Lớp 8 · Chương 6: Phân thức đại số

Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Sau khi đã làm chủ phép cộng và trừ, Phép nhân và Phép chia Phân thức đại số sẽ giúp bạn đơn giản hóa những biểu thức phức tạp hơn rất nhiều nhờ vào kĩ năng rút gọn nhân tử chung và nhân với phân thức nghịch đảo!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Phép nhân phân thức đại số

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B} c d o t df r a c C D = df r a c A c d o tC B c d o t D$
Tính chất:
- Giao hoán: $df r a c A B c d o t df r a c C D = df r a c C D c d o t df r a c A B$
- Kết hợp: $l e f t (df r a c A B c d o t df r a c C D r i g h t) c d o t df r a c E F = df r a c A B c d o t l e f t (df r a c C D c d o t df r a c E F r i g h t)$
- Phân phối đối với phép cộng: $df r a c A B l e f t (df r a c C D + df r a c E F r i g h t) = df r a c A B c d o t df r a c C D + df r a c A B c d o t df r a c E F$

Sơ đồ phép nhân phân thức đại số

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính $df r a c 3 x x + 1 c d o t df r a c x^{2} - 1 6 x^{2}$ .
Lời giải: $df r a c 3 x \cdot (x - 1) (x + 1) (x + 1) \cdot 6 x^{2} = df r a c x - 1 2 x$ .

Ví dụ 2: Tính nhanh $A = df r a c x^{2} - 4 x + 3 c d o t df r a c x + 3 x - 2$ .
Lời giải: $df r a c (x - 2) (x + 2) (x + 3) (x + 3) (x - 2) = x + 2$ .

Ví dụ 3: Thực hiện phép tính $df r a c x - 1 x c d o t l e f t (df r a c x + 1 x - 1 + df r a c 1 x - 1 r i g h t)$ .
Lời giải: $= df r a c x - 1 x c d o t df r a c x + 2 x - 1 = df r a c x + 2 x$ .

2. Phân thức nghịch đảo & Phép chia phân thức đại số

Phân thức nghịch đảo: Phân thức $df r a c B A$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $df r a c A B$ (với $A, B$ là các đa thức khác 0).
Quy tắc chia: Muốn chia phân thức $df r a c A B$ cho phân thức $df r a c C D$ khác 0, ta nhân $df r a c A B$ với phân thức nghịch đảo của $df r a c C D$ : $df r a c A B : df r a c C D = df r a c A B c d o t df r a c D C = df r a c A c d o t D B c d o tC$

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia $df r a c x + 2 x - 1 : df r a c x + 2 x + 3$ .
Lời giải: $df r a c x + 2 x - 1 c d o t df r a c x + 3 x + 2 = df r a c x + 3 x - 1$ .

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia $df r a c x^{2} - 9 x + 2 : (x - 3)$ .
Lời giải: $df r a c (x - 3) (x + 3) x + 2 c d o t df r a c 1 x - 3 = df r a c x + 3 x + 2$ .

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $B = df r a c x x - 1 : df r a c x + 1 x - 1 : df r a c x x + 1$ .
Lời giải: $B = df r a c x x - 1 c d o t df r a c x - 1 x + 1 c d o t df r a c x + 1 x = 1$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Phép nhân & Chia phân thức

🎯 Luyện tập Phép nhân & Phép chia Phân thức đại số

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Thực hiện phép tính \dfrac{x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{x - 1}{x + 2} được kết quả:

\dfrac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Thực hiện phép nhân, chia phân thức Phương pháp: Phân tích thành nhân tử $\to$ Đổi phép chia thành phép nhân nghịch đảo $\to$ Rút gọn.

Dạng 2: Biến đổi biểu thức phức hợp (kết hợp $+, -, \cdot, :$ ) Phương pháp: Thực hiện theo thứ tự trong ngoặc trước, nhân chia trước, cộng trừ sau.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính thời gian vận chuyển hàng hóa hai chiều): Một tàu thủy chở hàng đi xuôi dòng $120$ km với vận tốc dòng nước là $v_{0} = 3$ km/h và vận tốc thực của tàu là $v$ (km/h).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số giữa thời gian ngược dòng $T_{ng ư ợc}$ và thời gian xuôi dòng $T_{xu \overset{o}{ˆ} i}$ .
b) Tính tỉ số thời gian đó khi vận tốc thực của tàu $v = 27$ km/h.

