Lớp 8 · Chương 4: Định lí Thales

Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Một tính chất đẹp đẽ của đường phân giác: Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề. Bài học này giúp bạn vận dụng linh hoạt tính chất phân giác để giải quyết các bài toán tính độ dài và chứng minh tỉ lệ!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Hình 1: AD là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC $\Rightarrow \frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$

$\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} hoặc \frac{D B}{A B} = \frac{D C}{A C}$

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $A B = 5$ cm, $A C = 8$ cm. Phân giác $A D$ chia $B C$ thành 2 đoạn $D B, D C$ . Tính tỉ số $\frac{D B}{D C}$ .
Lời giải: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{8}$ .

Ví dụ 2: Cho $△ A B C$ có phân giác $A D$ . Biết $A B = 6$ cm, $A C = 9$ cm, $D B = 4$ cm. Tính $D C$ .
Lời giải: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow \frac{4}{D C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow D C = 6$ cm.

Ví dụ 3: Cho $△ A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 6$ cm, $B C = 5$ cm. Phân giác $A D$ cắt $B C$ tại D. Tính $D B$ và $D C$ .
Lời giải: $\frac{D B}{D C} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow D B = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$ cm; $D C = 3$ cm.

2. Tính chất tia phân giác của góc ngoài

Định lý vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác (khi $A B \neq = A C$ ).

$\frac{E ^{'} B}{E ^{'} C} = \frac{A B}{A C}$

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 6$ cm. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng $B C$ tại $E$ . Tính tỉ số $\frac{E B}{E C}$ .
Lời giải: $\frac{E B}{E C} = \frac{A B}{A C} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Ví dụ 2: Cho $△ A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 10$ cm, $B C = 8$ cm. Tia phân giác góc ngoài tại A cắt $B C$ kéo dài tại $E$ . Tính $E B$ .
Lời giải: $\frac{E B}{E C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{E B}{E B + 8} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5 E B = 3 E B + 24 \Rightarrow 2 E B = 24 \Rightarrow E B = 12$ cm.

Ví dụ 3: Cho phân giác trong $A D$ và phân giác ngoài $A E$ của góc A. Tính góc $D A E$ .
Lời giải: $D A E = 9 0^{\circ}$ vì phân giác của hai góc kề bù luôn vuông góc với nhau.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Tính chất Đường phân giác

🎯 Luyện tập Tính chất Đường phân giác của Tam giác

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong góc A ($D \in BC$). Tỉ lệ thức nào sau đây ĐÚNG?

\dfrac{DB}{DC} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng trên cạnh đáy Phương pháp: Lập tỉ lệ $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ và kết hợp $D B + D C = B C$ .

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $A B = 12$ cm, $A C = 15$ cm, $B C = 18$ cm. Phân giác $A D$ . Tính $D B$ và $D C$ .
Lời giải: $\frac{D B}{D C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \Rightarrow D B = \frac{4}{9} \cdot 18 = 8$ cm; $D C = 10$ cm.

Dạng 2: Chứng minh hai tỉ số bằng nhau hoặc chứng minh đường phân giác Phương pháp: Sử dụng tỉ lệ thức đảo $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A D$ là phân giác.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Chia khu đất hình tam giác thành 2 phần theo tỉ lệ tường rào): Một khu đất hình tam giác $A B C$ có hai cạnh tường rào $A B = 40$ m, $A C = 60$ m và cạnh tiền bối $B C = 50$ m. Người ta xây một bức tường phân giác $A D$ để chia khu đất thành 2 phần.

a) Tính tỉ số diện tích giữa 2 phần đất $△ A B D$ và $△ A C D$ .
b) Tính độ dài đoạn tường tiền bối $D B$ và $D C$ .

Lời giải:
a) Hai tam giác $△ A B D$ và $△ A C D$ có chung chiều cao hạ từ A xuống BC.
Do đó $\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ .
b) $\frac{D B}{D C} = \frac{2}{3} \Rightarrow D B = \frac{2}{5} \cdot 50 = 20$ (m); $D C = 30$ (m).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong góc A ( $D \in BC$ ). Tỉ lệ thức nào sau đây ĐÚNG?

