Lớp 8 · Chương 6: Phân thức đại số

Bài 21: Phân thức đại số

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Phân số mở rộng thành Phân thức đại số khi các tử số và mẫu số trở thành những biểu thức đại số chứa biến. Đây là công cụ toán học mạnh mẽ để mô tả vận tốc, thời gian và năng suất lao động!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm Phân thức đại số & Hai phân thức bằng nhau

Phân thức đại số (hay phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A, B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức 0.
$A$ là tử thức (tử), $B$ là mẫu thức (mẫu).
Hai phân thức bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C$ .

Hình 1: Cấu trúc cơ bản của Phân thức đại số A/B

Ví dụ 1: Biểu thức $\frac{2 x + 1}{x - 3}$ có phải là phân thức đại số không?
Lời giải: Phải, vì tử $2 x + 1$ và mẫu $x - 3$ đều là các đa thức và mẫu khác đa thức 0.

Ví dụ 2: Chứng minh $\frac{x}{x + 2} = \frac{x ^{2} - 2 x}{x ^{2} - 4}$ .
Lời giải: Ta có $x (x^{2} - 4) = x^{3} - 4 x$ và $(x + 2) (x^{2} - 2 x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x = x^{3} - 4 x$ . Vì hai tích bằng nhau nên hai phân thức bằng nhau.

Ví dụ 3: Mỗi đa thức $P$ có phải là một phân thức đại số không?
Lời giải: Đúng, vì mỗi đa thức $P$ được coi là phân thức dạng $\frac{P}{1}$ .

2. Điều kiện xác định & Giá trị của Phân thức

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức $B \neq = 0$ .
Để tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của biến, ta thay giá trị đó (phải thỏa mãn điều kiện xác định) vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức $\frac{x + 2}{2 x - 6}$ .
Lời giải: Điều kiện xác định là mẫu thức $2 x - 6 \neq = 0 \Leftrightarrow 2 x \neq = 6 \Leftrightarrow x \neq = 3$ .

Ví dụ 2: Tính giá trị của phân thức $P = \frac{x ^{2} - 1}{x + 2}$ tại $x = 4$ .
Lời giải: Điều kiện xác định: $x \neq = - 2$ . Tại $x = 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ): $P = \frac{4 ^{2} - 1}{4 + 2} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ .

Ví dụ 3: Tìm $x$ để phân thức $\frac{x - 3}{x + 1} = 0$ .
Lời giải: Điều kiện: $x \neq = - 1$ . Phân thức bằng $0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Phân thức đại số

🎯 Luyện tập Phân thức đại số & Điều kiện xác định

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng A/B, trong đó A và B là những đa thức và B thỏa mãn điều kiện gì?

\dfrac{A}{B} \quad (B = ?)

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức Phương pháp: Cho mẫu thức khác 0 và giải tìm $x$ .

Dạng 2: Tính giá trị phân thức & Tìm $x$ để phân thức bằng 0 Phương pháp: Kiểm tra ĐKXĐ $\to$ Thay $x$ hoặc cho tử thức bằng 0.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Tính vận tốc trung bình ô tô): Một ô tô đi quãng đường $S = 120$ km. Lượt đi đi với vận tốc $v$ (km/h), lượt về đi với vận tốc lớn hơn lượt đi $10$ km/h.

a) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian $T$ cả đi lẫn về của ô tô.
b) Tính tổng thời gian $T$ khi vận tốc lượt đi $v = 50$ km/h.

