Lớp 8 · Chương 6: Phân thức đại số

Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Giống như cộng trừ phân số, Phép cộng và Phép trừ Phân thức đại số tuân theo quy tắc quy đồng mẫu thức. Nhờ các tính chất giao hoán, kết hợp và phân thức đối, ta có thể tính toán nhanh chóng và tối ưu hóa các biểu thức đại số phức tạp!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Phép cộng phân thức đại số

Cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$
Khác mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Tính chất: Phép cộng phân thức có các tính chất:
- Giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + df r a c A B$
- Kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} = \frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$

Sơ đồ phép cộng phân thức đại số

Ví dụ 1: Tính $\frac{3 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 6}{x + 1}$ .
Lời giải: $\frac{( 3 x - 1 ) + ( 2 x + 6 )}{x + 1} = \frac{5 x + 5}{x + 1} = \frac{5 ( x + 1 )}{x + 1} = 5$ .

Ví dụ 2: Tính $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}$ .
Lời giải: $M T C = (x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ .
$\frac{x + 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} + \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 2 ) + ( x - 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{2 x}{x ^{2} - 4}$ .

Ví dụ 3: Tính nhanh $S = \frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ .
Lời giải: Áp dụng tách $\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \Rightarrow S = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{2}{x ( x + 2 )}$ .

2. Phân thức đối & Phép trừ phân thức đại số

Phân thức đối: Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ ký hiệu là $- \frac{A}{B}$ . Ta có $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B} = \frac{A}{- B}$ .
Phép trừ: Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ : $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính $\frac{x + 3}{x - 1} - \frac{4}{x - 1}$ .
Lời giải: $\frac{x + 3 - 4}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} = 1$ .

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính $\frac{x}{x - 3} - \frac{9}{x ( x - 3 )}$ .
Lời giải: $M T C = x (x - 3)$ .
$\frac{x ^{2} - 9}{x ( x - 3 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x - 3 )} = \frac{x + 3}{x}$ .

Ví dụ 3: Thực hiện phép tính $\frac{x ^{2} + 2}{x ^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ .
Lời giải: $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1) \Rightarrow M T C = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
$\frac{x ^{2} + 2 - ( x ^{2} + x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{1 - x}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{- ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{- 1}{x ^{2} + x + 1}$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Phép cộng & Trừ phân thức

🎯 Luyện tập Phép cộng & Phép trừ Phân thức đại số

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Thực hiện phép tính \dfrac{x + 1}{x} + \dfrac{2x - 1}{x} được kết quả:

\dfrac{(x + 1) + (2x - 1)}{x} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Thực hiện phép tính cộng, trừ phân thức Phương pháp: Tìm MTC $\to$ Quy đồng $\to$ Cộng/trừ tử $\to$ Rút gọn kết quả.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức tổng hợp & Tính giá trị Phương pháp: Kết hợp thứ tự thực hiện phép tính $\to$ Rút gọn $\to$ Thay giá trị $x$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính tổng thời gian hoàn thành 2 công đoạn): Một máy tự động thực hiện công đoạn thứ nhất mất thời gian $t_{1} = \frac{x + 10}{x}$ (phút) và công đoạn thứ hai mất $t_{2} = \frac{2 x - 5}{x}$ (phút), với $x > 0$ là tốc độ máy.

a) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian $T = t_{1} + t_{2}$ máy hoàn thành cả 2 công đoạn.
b) Tính tổng thời gian $T$ khi tốc độ máy $x = 5$ .

Lời giải:
a) $T = \frac{x + 10}{x} + \frac{2 x - 5}{x} = \frac{( x + 10 ) + ( 2 x - 5 )}{x} = \frac{3 x + 5}{x}$ (phút).
b) Thay $x = 5 \Rightarrow T = \frac{3 ( 5 ) + 5}{5} = \frac{20}{5} = 4$ phút.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức: $\dfrac{A}{M} + \dfrac{B}{M} = ?$

