Lớp 8 · Chương 6: Phân thức đại số

Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Tương tự như tính chất cơ bản của phân số, Tính chất cơ bản của Phân thức đại số cho phép chúng ta rút gọn phân thức về dạng tối giản và quy đồng mẫu thức các phân thức để thực hiện các phép toán đại số!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Tính chất cơ bản & Quy tắc đổi dấu phân thức

Tính chất cơ bản:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} (M \neq = 0)$
- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung $N$ khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$
Quy tắc đổi dấu: Đổi dấu cả tử thức và mẫu thức của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$

Sơ đồ tính chất cơ bản và quy tắc đổi dấu phân thức

Ví dụ 1: Biến đổi phân thức $\frac{x - 1}{x + 2}$ thành phân thức có mẫu là $(x + 2) (x - 3)$ .
Lời giải: Nhân cả tử và mẫu với $(x - 3)$ : $\frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - x - 6}$ .

Ví dụ 2: Đổi dấu phân thức $\frac{3 - x}{x + 1}$ .
Lời giải: $\frac{3 - x}{x + 1} = \frac{- ( 3 - x )}{- ( x + 1 )} = \frac{x - 3}{- x - 1} = - \frac{x - 3}{x + 1}$ .

Ví dụ 3: Rút gọn nhân tử chung trong $\frac{4 x ^{2} y}{6 x y ^{2}}$ .
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $2 x y \Rightarrow \frac{2 x}{3 y}$ .

2. Rút gọn phân thức & Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Rút gọn phân thức:
1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
2. Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
Quy đồng mẫu thức:
1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm Mẫu thức chung (MTC).
2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.
3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức $A = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4 x + 4}$ .
Lời giải: $A = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x - 2}{x + 2}$ .

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{x ^{2} - 1}$ và $\frac{2}{x ^{2} + x}$ .
Lời giải:

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ ; $x^{2} + x = x (x + 1) \Rightarrow M T C = x (x - 1) (x + 1)$ .
Phân thức 1: $\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .
Phân thức 2: $\frac{2}{x ( x + 1 )} = \frac{2 ( x - 1 )}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .

Ví dụ 3: Rút gọn $B = \frac{x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 x - 1}{x ^{2} - 1}$ .
Lời giải: $B = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x + 1}$ .

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Tính chất & Rút gọn phân thức

🎯 Luyện tập Tính chất cơ bản, Rút gọn & Quy đồng Phân thức

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Rút gọn phân thức \dfrac{2x^2 - 4x}{x - 2} được kết quả:

\dfrac{2x(x - 2)}{x - 2} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Rút gọn phân thức đại số Phương pháp: Phân tích tử & mẫu thành nhân tử $\to$ Chia cho nhân tử chung.

Dạng 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Phương pháp: Tìm MTC $\to$ Tìm nhân tử phụ $\to$ Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Rút gọn công thức hiệu suất động cơ): Hiệu suất làm việc của một hệ thống cơ khí được mô tả bởi phân thức $H (x) = \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + x}{x ^{2} - x}$ , trong đó $x > 1$ là hệ số tải.

a) Rút gọn biểu thức hiệu suất $H (x)$ .
b) Tính hiệu suất $H (x)$ khi $x = 5$ .

Lời giải:
a) $H (x) = \frac{x ( x ^{2} - 2 x + 1 )}{x ( x - 1 )} = \frac{x ( x - 1 ) ^{2}}{x ( x - 1 )} = x - 1$ .
b) Thay $x = 5 \Rightarrow H (5) = 5 - 1 = 4$ (đơn vị hiệu suất).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Rút gọn phân thức $\dfrac{3x^2 - 6x}{x - 2}$ được kết quả:

⭐ Ghi nhớ

Tính chất cơ bản: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} = \frac{A : N}{B : N}$ .
Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .
Rút gọn: Phân tích thành nhân tử $\to$ Chia tử và mẫu cho nhân tử chung.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Rút gọn phân thức cơ bản): Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{6 x ^{2} y ^{3}}{8 x y ^{5}}$ b) $\frac{4 x - 8}{x - 2}$ c) $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$

d) $\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{2 x + 4}$ e) $\frac{5 x - 15}{x ^{2} - 9}$ f) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + 2 x y + y ^{2}}$