⭐ Ghi nhớ

Phân giác trong: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
Phân giác ngoài: $\frac{E B}{E C} = \frac{A B}{A C}$ ( $A B \neq = A C$ ).
Góc giữa phân giác trong & ngoài: $D A E = 9 0^{\circ}$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính tỉ số phân giác): Cho $△ A B C$ có phân giác $A D$ ( $D \in B C$ ).

a) Cho $A B = 6$ cm, $A C = 9$ cm. Tính tỉ số $\frac{D B}{D C}$ .
b) Cho $A B = 8$ cm, $A C = 10$ cm. Tính tỉ số $\frac{D B}{D C}$ .
c) Cho $A B = 12$ cm, $A C = 16$ cm, $D B = 3$ cm. Tính $D C$ .
d) Cho $A B = 5$ cm, $A C = 7$ cm, $D C = 4.2$ cm. Tính $D B$ .
e) Cho $A B = A C = 8$ cm. So sánh $D B$ và $D C$ .
f) Cho $A B = 6$ cm, $A C = 10$ cm, $B C = 12$ cm. Tính $D B$ .

Bài 2 (Dễ — Tính độ dài hai đoạn chia bởi phân giác):

a) Cho $△ A B C$ có $A B = 4$ cm, $A C = 6$ cm, $B C = 5$ cm. Tính $D B, D C$ .
b) Cho $△ A B C$ có $A B = 8$ cm, $A C = 12$ cm, $B C = 15$ cm. Tính $D B, D C$ .
c) Cho $△ A B C$ vuông tại A có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Tính $B C$ và các đoạn $D B, D C$ .
d) Cho $△ A B C$ vuông tại A có $A B = 5$ cm, $B C = 13$ cm. Tính $A C$ và các đoạn $D B, D C$ .
e) Cho $△ A B C$ có $A B = 9$ cm, $A C = 12$ cm. Biết $D C - D B = 2$ cm. Tính $B C$ .
f) Cho $△ A B C$ có phân giác $A D$ . Biết $\frac{D B}{D C} = \frac{3}{4}$ và $A B = 9$ cm. Tính $A C$ .

Bài 3 (Trung bình — Đường phân giác góc ngoài): Cho $△ A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 10$ cm, $B C = 8$ cm. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC tại E.

a) Tính tỉ số $\frac{E B}{E C}$ .
b) Tính độ dài đoạn $E B$ .
c) Tính độ dài đoạn $E C$ .
d) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A. Tính độ dài $D E$ .
e) Chứng minh $A D ⊥ A E$ .
f) Tính diện tích $△ A D E$ biết chiều cao $A H = 4.8$ cm.

Bài 4 (Trung bình — Tam giác cân và đường phân giác): Cho $△ A B C$ cân tại A, phân giác $B D$ ( $D \in A C$ ). Know $A B = 15$ cm, $B C = 10$ cm.

a) Tính $A D$ và $D C$ .
b) Kẻ $D E // B C (E \in A B)$ . Tính $D E$ .

Bài 5 (Trung bình — Phân giác trong tam giác vuông): Cho $△ A B C$ vuông tại A. Đường phân giác $B D$ ( $D \in A C$ ). Biết $A D = 3$ cm, $D C = 5$ cm.

a) Tính tỉ số $\frac{A B}{B C}$ .
b) Tính độ dài các cạnh $A B, B C, A C$ .

Bài 6 (Khá — Ba đường phân giác đồng quy): Cho $△ A B C$ . Các đường phân giác $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $I$ . Chứng minh $\frac{A I}{I D} = \frac{A B + A C}{B C}$ .

