Lớp 8 · Chương 4: Định lí Thales

Bài 16: Đường trung bình của tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Một khái niệm hình học cực kỳ thanh thoát và hữu ích: Đường trung bình của tam giác. Không chỉ giúp đo đạc khoảng cách giữa hai điểm bị cản trở ngoài thực tế, nó còn là chìa khóa chứng minh hai đường thẳng song song và các điểm trung điểm!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa và Định lý 1 của Đường trung bình

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Hình 1: MN là đường trung bình của tam giác ABC ( $M$ là trung điểm $A B$ , $N$ là trung điểm $A C$ )

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ . Gọi M là trung điểm $A B$ . Qua M kẻ đường thẳng $m // B C$ cắt $A C$ tại N. Chứng minh N là trung điểm $A C$ .
Lời giải: Áp dụng Định lý 1, đường thẳng qua trung điểm M của AB và song song với BC sẽ đi qua trung điểm N của AC.

Ví dụ 2: Cho $△ A B C$ có $A B = 8$ cm. Gọi M là trung điểm $A B$ . Tính $A M$ .
Lời giải: $A M = \frac{A B}{2} = 4$ cm.

Ví dụ 3: Chỉ ra các đường trung bình của $△ A B C$ có 3 trung điểm M, N, P.
Lời giải: 3 đường trung bình là $M N, N P, P M$ .

2. Tính chất đường trung bình của tam giác (Định lý 2)

Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó. $M N // B C v \overset{a}{ˋ} M N = \frac{1}{2} B C$

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $B C = 12$ cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính $M N$ .
Lời giải: $M N = \frac{B C}{2} = \frac{12}{2} = 6$ cm.

Ví dụ 2: Cho $△ A B C$ có $M N$ là đường trung bình ( $M \in A B, N \in A C$ ). Biết $M N = 7$ cm. Tính $B C$ .
Lời giải: $B C = 2 M N = 2 \cdot 7 = 14$ cm.

Ví dụ 3: Cho $△ A B C$ có chu vi bằng $18$ cm. Tính chu vi tam giác $M N P$ nối 3 trung điểm.
Lời giải: $P_{M N P} = \frac{1}{2} P_{A B C} = \frac{18}{2} = 9$ cm.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Đường trung bình của Tam giác

🎯 Luyện tập Đường trung bình của Tam giác

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối:

\text{Định nghĩa đường trung bình}

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và chu vi bằng đường trung bình Phương pháp: Sử dụng $M N = \frac{1}{2} B C$ hoặc $B C = 2 M N$ .

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm, $B C = 10$ cm. Gọi M, N, P là trung điểm AB, AC, BC. Tính các cạnh của $△ M N P$ .
Lời giải: $M N = 5$ cm, $N P = 3$ cm, $P M = 4$ cm.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc trung điểm Phương pháp: Chứng minh đoạn thẳng nối 2 trung điểm $\Rightarrow$ song song cạnh thứ ba; hoặc qua 1 trung điểm + song song $\Rightarrow$ đi qua trung điểm thứ hai.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo khoảng cách hai vị trí qua hồ nước): Hai vị trí A và B nằm ở hai bên một hồ nước lớn. Người ta chọn điểm C ngoài hồ và lấy M, N lần lượt là trung điểm của CA và CB. Đo được khoảng cách $M N = 45$ m.

a) Giải thích vì sao $M N // A B$ .
b) Tính khoảng cách $A B$ giữa hai vị trí qua hồ nước.

Lời giải:
a) Do M, N là trung điểm của CA và CB nên MN là đường trung bình của $△ A B C \Rightarrow M N // A B$ .
b) $A B = 2 M N = 2 \cdot 45 = 90$ (m). Vậy khoảng cách qua hồ là $90$ m.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối:

⭐ Ghi nhớ

Đường trung bình tam giác: Nối trung điểm 2 cạnh.
Tính chất: $M N // B C$ và $M N = \frac{1}{2} B C$ .
Định lý 1: Qua trung điểm 1 cạnh + song song cạnh 2 $\Rightarrow$ đi qua trung điểm cạnh 3.

