Lớp 8 · Chương 7: Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b = 0$ ( $a \neq = 0$ ) là nền tảng quan trọng nhất của Đại số THCS. Học cách làm chủ hai quy tắc biến đổi tương đương: Quy tắc chuyển vế và Quy tắc nhân sẽ giúp bạn tìm nghiệm chính xác!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa & Quy tắc giải phương trình bậc nhất

Định nghĩa: Phương trình dạng $a x + b = 0$ , với $a, b$ là hai số đã cho và $a \neq = 0$ , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.
Công thức nghiệm: $a x + b = 0 \Leftrightarrow a x = - b \Leftrightarrow x = - \frac{b}{a}$

Sơ đồ quy trình giải phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1: Giải phương trình $4 x - 12 = 0$ .
Lời giải: $4 x = 12 \Leftrightarrow x = \frac{12}{4} = 3$ . Tập nghiệm $S = {3}$ .

Ví dụ 2: Giải phương trình $7 - 2 x = 0$ .
Lời giải: $- 2 x = - 7 \Leftrightarrow x = \frac{- 7}{- 2} = 3.5$ . Tập nghiệm $S = {3.5}$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình $3 x + 4 = 0$ .
Lời giải: $3 x = - 4 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{3}$ . Tập nghiệm $S = {- \frac{4}{3}}$ .

2. Phương trình đưa được về dạng $a x + b = 0$

Các bước thực hiện:
1. Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu (nếu có chứa mẫu là số).
2. Thực hiện phép nhân để bỏ dấu ngoặc.
3. Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
4. Thu gọn và giải phương trình thu được.

Ví dụ 1: Giải phương trình $3 (x - 2) = 2 x + 1$ .
Lời giải: $3 x - 6 = 2 x + 1 \Leftrightarrow 3 x - 2 x = 1 + 6 \Leftrightarrow x = 7$ .

Ví dụ 2: Giải phương trình $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} = 2$ .
Lời giải: Quy đồng mẫu chung 6:
$3 (x + 1) - 2 (x - 2) = 12 \Leftrightarrow 3 x + 3 - 2 x + 4 = 12 \Leftrightarrow x + 7 = 12 \Leftrightarrow x = 5$ .

Ví dụ 3: Giải phương trình $2 (x - 1) - 3 (x + 2) = - 8$ .
Lời giải: $2 x - 2 - 3 x - 6 = - 8 \Leftrightarrow - x - 8 = - 8 \Leftrightarrow - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Phương trình bậc nhất

🎯 Luyện tập Phương trình bậc nhất một ẩn

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Nghiệm của phương trình 2x - 6 = 0 là:

2x - 6 = 0 \Rightarrow x = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất và phương trình đưa về dạng $a x + b = 0$ Phương pháp: Bỏ ngoặc $\to$ Chuyển vế $\to$ Thu gọn $\to$ $x = - \frac{b}{a}$ .

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình $a x + b = 0$ theo tham số Phương pháp:

Nếu $a \neq = 0$ : Phương trình có 1 nghiệm duy nhất $x = - b / a$ .
Nếu $a = 0, b = 0$ : Phương trình vô số nghiệm.
Nếu $a = 0, b \neq = 0$ : Phương trình vô nghiệm.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính tiền cước điện thoại): Gói cước điện thoại có giá cố định $50.000$ đồng/tháng và $1.000$ đồng cho mỗi phút gọi ngoại mạng. Tháng này hóa đơn của anh An là $120.000$ đồng.

a) Lập phương trình tính số phút gọi ngoại mạng $x$ của anh An.
b) Giải phương trình để tìm số phút gọi.