Bài 7 (Khá — Tam giác đồng dạng từ phân giác): Cho $△ A B C$ có phân giác $A D$ . Trên tia đối của tia $A D$ lấy điểm $E$ sao cho $C D E = B A C$ . Chứng minh $△ A B D \sim △ E C D$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Định lí Menelaus & Phân giác): Cho $△ A B C$ có 3 đường phân giác $A D, B E, C F$ . Chứng minh $\frac{D B}{D C} \cdot \frac{E C}{E A} \cdot \frac{F A}{F B} = 1$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Thiết kế góc mở ống dẫn nước): Một ống dẫn nước chính rẽ nhánh thành 2 đường ống phụ $A B = 3$ m và $A C = 5$ m hợp với nhau một góc tại A. Người ta đặt một van tiết lưu theo đường phân giác $A D$ cắt đoạn kết nối $B C = 4$ m tại D. Tính độ dài đoạn $D B$ và $D C$ .

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Cánh buồm tam giác): Một cánh buồm hình tam giác $A B C$ có $A B = 6$ m, $A C = 9$ m, $B C = 10$ m. Người ta may một dải gia cố $A D$ theo đường phân giác góc A. Tính độ dài hai đoạn $D B$ và $D C$ trên viền dưới cánh buồm.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . b) $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ . c) $D C = \frac{3 \cdot 16}{12} = 4$ cm. d) $D B = \frac{5 \cdot 4.2}{7} = 3$ cm. e) $D B = D C$ . f) $D B = \frac{6}{6 + 10} \cdot 12 = \frac{6}{16} \cdot 12 = 4.5$ cm.

Bài 2: a) $D B = 2$ cm, $D C = 3$ cm. b) $D B = 6$ cm, $D C = 9$ cm. c) $B C = 10$ cm $\Rightarrow D B = \frac{3}{7} \cdot 10 = \frac{30}{7}$ cm, $D C = \frac{40}{7}$ cm. d) $A C = 12$ cm $\Rightarrow D B = \frac{5}{18} \cdot 13 = \frac{65}{18}$ cm, $D C = \frac{169}{18}$ cm. e) $\frac{D B}{D C} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{D C - D B}{4 - 3} = 2 \Rightarrow D B = 6, D C = 8 \Rightarrow B C = 14$ cm. f) $A C = \frac{4}{3} \cdot 9 = 12$ cm.

Bài 3: a) $\frac{E B}{E C} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ . b) $\frac{E B}{E B + 8} = \frac{3}{5} \Rightarrow 2 E B = 24 \Rightarrow E B = 12$ cm. c) $E C = 12 + 8 = 20$ cm. d) $D B = 3$ cm $\Rightarrow D E = E B + D B = 12 + 3 = 15$ cm. e) Phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc nhau $\Rightarrow A D ⊥ A E$ . f) $S = \frac{1}{2} \cdot A H \cdot D E = \frac{1}{2} \cdot 4.8 \cdot 15 = 36$ cm².

Bài 4: a) $A C = 15$ cm $\Rightarrow \frac{D C}{D A} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \Rightarrow D C = 6$ cm, $A D = 9$ cm. b) $D E // B C \Rightarrow \frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A C} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \Rightarrow D E = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6$ cm.

Bài 5: a) $A C = 8$ cm $\Rightarrow \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C} = \frac{3}{5}$ . b) Đặt $A B = 3 x, B C = 5 x \Rightarrow (3 x)^{2} + 8^{2} = (5 x)^{2} \Rightarrow 16 x^{2} = 64 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A B = 6$ cm, $B C = 10$ cm.

Bài 6: Áp dụng tính chất phân giác trong $△ A B D$ với phân giác BI: $\frac{A I}{I D} = \frac{A B}{B D}$ . Lại có $B D = \frac{A B}{A B + A C} B C \Rightarrow \frac{A I}{I D} = \frac{A B + A C}{B C}$ .

Bài 7: Chứng minh 2 góc bằng nhau $\Rightarrow △ A B D \sim △ E C D$ (g-g).

Bài 8: Nhân 3 tỉ số: $\frac{A B}{A C} \cdot \frac{B C}{B A} \cdot \frac{C A}{C B} = 1$ .

Bài 9: $D B = \frac{3}{3 + 5} \cdot 4 = 1.5$ m; $D C = 2.5$ m.

Bài 10: $D B = \frac{6}{6 + 9} \cdot 10 = 4$ m; $D C = 6$ m.