Lời giải:
a) Thời gian đi $t_{1} = \frac{120}{v}$ (h). Thời gian về $t_{2} = \frac{120}{v + 10}$ (h).
Tổng thời gian $T = \frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}$ (h).
b) Thay $v = 50 \Rightarrow T = \frac{120}{50} + \frac{120}{60} = 2.4 + 2 = 4.4$ giờ ( $4$ giờ $24$ phút).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phân thức đại số là biểu thức có dạng:

⭐ Ghi nhớ

Phân thức đại số: $\frac{A}{B}$ ( $B \neq = 0$ ).
Bằng nhau: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow A \cdot D = B \cdot C$ .
ĐKXĐ: Cho mẫu thức $B \neq = 0$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tìm điều kiện xác định của phân thức): Tìm ĐKXĐ của các phân thức sau:

a) $\frac{1}{x - 4}$ b) $\frac{2 x + 1}{3 x + 6}$ c) $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 9}$

d) $\frac{5}{x ^{2} + 1}$ e) $\frac{x - 3}{x ( x + 2 )}$ f) $\frac{x + 1}{x ^{2} - 4 x + 4}$

Bài 2 (Dễ — Chứng minh hai phân thức bằng nhau): Chứng minh các đẳng thức phân thức sau:

a) $\frac{3 x}{5} = \frac{6 x ^{2}}{10 x}$ b) $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 1}{( x + 1 ) ^{2}}$ c) $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x - y} = x + y$

d) $\frac{x ^{3} + 8}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4$ e) $\frac{x - 3}{3 - x} = - 1$ f) $\frac{2 x + 4}{x ^{2} - 4} = \frac{2}{x - 2}$

Bài 3 (Trung bình — Tính giá trị của phân thức):

a) Tính giá trị $P = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại $x = 3$ .
b) Tính giá trị $Q = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ tại $x = 5$ .
c) Tính giá trị $M = \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 4}$ tại $x = 0$ .
d) Tính giá trị $N = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ tại $x = 101$ .
e) Tìm $x$ để phân thức $\frac{x - 3}{x + 2} = 0$ .
f) Tìm $x$ để phân thức $\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = 0$ .

Bài 4 (Trung bình — Phân thức bằng 0 và không xác định):

a) Tìm $x$ để phân thức $\frac{2 x - 6}{x + 5}$ có giá trị bằng 0.
b) Với giá trị nào của $x$ thì phân thức $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ bằng 0? (Chú ý ĐKXĐ).
c) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để phân thức $\frac{3}{x - 1}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 5 (Trung bình — Biểu diễn bài toán thực tế bằng phân thức): Một người đi xe đạp từ A đến B dài $S = 30$ km với vận tốc $x$ (km/h).

a) Viết phân thức biểu thị thời gian đi $T_{1}$ .
b) Nếu tăng vận tốc thêm $3$ km/h, viết phân thức biểu thị thời gian mới $T_{2}$ .
c) Tính hiệu thời gian $T_{1} - T_{2}$ khi $x = 12$ km/h.

Bài 6 (Khá — Giá trị nguyên của phân thức): Tìm các số nguyên $x$ để phân thức $A = \frac{x + 4}{x + 1}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 7 (Khá — Chứng minh phân thức luôn xác định): Chứng minh phân thức $B = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2 x + 3}$ luôn xác định với mọi $x \in R$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tìm giá trị lớn nhất của phân thức): Tìm giá trị lớn nhất của phân thức $C = \frac{5}{x ^{2} + 2}$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Năng suất công việc): Một tổ công nhân phải sản xuất $300$ sản phẩm trong $x$ ngày.

a) Viết phân thức biểu thị năng suất mỗi ngày $N_{1}$ .
b) Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ hoàn thành sớm $2$ ngày. Viết phân thức biểu thị năng suất thực tế $N_{2}$ .
c) Tính năng suất thực tế khi $x = 10$ ngày.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Chi phí bình quân sản xuất): Chi phí cố định sản xuất một lô hàng là $10.000.000$ đồng, chi phí biến đổi cho mỗi sản phẩm là $50.000$ đồng.

a) Viết phân thức biểu thị chi phí bình quân $C (x)$ cho mỗi sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm.
b) Tính chi phí bình quân $C (x)$ khi sản xuất $100$ sản phẩm và $1.000$ sản phẩm. Nhận xét.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $x \neq = 4$ . b) $x \neq = - 2$ . c) $x \neq = 3$ và $x \neq = - 3$ . d) Luôn xác định với mọi $x$ (vì $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ). e) $x \neq = 0$ và $x \neq = - 2$ . f) $(x - 2)^{2} \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 2$ .