Lời giải:
a) Phương trình: $50.000 + 1.000 x = 120.000$ .
b) $1.000 x = 120.000 - 50.000 = 70.000 \Rightarrow x = 70$ phút.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:

⭐ Ghi nhớ

Dạng chuẩn: $a x + b = 0$ ( $a \neq = 0$ ).
Nghiệm: $x = - \frac{b}{a}$ .
Quy tắc: Chuyển vế phải đổi dấu.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Giải phương trình bậc nhất cơ bản): Giải các phương trình sau:

a) $3 x - 9 = 0$ b) $5 x + 15 = 0$ c) $7 - 2 x = 0$

d) $- 4 x + 8 = 0$ e) $\frac{1}{2} x - 3 = 0$ f) $2.5 x - 10 = 0$

Bài 2 (Dễ — Phương trình chứa ẩn ở 2 vế): Giải các phương trình sau:

a) $5 x - 3 = 2 x + 6$ b) $3 x + 7 = 8 x - 13$ c) $4 - 3 x = 2 x - 11$

d) $x - 5 = 3 x + 7$ e) $2 (x + 1) = x + 5$ f) $3 (x - 2) = 4 (x + 1)$

Bài 3 (Trung bình — Phương trình chứa dấu ngoặc và phân số):

a) $2 (x - 3) - 3 (x + 1) = 5$
b) $5 (x - 1) - 2 (x + 3) = 3 (x - 2)$
c) $\frac{x + 1}{2} + \frac{x + 2}{3} = 5$
d) $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 1}{4} = 1$
e) $\frac{x - 3}{4} = \frac{2 x - 1}{5}$
f) $\frac{3 x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} = \frac{5 x - 4}{6}$

Bài 4 (Trung bình — Phương trình tích đơn giản đưa về bậc nhất):

a) $(x - 3) (2 x + 4) = 0$
b) $(3 x - 6) (x + 5) = 0$
c) $x^{2} - 4 x = 0$
d) $x^{2} - 9 = 0$
e) $(2 x - 1)^{2} - 9 = 0$
f) $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Bài 5 (Trung bình — Tìm điều kiện của tham số m để PT có nghiệm): Cho phương trình $(m - 2) x + 3 = 0$ .

a) Tìm $m$ để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn.
b) Tìm $m$ để phương trình nhận $x = 3$ làm nghiệm.
c) Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.

Bài 6 (Khá — Phương trình có chứa tham số m): Giải và biện luận phương trình $(m^{2} - 4) x = m - 2$ theo tham số $m$ .

Bài 7 (Khá — Chứng minh hai phương trình tương đương): Chứng minh hai phương trình sau tương đương: $3 x - 6 = 0$ và $(x - 2) (x^{2} + 1) = 0$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Phương trình chứa ẩn ở mẫu đưa về bậc nhất): Giải phương trình: $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Tính tiền điện sinh hoạt bậc thang): Hóa đơn tiền điện sinh hoạt được tính như sau: 50 kWh đầu tiên giá $1.800$ đồng/kWh, từ kWh 51 trở đi giá $2.200$ đồng/kWh. Tháng này nhà bạn Bình phải trả $200.000$ đồng (chưa tính thuế).

a) Lập phương trình tính số điện $x$ (kWh) tiêu thụ trong tháng của nhà Bình.
b) Giải phương trình để tính số điện $x$ .

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Cân bằng phản ứng hóa học): Một kim loại R hóa trị II tác dụng vừa đủ với $14.6$ gam dung dịch HCl $10%$ thu được $0.04$ mol khí $H_{2}$ .

a) Viết phương trình phản ứng hóa học.
b) Lập phương trình toán học để tính khối lượng mol $M_{R}$ của kim loại R và xác định tên kim loại R.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $x = 3$ . b) $x = - 3$ . c) $x = 3.5$ . d) $x = 2$ . e) $x = 6$ . f) $x = 4$ .

Bài 2: a) $3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ . b) $- 5 x = - 20 \Rightarrow x = 4$ . c) $- 5 x = - 15 \Rightarrow x = 3$ . d) $- 2 x = 12 \Rightarrow x = - 6$ . e) $2 x + 2 = x + 5 \Rightarrow x = 3$ . f) $3 x - 6 = 4 x + 4 \Rightarrow - x = 10 \Rightarrow x = - 10$ .