Lời giải:
a) $T_{xu \overset{o}{ˆ} i} = \frac{120}{v + 3}$ , $T_{ng ư ợc} = \frac{120}{v - 3}$ .
Tỉ số $R = \frac{T _{ng ư ợc}}{T _{xu \overset{o}{ˆ} i}} = \frac{120}{v - 3} : \frac{120}{v + 3} = \frac{120}{v - 3} \cdot \frac{v + 3}{120} = \frac{v + 3}{v - 3}$ .
b) Thay $v = 27 \Rightarrow R = \frac{27 + 3}{27 - 3} = \frac{30}{24} = 1.25$ (lần).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Muốn nhân hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ , ta thực hiện:

⭐ Ghi nhớ

Nhân phân thức: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ .
Chia phân thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ .
Phân thức nghịch đảo: Phân thức nghịch đảo của $\frac{A}{B}$ là $\frac{B}{A}$ ( $A, B \neq = 0$ ).

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Phép nhân phân thức cơ bản): Thực hiện các phép tính:

a) $\frac{3 x}{2 y} \cdot \frac{4 y ^{2}}{9 x ^{2}}$ b) $\frac{x - 2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}$ c) $\frac{x ^{2} - 4}{3 x} \cdot \frac{6}{x + 2}$

d) $\frac{x + 3}{x ^{2} - 9} \cdot (x - 3)$ e) $\frac{5 x + 10}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 2}$ f) $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 5 x} \cdot \frac{x}{x - 5}$

Bài 2 (Dễ — Phép chia phân thức cơ bản): Thực hiện các phép tính:

a) $\frac{2 x}{y} : \frac{4 x ^{2}}{y ^{2}}$ b) $\frac{x + 2}{x - 3} : \frac{x + 2}{x - 3}$ c) $\frac{x ^{2} - 1}{x + 2} : (x - 1)$

d) $\frac{3 x}{x ^{2} - 4} : \frac{6 x ^{2}}{x + 2}$ e) $\frac{x - 1}{x + 3} : \frac{1 - x}{x + 3}$ f) $\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x} : (x + 2)$

Bài 3 (Trung bình — Thực hiện phép tính nhân chia kết hợp):

a) $\frac{x ^{2} - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 1} : (x - 1)$
b) $\frac{x}{x - 3} : \frac{x + 2}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x}$
c) $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 3} : \frac{x + 3}{x + 1}$
d) $\frac{2 x + 4}{x ^{2} - 1} : \frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$
e) $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) : \frac{1}{x ^{2} + x}$
f) $(\frac{x}{x + 1} + 1) : (1 - \frac{3 x ^{2}}{1 - x ^{2}})$

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn biểu thức phức hợp):

a) $P = (\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{x ^{2} - 1}) : \frac{1}{x ^{2} + x}$
b) $Q = (\frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4}$
c) $R = (\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}) : \frac{4 x}{x ^{2} - 1}$
d) $S = (\frac{2}{x + 2} - \frac{4}{x ^{2} + 4 x + 4}) : \frac{x}{x ^{2} - 4}$
e) $T = \frac{x ^{3} - 8}{x + 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x + 4} : (x - 2)$
f) $K = (x - \frac{x ^{2}}{x + 1}) : \frac{x}{x + 1}$

Bài 5 (Trung bình — Tìm x thỏa mãn đẳng thức phân thức):

a) Tìm $x$ biết $\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x - 3} = 2$ .
b) Tìm $x$ biết $\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} : \frac{x - 2}{x + 1} = 5$ .
c) Tìm $x$ biết $(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}) \cdot (x^{2} - 1) = 6$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến): Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$ ( $x \neq = \pm 1$ ): $A = (\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x}$

Bài 7 (Khá — Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau rút gọn): Cho $B = (\frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) : \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} - 4}$ .

a) Rút gọn biểu thức $B$ .
b) Tìm giá trị của $x$ để $B$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Đẳng thức tích chuỗi phân thức): Tính tích: $P = (1 - \frac{1}{2 ^{2}}) (1 - \frac{1}{3 ^{2}}) (1 - \frac{1}{4 ^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n ^{2}})$

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Năng suất gặt lúa liên hợp): Hai máy gặt cùng gặt một cánh đồng. Máy 1 gặt xong trong $x$ giờ, máy 2 gặt nhanh gấp 1.5 lần máy 1 (mất $\frac{x}{1.5} = \frac{2 x}{3}$ giờ).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số năng suất gặt trong 1 giờ giữa máy 2 và máy 1.
b) Tính thời gian cả 2 máy cùng gặt xong cánh đồng theo $x$ .

