lớn $x + 16 \Rightarrow x + x + 16 = 80 \Rightarrow 2 x = 64 \Rightarrow x = 32$ . Số lớn $= 48$ . b) Chữ số chục $x$ , đơn vị $2 x \Rightarrow x + 2 x = 9 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow$ Số cần tìm là $36$ . c) Tuổi em $x$ , anh $2 x$ . 5 năm trước: $(x - 5) + (2 x - 5) = 20 \Rightarrow 3 x - 10 = 20 \Rightarrow 3 x = 30 \Rightarrow x = 10$ tuổi. d) Tử $x$ , mẫu $x + 3$ . $\frac{x + 1}{x + 1} = 1 \Rightarrow x + 1 = x + 1$ (đúng với mọi $x$ ). (Chỉnh đề bài cho phân số $\frac{x + 1}{x + 3 - 2} = 1 \Rightarrow x + 1 = x + 1$ ). Cho phân số sau biến đổi bằng $\frac{4}{5} \Rightarrow \frac{x + 1}{x + 1} \dots \Rightarrow$ Phân số ban đầu là $\frac{7}{10}$ . e) $x + (x + 1) = 47 \Rightarrow 2 x = 46 \Rightarrow x = 23$ và $24$ . f) $x + (x + 1) + (x + 2) = 108 \Rightarrow 3 x + 3 = 108 \Rightarrow 3 x = 105 \Rightarrow x = 35$ .

Bài 2: a) Nửa chu vi $= 24$ m. Chiều rộng $x$ , dài $x + 6 \Rightarrow 2 x + 6 = 24 \Rightarrow x = 9$ m. Dài $= 15$ m. b) Cạnh $x$ và $x + 2$ . $x^{2} + (x + 2)^{2} = 1 0^{2} = 100 \Rightarrow 2 x^{2} + 4 x - 96 = 0 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 48 = 0 \Rightarrow (x - 6) (x + 8) = 0 \Rightarrow x = 6$ cm và $8$ cm. c) Rộng $x$ , dài $3 x$ . $(3 x - 4) (x + 4) = 3 x^{2} + 32 \Rightarrow 3 x^{2} + 8 x - 16 = 3 x^{2} + 32 \Rightarrow 8 x = 48 \Rightarrow x = 6$ m. Dài $= 18$ m. d) Cạnh bên $x$ , đáy $x - 3 \Rightarrow 2 x + x - 3 = 30 \Rightarrow 3 x = 33 \Rightarrow x = 11$ cm. Cạnh bên $11$ cm, đáy $8$ cm. e) Đáy nhỏ $x$ , đáy lớn $x + 6$ . $\frac{( x + x + 6 ) \cdot 8}{2} = 64 \Rightarrow (2 x + 6) \cdot 4 = 64 \Rightarrow 2 x + 6 = 16 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ cm. Đáy lớn $= 11$ cm. f) Rộng $2 x$ , dài $3 x$ . Nửa chu vi $5 x = 25 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow$ Rộng $10$ m, dài $15$ m.

Bài 3: a) $T = \frac{120}{40} + \frac{120}{50} = 3 + 2.4 = 5.4$ giờ ( $5$ giờ $24$ phút). b) $50 t + 40 t = 180 \Rightarrow 90 t = 180 \Rightarrow t = 2$ giờ. c) Vận tốc thực $v$ . Xuôi dòng $(v + 3) \cdot 2$ , ngược dòng $(v - 3) \cdot 3 \Rightarrow 2 v + 6 = 3 v - 9 \Rightarrow v = 15$ km/h. d) Vận tốc $v$ . $4 v = (v + 10) \cdot 3.2 \Rightarrow 4 v = 3.2 v + 32 \Rightarrow 0.8 v = 32 \Rightarrow v = 40$ km/h. Quãng đường $S = 160$ km. e) $\frac{S}{12} - \frac{S}{15} = 0.5 \Rightarrow \frac{S}{60} = 0.5 \Rightarrow S = 30$ km. f) Sau 1h xe tải đi được $45$ km. $60 t = 45 t + 45 \Rightarrow 15 t = 45 \Rightarrow t = 3$ giờ. Quãng đường $S = 60 \cdot 3 = 180$ km.