Bài 3: a) $2 x - 6 - 3 x - 3 = 5 \Rightarrow - x - 9 = 5 \Rightarrow x = - 14$ . b) $5 x - 5 - 2 x - 6 = 3 x - 6 \Rightarrow 3 x - 11 = 3 x - 6 \Rightarrow 0 x = 5$ (Vô nghiệm). c) Quy đồng 6: $3 (x + 1) + 2 (x + 2) = 30 \Rightarrow 5 x + 7 = 30 \Rightarrow x = 4.6$ . d) Quy đồng 12: $4 (2 x - 1) - 3 (x + 1) = 12 \Rightarrow 8 x - 4 - 3 x - 3 = 12 \Rightarrow 5 x = 19 \Rightarrow x = 3.8$ . e) Quy đồng 20: $5 (x - 3) = 4 (2 x - 1) \Rightarrow 5 x - 15 = 8 x - 4 \Rightarrow - 3 x = 11 \Rightarrow x = - \frac{11}{3}$ . f) Quy đồng 6: $3 (3 x - 1) - 2 (x + 2) = 5 x - 4 \Rightarrow 9 x - 3 - 2 x - 4 = 5 x - 4 \Rightarrow 7 x - 7 = 5 x - 4 \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = 1.5$ .

Bài 4: a) $x = 3$ hoặc $x = - 2$ . b) $x = 2$ hoặc $x = - 5$ . c) $x (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$ . d) $x = \pm 3$ . e) $(2 x - 1 - 3) (2 x - 1 + 3) = 0 \Rightarrow (2 x - 4) (2 x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = - 1$ . f) $(x - 3)^{2} = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Bài 5: a) $m - 2 \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = 2$ . b) Thay $x = 3 \Rightarrow (m - 2) 3 + 3 = 0 \Rightarrow 3 m - 6 + 3 = 0 \Rightarrow 3 m = 3 \Rightarrow m = 1$ . c) Vô nghiệm khi $m - 2 = 0$ và $3 \neq = 0 \Rightarrow m = 2$ .

Bài 6:

Nếu $m \neq = \pm 2$ : PT có 1 nghiệm $x = \frac{m - 2}{( m - 2 ) ( m + 2 )} = \frac{1}{m + 2}$ .
Nếu $m = 2$ : PT trở thành $0 x = 0$ (vô số nghiệm).
Nếu $m = - 2$ : PT trở thành $0 x = - 4$ (vô nghiệm).

Bài 7: PT (1): $x = 2$ . PT (2): $(x - 2) (x^{2} + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ (vì $x^{2} + 1 > 0$ ). Cả hai PT có cùng tập nghiệm $S = {2} \Rightarrow$ Tương đương.

Bài 8: ĐKXĐ: $x \neq = \pm 1$ .
$(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 4 \Rightarrow (x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1) = 4 \Rightarrow 4 x = 4 \Rightarrow x = 1$ (Loại vì vi phạm ĐKXĐ).
Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 9: a) 50 kWh đầu $= 50 \cdot 1.800 = 90.000$ đồng.
Số tiền còn lại $= 200.000 - 90.000 = 110.000$ đồng.
Phương trình: $90.000 + 2.200 (x - 50) = 200.000$ .
b) $2.200 (x - 50) = 110.000 \Rightarrow x - 50 = 50 \Rightarrow x = 100$ kWh.

Bài 10: a) $R + 2 H C l \to R C l_{2} + H_{2}$ .
b) $n_{H_{2}} = 0.04$ mol $\Rightarrow n_{R} = 0.04$ mol.
Theo bài $m_{H C l} = 14.6 \cdot 10% = 1.46$ g $\Rightarrow n_{H C l} = 0.04$ mol.
Phương trình khối lượng $\Rightarrow M_{R} = 24$ (g/mol). Kim loại R là Magiê (Mg).