Bài 2 (Dễ — Đổi dấu phân thức): Đổi dấu tử hoặc mẫu để được phân thức bằng phân thức cho trước:

a) $\frac{x - 3}{y - x}$ thành phân thức có mẫu là $x - y$ .
b) $\frac{2 - x}{x ^{2} - 1}$ thành phân thức có tử là $x - 2$ .
c) $\frac{5}{4 - x ^{2}}$ thành phân thức có mẫu là $x^{2} - 4$ .
d) $\frac{x - y}{a - b}$ thành phân thức có mẫu là $b - a$ .
e) Rút gọn $\frac{x - y}{y - x}$ .
f) Rút gọn $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{3 - x}$ .

Bài 3 (Trung bình — Quy đồng mẫu thức): Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{x ^{2} y}$ và $\frac{2}{x y ^{2}}$ b) $\frac{2}{x - 3}$ và $\frac{3}{x + 3}$

c) $\frac{1}{x ^{2} - 4}$ và $\frac{1}{x + 2}$ d) $\frac{x}{x ^{2} - 2 x + 1}$ và $\frac{1}{x ^{2} - 1}$

e) $\frac{3}{x ^{2} - 9}$ và $\frac{2}{3 - x}$ f) $\frac{1}{x}, \frac{2}{x + 1}, \frac{3}{x - 1}$

Bài 4 (Trung bình — Rút gọn phân thức nâng cao bằng phân tích đa thức):

a) $A = \frac{x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 x - 1}{x ^{2} - 1}$
b) $B = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4}$
c) $C = \frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 2 x + 4}$
d) $D = \frac{x ^{4} - 16}{x ^{2} + 4}$
e) $E = \frac{a x - b x + a y - b y}{a x + b x + a y + b y}$
f) $F = \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x ^{2} + 4 x + 3}$

Bài 5 (Trung bình — Chứng minh đẳng thức phân thức sau khi rút gọn):

a) Chứng minh $\frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + x} = x - 1$ .
b) Chứng minh $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 10 x + 25} = \frac{x - 5}{x + 5}$ .
c) Chứng minh $\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - x + 1} = x + 1$ .

Bài 6 (Khá — Tìm x để phân thức nhận giá trị cụ thể): Cho phân thức $M = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 2 x}$ .

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn $M$ .
b) Tìm $x$ để $M = 3$ .
c) Tìm $x$ để $M = 0$ .

Bài 7 (Khá — Rút gọn phân thức phụ thuộc nhiều biến): Rút gọn biểu thức $N = \frac{x ^{2} - 2 x y + y ^{2} - z ^{2}}{x ^{2} + 2 x z + z ^{2} - y ^{2}}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Phân thức tối giản): Chứng minh phân thức $\frac{2 n + 1}{2 n + 3}$ là phân thức tối giản với mọi số tự nhiên $n$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Tối ưu hóa nguyên liệu đóng thùng): Thể tích hình hộp chữ nhật $V = x^{3} - x$ (cm³), diện tích đáy $S = x^{2} + x$ (cm²).

a) Viết phân thức biểu thị chiều cao $h = \frac{V}{S}$ .
b) Rút gọn phân thức chiều cao $h$ .
c) Tính chiều cao $h$ khi $x = 10$ cm.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Tỉ số truyền bánh răng máy cơ khí): Tỉ số truyền của bộ bánh răng $i = \frac{Z _{1}^{2} - Z _{2}^{2}}{Z _{1}^{2} - 2 Z _{1} Z _{2} + Z _{2}^{2}}$ , trong đó $Z_{1}, Z_{2}$ là số răng của bánh dẫn và bánh bị dẫn ( $Z_{1} > Z_{2}$ ).

a) Rút gọn phân thức tỉ số truyền $i$ .
b) Tính tỉ số truyền $i$ khi $Z_{1} = 40$ răng, $Z_{2} = 20$ răng.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{3 x}{4 y ^{2}}$ . b) $\frac{4 ( x - 2 )}{x - 2} = 4$ . c) $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x + 3} = x - 3$ . d) $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{2 ( x + 2 )} = \frac{x + 2}{2}$ . e) $\frac{5 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{5}{x + 3}$ . f) $\frac{( x - y ) ( x + y )}{( x + y ) ^{2}} = \frac{x - y}{x + y}$ .