⭐ Ghi nhớ

Cộng/trừ cùng mẫu: $\frac{A}{M} \pm \frac{B}{M} = \frac{A \pm B}{M}$ .
Cộng/trừ khác mẫu: Quy đồng mẫu thức trước $\to$ Thực hiện phép tính tử.
Phân thức đối: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B} = \frac{A}{- B}$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Cộng trừ phân thức cùng mẫu thức): Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{x + 8}{x + 3}$ b) $\frac{x ^{2}}{x - 2} - \frac{4}{x - 2}$ c) $\frac{3 x - 1}{2 x} + \frac{x + 1}{2 x}$

d) $\frac{5 x + 2}{x ^{2} - 1} - \frac{4 x + 1}{x ^{2} - 1}$ e) $\frac{x ^{2} + 3 x}{x + 3} + \frac{0}{x + 3}$ f) $\frac{x ^{2}}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x + 1}$

Bài 2 (Dễ — Phép cộng khác mẫu thức cơ bản): Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ b) $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1}$ c) $\frac{x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x}$

d) $\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}$ e) $\frac{3}{2 x} + \frac{5}{3 x}$ f) $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Bài 3 (Trung bình — Phép trừ khác mẫu thức): Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$ b) $\frac{x + 3}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ c) $\frac{x}{x - 2} - \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4}$

d) $\frac{2 x}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3}$ e) $\frac{1}{x ( x + 1 )} - \frac{1}{x + 1}$ f) $\frac{x ^{2} + 9}{x ^{2} - 9} - \frac{x}{x + 3}$

Bài 4 (Trung bình — Biểu thức tổng hợp gồm nhiều phép cộng trừ):

a) $A = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}$
b) $B = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{2 x ^{2} + 4}{x ^{2} - 4}$
c) $C = \frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}$
d) $D = \frac{x ^{2} - 2}{x ^{2} + x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$
e) $E = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} + \frac{5}{x ^{2} + x - 6}$
f) $F = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} + \frac{2 a}{a ^{2} + b ^{2}}$

Bài 5 (Trung bình — Rút gọn và tính giá trị biểu thức): Cho biểu thức $P = \frac{x + 1}{x - 2} - \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$ .

a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức $P$ .
b) Rút gọn biểu thức $P$ .
c) Tính giá trị của $P$ tại $x = 4$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh đẳng thức phân thức): Chứng minh rằng với mọi $x \neq = \pm 1$ : $\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x ^{2}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{8}{1 - x ^{8}}$

Bài 7 (Khá — Tìm giá trị nguyên): Cho $Q = \frac{3 x}{x - 2} - \frac{x + 1}{x + 2} - \frac{2 x ^{2} + 2}{x ^{2} - 4}$ .

a) Rút gọn $Q$ .
b) Tìm các số nguyên $x$ để $Q$ nhận giá trị nguyên.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tính tổng dãy phân thức): Tính tổng: $S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}$

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Năng suất máy bơm nước): Máy bơm A bơm đầy bể trong $x$ giờ, máy bơm B bơm đầy bể trong $x + 2$ giờ.

a) Viết phân thức biểu thị dung tích bể cả 2 máy cùng bơm được trong 1 giờ.
b) Rút gọn phân thức tổng năng suất 1 giờ.
c) Tính tổng phần bể 2 máy bơm được trong 1 giờ khi $x = 4$ giờ.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Tốc độ trung bình đi và về): Chuyến xe đò đi từ tỉnh A đến tỉnh B dài $180$ km với vận tốc $v$ (km/h) và lượt về với vận tốc $v - 10$ (km/h).

a) Viết phân thức biểu thị sự chênh lệch thời gian lượt về và lượt đi $Δ T = T_{v \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}}} - T_{đ i}$ .
b) Tính $Δ T$ khi $v = 60$ km/h.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{3 x + 9}{x + 3} = 3$ . b) $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ . c) $\frac{4 x}{2 x} = 2$ . d) $\frac{x + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{x - 1}$ . e) $\frac{x ( x + 3 )}{x + 3} = x$ . f) $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x + 1} = x + 1$ .

Bài 2: a) $\frac{x + y}{x y}$ . b) $\frac{2 ( x + 1 ) + 3 ( x - 1 )}{x ^{2} - 1} = \frac{5 x - 1}{x ^{2} - 1}$ . c) $\frac{x}{x - 3} - \frac{3}{x - 3} = \frac{x - 3}{x - 3} = 1$ . d) $\frac{x + 2 + 2 ( x - 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{3 x - 2}{x ^{2} - 4}$ . e) $\frac{9 + 10}{6 x} = \frac{19}{6 x}$ . f) $\frac{( x + 1 ) ^{2} + ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x ^{2} + 2}{x ^{2} - 1}$ .