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Pha chế dung dịch hóa chất): Pha $m$ gam muối vào $V_{1}$ ml nước thu được dung dịch có nồng độ $C_{1} = \frac{m}{V _{1}}$ . Sau đó thêm $V_{2}$ ml nước vào thu được dung dịch mới nồng độ $C_{2} = \frac{m}{V _{1} + V _{2}}$ .

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số nồng độ $\frac{C _{1}}{C _{2}}$ .
b) Tính tỉ số nồng độ khi $V_{1} = 200$ ml, $V_{2} = 100$ ml.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{12 x y ^{2}}{18 x ^{2} y} = \frac{2 y}{3 x}$ . b) $1$ . c) $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) \cdot 6}{3 x ( x + 2 )} = \frac{2 ( x - 2 )}{x}$ . d) $\frac{x + 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot (x - 3) = 1$ . e) $\frac{5 ( x + 2 )}{x + 2} = 5$ . f) $\frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x + 5 )} \cdot \frac{x}{x - 5} = 1$ .

Bài 2: a) $\frac{2 x}{y} \cdot \frac{y ^{2}}{4 x ^{2}} = \frac{y}{2 x}$ . b) $1$ . c) $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{x + 2}$ . d) $\frac{3 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{x + 2}{6 x ^{2}} = \frac{1}{2 x ( x - 2 )}$ . e) $- 1$ . f) $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ( x + 2 )} = \frac{x + 2}{x}$ .

Bài 3: a) $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 \Rightarrow \frac{x + 1}{x + 1} = 1$ . b) $\frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x} = 1$ . c) $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 3} = 1$ . d) $\frac{2 ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{2} = 1$ . e) $\frac{1}{x ( x + 1 )} \cdot x (x + 1) = 1$ . f) $\frac{2 x + 1}{x + 1} : \frac{1 - x ^{2} - 3 x ^{2}}{1 - x ^{2}} = \dots$

Bài 4: a) $P = \frac{x + 1 - x}{x ^{2} - 1} \cdot x (x + 1) = \frac{1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot x (x + 1) = \frac{x}{x - 1}$ . b) $Q = \frac{x ( x + 2 ) - 2 ( x - 2 )}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4} = \frac{x ^{2} + 4}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4} = 1$ . c) $R = \frac{( x + 1 ) ^{2} - ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x} = \frac{4 x}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x} = 1$ . d) $S = \frac{2 ( x + 2 ) - 4}{( x + 2 ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x} = \frac{2 x}{( x + 2 ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x} = \frac{2 ( x - 2 )}{x + 2}$ . e) $T = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{x + 1} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} + 2 x + 4} \cdot \frac{1}{x - 2} = x - 1$ . f) $K = \frac{x ^{2} + x - x ^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x} = 1$ .

Bài 5: a) ĐKXĐ: $x \neq = - 2, x \neq = 3$ . Phương trình: $\frac{x - 1}{x - 3} = 2 \Rightarrow x - 1 = 2 x - 6 \Rightarrow x = 5$ (thỏa mãn). b) ĐKXĐ: $x \neq = - 1, x \neq = 2$ . Phương trình: $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$ (thỏa mãn). c) ĐKXĐ: $x \neq = \pm 1$ . $\frac{2 x}{x ^{2} - 1} \cdot (x^{2} - 1) = 6 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ (thỏa mãn).

Bài 6: $A = \frac{4 x}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 x} = 1$ (hằng số, không phụ thuộc $x$ ).

Bài 7: a) $B = \frac{x ( x + 2 ) + ( x - 2 )}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2} = \frac{x ^{2} + 3 x - 2}{x ^{2} + 2}$ .
b) Đánh giá GTNN của $B$ .

Bài 8: $P = \frac{1 \cdot 3}{2 ^{2}} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 ^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 ^{2}} \dots \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 1}{2 n}$ .

Bài 9: a) Tỉ số $= \frac{1}{2 x /3} : \frac{1}{x} = \frac{3}{2 x} \cdot x = 1.5$ (lần).
b) Tổng năng suất $/1$ h $= \frac{1}{x} + \frac{1.5}{x} = \frac{2.5}{x} \Rightarrow$ Thời gian cùng làm $= \frac{x}{2.5} = 0.4 x$ giờ.

Bài 10: a) $\frac{C _{1}}{C _{2}} = \frac{m}{V _{1}} : \frac{m}{V _{1} + V _{2}} = \frac{V _{1} + V _{2}}{V _{1}} = 1 + \frac{V _{2}}{V _{1}}$ .
b) Thay $V_{1} = 200, V_{2} = 100 \Rightarrow \frac{C _{1}}{C _{2}} = 1 + \frac{100}{200} = 1.5$ lần.