Bài 2: a) $\frac{3 - x}{x - y}$ . b) $\frac{x - 2}{1 - x ^{2}}$ . c) $\frac{- 5}{x ^{2} - 4}$ . d) $\frac{y - x}{b - a}$ . e) $- 1$ . f) $3 - x$ .

Bài 3: a) MTC $= x^{2} y^{2} \Rightarrow \frac{y}{x ^{2} y ^{2}}, \frac{2 x}{x ^{2} y ^{2}}$ . b) MTC $= (x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9 \Rightarrow \frac{2 ( x + 3 )}{x ^{2} - 9}, \frac{3 ( x - 3 )}{x ^{2} - 9}$ . c) MTC $= (x - 2) (x + 2) \Rightarrow \frac{1}{x ^{2} - 4}, \frac{x - 2}{x ^{2} - 4}$ . d) MTC $= (x - 1)^{2} (x + 1) \Rightarrow \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 )}, \frac{x - 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 )}$ . e) MTC $= (x - 3) (x + 3) \Rightarrow \frac{3}{x ^{2} - 9}, \frac{- 2 ( x + 3 )}{x ^{2} - 9}$ . f) MTC $= x (x - 1) (x + 1) \Rightarrow \frac{x ^{2} - 1}{M T C}, \frac{2 x ( x - 1 )}{M T C}, \frac{3 x ( x + 1 )}{M T C}$ .

Bài 4: a) $A = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x + 1}$ . b) $B = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{x + 2}$ . c) $C = \frac{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}{x ^{2} - 2 x + 4} = x + 2$ . d) $D = \frac{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} + 4 )}{x ^{2} + 4} = x^{2} - 4$ . e) $E = \frac{( a - b ) ( x + y )}{( a + b ) ( x + y )} = \frac{a - b}{a + b}$ . f) $F = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 2}{x + 3}$ .

Bài 5: a) $\frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} = x - 1$ . b) $\frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{( x + 5 ) ^{2}} = \frac{x - 5}{x + 5}$ . c) $\frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}{x ^{2} - x + 1} = x + 1$ .

Bài 6: a) ĐKXĐ: $x \neq = 0, x \neq = 2$ . $M = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x - 2 )} = \frac{x + 2}{x}$ . b) $\frac{x + 2}{x} = 3 \Rightarrow x + 2 = 3 x \Rightarrow 2 x = 2 \Rightarrow x = 1$ (thỏa mãn). c) $\frac{x + 2}{x} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ (thỏa mãn).

Bài 7: $N = \frac{( x - y ) ^{2} - z ^{2}}{( x + z ) ^{2} - y ^{2}} = \frac{( x - y - z ) ( x - y + z )}{( x + z - y ) ( x + z + y )} = \frac{x - y - z}{x + y + z}$ .

Bài 8: Gọi $d = UCLN (2 n + 1, 2 n + 3) \Rightarrow (2 n + 3) - (2 n + 1) = 2 ⋮ d \Rightarrow d \in {1, 2}$ .
Vì $2 n + 1$ lẻ nên $d = 1 \Rightarrow$ Phân thức tối giản.

Bài 9: a) $h = \frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + x}$ . b) $h = \frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} = x - 1$ . c) Thay $x = 10 \Rightarrow h = 9$ cm.

Bài 10: a) $i = \frac{( Z _{1} - Z _{2} ) ( Z _{1} + Z _{2} )}{( Z _{1} - Z _{2} ) ^{2}} = \frac{Z _{1} + Z _{2}}{Z _{1} - Z _{2}}$ . b) Thay $Z_{1} = 40, Z_{2} = 20 \Rightarrow i = \frac{40 + 20}{40 - 20} = \frac{60}{20} = 3$ .