Bài 2: a) $3 x \cdot 10 x = 30 x^{2}; 5 \cdot 6 x^{2} = 30 x^{2} \Rightarrow$ bằng nhau. b) $(x - 1) (x + 1)^{2} = (x^{2} - 1) (x + 1) \Rightarrow$ bằng nhau. c) $(x^{2} - y^{2}) = (x - y) (x + y) \Rightarrow$ bằng nhau. d) $(x^{3} + 8) = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) \Rightarrow$ bằng nhau. e) $(x - 3) = - 1 (3 - x) = x - 3 \Rightarrow$ bằng nhau. f) $(2 x + 4) (x - 2) = 2 (x^{2} - 4) = 2 x^{2} - 8 \Rightarrow$ bằng nhau.

Bài 3: a) $P (3) = \frac{3 + 2}{3 - 1} = \frac{5}{2}$ . b) $Q (5) = \frac{5 ^{2} - 9}{5 + 3} = \frac{16}{8} = 2$ . c) $M (0) = \frac{1}{- 4} = - \frac{1}{4}$ . d) $N = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 1} = x - 1 \Rightarrow N (101) = 100$ . e) $x \neq = - 2 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ . f) $x \neq = 4 \Rightarrow x^{2} - 16 = 0 \Rightarrow x = - 4$ (loại $x = 4$ ).

Bài 4: a) $x \neq = - 5 \Rightarrow 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ . b) ĐKXĐ: $x \neq = 1$ . Tử $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (loại), $x = - 1$ (thỏa mãn) $\Rightarrow x = - 1$ . c) $x - 1 \in Ư (3) = {\pm 1, \pm 3} \Rightarrow x \in {2, 0, 4, - 2}$ .

Bài 5: a) $T_{1} = \frac{30}{x}$ . b) $T_{2} = \frac{30}{x + 3}$ . c) Thay $x = 12 \Rightarrow T_{1} = 2.5, T_{2} = 2 \Rightarrow T_{1} - T_{2} = 0.5$ giờ ( $30$ phút).

Bài 6: $A = \frac{( x + 1 ) + 3}{x + 1} = 1 + \frac{3}{x + 1}$ .
$A$ nguyên $\Leftrightarrow \frac{3}{x + 1} \in Z \Leftrightarrow x + 1 \in Ư (3) = {\pm 1, \pm 3} \Rightarrow x \in {0, - 2, 2, - 4}$ .

Bài 7: Mẫu thức $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1)^{2} + 2 \geq 2 > 0$ với mọi $x \in R \Rightarrow$ Phân thức $B$ luôn xác định.

Bài 8: Vì $x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 2 \geq 2 \Rightarrow C = \frac{5}{x ^{2} + 2} \leq \frac{5}{2}$ .
GTLN bằng $\frac{5}{2}$ khi $x = 0$ .

Bài 9: a) $N_{1} = \frac{300}{x}$ (sản phẩm/ngày). b) $N_{2} = \frac{300}{x - 2}$ (sản phẩm/ngày). c) Thay $x = 10 \Rightarrow N_{2} = \frac{300}{8} = 37.5$ sản phẩm/ngày.

Bài 10: a) Tổng chi phí $= 10.000.000 + 50.000 x \Rightarrow C (x) = \frac{10.000.000 + 50.000 x}{x} = \frac{10.000.000}{x} + 50.000$ .
b) Khi $x = 100 \Rightarrow C (100) = 150.000$ đồng.
Khi $x = 1.000 \Rightarrow C (1000) = 60.000$ đồng.
Nhận xét: Sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí bình quân trên 1 sản phẩm càng giảm.