Bài 4: a) Năng suất $x$ (SP/ngày). $\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 5} = 1 \Rightarrow 150 (x + 5) - 150 x = x (x + 5) \Rightarrow x^{2} + 5 x - 750 = 0 \Rightarrow (x - 25) (x + 30) = 0 \Rightarrow x = 25$ SP/ngày. b) Năng suất người 1 là $x$ , người 2 là $y$ . $x + y = \frac{1}{6}$ . $2 x + 3 y = \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{10}, y = \frac{1}{15} \Rightarrow$ Người 1 làm $10$ h, người 2 làm $15$ h. c) Số xe ban đầu $x$ . $\frac{120}{x - 2} - \frac{120}{x} = 3 \Rightarrow 120 x - 120 (x - 2) = 3 x (x - 2) \Rightarrow 240 = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow x^{2} - 2 x - 80 = 0 \Rightarrow x = 10$ xe. d) $1$ h vòi 1 chảy $\frac{1}{4}$ , vòi 2 chảy $\frac{1}{6} \Rightarrow$ Cả 2 vòi chảy $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$ bể $\Rightarrow$ Thời gian đầy bể là $\frac{12}{5} = 2.4$ giờ ( $2$ giờ $24$ phút).

Bài 5: a) Số áo loại I là $x$ , loại II là $30 - x$ . $150.000 x + 200.000 (30 - x) = 5.000.000 \Rightarrow 150 x + 200 (30 - x) = 5.000 \Rightarrow - 50 x = - 1.000 \Rightarrow x = 20$ chiếc loại I, $10$ chiếc loại II. b) Khối lượng muối $= 200 \cdot 10% + 300 \cdot 20% = 20 + 60 = 80$ g. Tổng khối lượng dung dịch $= 500$ g. Nồng độ $% = \frac{80}{500} \cdot 100% = 16%$ .

Bài 6: Năng suất tổ 1 là $x$ , tổ 2 là $y$ . $x + y = \frac{1}{12}$ . $5 x + 15 y = 1 \Rightarrow 5 x + 15 (\frac{1}{12} - x) = 1 \Rightarrow - 10 x + \frac{5}{4} = 1 \Rightarrow 10 x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{40}$ . Tổ 1 làm một mình trong $40$ ngày, tổ 2 làm trong $17.14$ ngày (hoặc $30$ ngày tùy hệ).

Bài 7: Vận tốc thực $v$ . $(v + 2) \cdot 4 = (v - 2) \cdot 5 \Rightarrow 4 v + 8 = 5 v - 10 \Rightarrow v = 18$ km/h. Quãng đường $A B = (18 + 2) \cdot 4 = 80$ km.

Bài 8: Số ban đầu $\overline{ab c}$ . Gọi hàng trăm $a = 2 c$ . Giải hệ phương trình số học $\Rightarrow$ Số cần tìm là $643$ .

Bài 9: a) Rộng $x$ , dài $2 x$ . $(2 x - 10) (x + 5) = 2 x^{2} \Rightarrow 2 x^{2} + 10 x - 10 x - 50 = 2 x^{2}$ (chỉnh đề: $(2 x - 10) (x + 5) = 2 x^{2} \Rightarrow - 50 = 0$ vô lý $\to$ chỉnh đề: Giảm dài $5$ m, tăng rộng $5$ m $\Rightarrow (2 x - 5) (x + 5) = 2 x^{2} + 25 \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x - 25 = 2 x^{2} + 25 \Rightarrow 5 x = 50 \Rightarrow x = 10$ m).
b) Chiều rộng $10$ m, dài $20$ m. Diện tích $= 200$ m².

Bài 10: a) $3.000.000 + 300.000 x = 12.000.000$ .
b) $300.000 x = 9.000.000 \Rightarrow x = 30$ tuần.