Bài 3: a) $\frac{x + 2 - ( x - 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$ . b) $\frac{x + 3 - ( x + 1 )}{x ^{2} - 1} = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ . c) $\frac{x ( x + 2 ) - x ^{2}}{x ^{2} - 4} = \frac{2 x}{x ^{2} - 4}$ . d) $\frac{2 x - ( x + 3 )}{x ^{2} - 9} = \frac{x - 3}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{x + 3}$ . e) $\frac{1 - x}{x ( x + 1 )}$ . f) $\frac{x ^{2} + 9 - x ( x - 3 )}{x ^{2} - 9} = \frac{3 x + 9}{x ^{2} - 9} = \frac{3 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{3}{x - 3}$ .

Bài 4: a) $A = \frac{x + 1 - ( x - 1 ) - 2}{x ^{2} - 1} = 0$ . b) $B = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) + ( x - 1 ) ( x - 2 ) - ( 2 x ^{2} + 4 )}{x ^{2} - 4} = \frac{x ^{2} + 3 x + 2 + x ^{2} - 3 x + 2 - 2 x ^{2} - 4}{x ^{2} - 4} = 0$ . c) $C = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x ( x + 3 )}$ . d) $D = \frac{x ^{2} - 2 + ( x + 1 ) + x}{x ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + 2 x - 1}{x ( x + 1 )}$ . e) MTC $= (x + 3) (x - 2)$ . $E = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 ) - ( x - 1 ) ( x + 3 ) + 5}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{x ^{2} - 4 - ( x ^{2} + 2 x - 3 ) + 5}{M T C} = \frac{4 - 2 x}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{- 2 ( x - 2 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = \frac{- 2}{x + 3}$ . f) $F = \frac{2 a}{a ^{2} - b ^{2}} + \frac{2 a}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{4 a ^{3}}{a ^{4} - b ^{4}}$ .

Bài 5: a) ĐKXĐ: $x \neq = 2$ và $x \neq = - 2$ . b) $P = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) - ( x - 1 ) ( x - 2 ) - 4}{x ^{2} - 4} = \frac{x ^{2} + 3 x + 2 - ( x ^{2} - 3 x + 2 ) - 4}{x ^{2} - 4} = \frac{6 x - 4}{x ^{2} - 4}$ . c) Thay $x = 4 \Rightarrow P = \frac{6 ( 4 ) - 4}{4 ^{2} - 4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ .

Bài 6: Nhóm dần từng cặp từ trái sang phải: $\frac{2}{1 - x ^{2}} + \frac{2}{1 + x ^{2}} = \frac{4}{1 - x ^{4}} \Rightarrow \frac{4}{1 - x ^{4}} + \frac{4}{1 + x ^{4}} = \frac{8}{1 - x ^{8}}$ (đpcm).

Bài 7: a) $Q = \frac{3 x ( x + 2 ) - ( x + 1 ) ( x - 2 ) - ( 2 x ^{2} + 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{3 x ^{2} + 6 x - ( x ^{2} - x - 2 ) - 2 x ^{2} - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{7 x}{x ^{2} - 4}$ .
b) Để $Q \in Z$ với các số nguyên $x \neq = \pm 2$ , thử các giá trị nguyên thỏa mãn $x^{2} - 4$ là ước của $7 x$ .

Bài 8: $S = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ .

Bài 9: a) Phân thức năng suất $= \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}$ . b) Rút gọn $= \frac{2 x + 2}{x ( x + 2 )}$ . c) Thay $x = 4 \Rightarrow \frac{2 ( 4 ) + 2}{4 ( 6 )} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ bể.

Bài 10: a) $Δ T = \frac{180}{v - 10} - \frac{180}{v} = \frac{180 v - 180 ( v - 10 )}{v ( v - 10 )} = \frac{1800}{v ( v - 10 )}$ (giờ).
b) Thay $v = 60 \Rightarrow Δ T = \frac{1800}{60 ( 50 )} = \frac{1800}{3000} = 0.6$ giờ ( $36$ phút).