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính độ dài bằng đường trung bình): Cho $△ A B C$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Biết $B C = 10$ cm. Tính $M N$ .
b) Biết $B C = 15$ cm. Tính $M N$ .
c) Biết $M N = 4.5$ cm. Tính $B C$ .
d) Biết $M N = 7$ cm. Tính $B C$ .
e) Biết $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Tính $A M$ và $A N$ .
f) Cho $B C = 20$ cm, tính $M N$ .

Bài 2 (Dễ — Chu vi tam giác trung bình): Cho $△ A B C$ có $A B = 5$ cm, $A C = 7$ cm, $B C = 9$ cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Tính độ dài đoạn $M N$ .
b) Tính độ dài đoạn $N P$ .
c) Tính độ dài đoạn $P M$ .
d) Tính chu vi tam giác $A B C$ .
e) Tính chu vi tam giác $M N P$ .
f) So sánh tỉ số chu vi $\frac{P _{M N P}}{P _{A B C}}$ .

Bài 3 (Trung bình — Chứng minh trung điểm): Cho $△ A B C$ . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho $A M = M B$ . Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P.

a) Chứng minh N là trung điểm của AC.
b) Chứng minh P là trung điểm của BC.
c) Chứng minh $B P = M N$ .
d) Chứng minh $△ A M N = △ N P C$ .
e) Chứng minh $M N = \frac{1}{2} B C$ .
f) Tứ giác $M N P B$ là hình gì?

Bài 4 (Trung bình — Tứ giác Varignon): Cho tứ giác lồi $A B C D$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ .

a) Chứng minh $M N // A C$ và $M N = \frac{1}{2} A C$ .
b) Chứng minh $P Q // A C$ và $P Q = \frac{1}{2} A C$ .
c) Chứng minh tứ giác $M N P Q$ là hình bình hành.

Bài 5 (Trung bình — Trung tuyến và đường trung bình): Cho $△ A B C$ có đường trung tuyến $A M$ . Gọi I là trung điểm của $A M$ . Tia $B I$ cắt $A C$ tại $N$ . Qua M kẻ $M K // B N (K \in A C)$ .

a) Chứng minh K là trung điểm của NC.
b) Chứng minh $N$ là trung điểm của AK.
c) Chứng minh $A N = \frac{1}{3} A C$ .

Bài 6 (Khá — Đường trung bình trong tam giác vuông): Cho $△ A B C$ vuông tại A, đường cao $A H$ . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Chứng minh $D E ⊥ A H$ .
b) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh D, I, E thẳng hàng.

Bài 7 (Khá — Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy): Cho hình bình hành $A B C D$ . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AF và CE với BD. Chứng minh $D M = M N = N B$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Bất đẳng thức tam giác và đường trung bình): Cho $△ A B C$ có 3 đường trung tuyến $A D, B E, C F$ . Chứng minh $\frac{3}{4} (A B + B C + C A) < A D + B E + C F < A B + B C + C A$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Đo khoảng cách hai chân cột điện): Hai chân cột điện A và B nằm ở hai bên con kênh. Người ta lấy điểm C trên đất liền và đo trung điểm M của CA, N của CB thu được $M N = 18$ m. Tính khoảng cách giữa hai chân cột điện $A B$ .

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Thiết kế giàn mái nhà tam giác): Khung mái nhà tam giác $A B C$ có đáy $B C = 8$ m. Người ta hàn 2 thanh sắt ngang $M N$ và $P Q$ song song với $B C$ , trong đó $M, N$ là trung điểm $A B, A C$ và $P, Q$ là trung điểm $A M, A N$ .

a) Tính độ dài thanh sắt $M N$ .
b) Tính độ dài thanh sắt $P Q$ .
c) Tính tổng độ dài 2 thanh sắt $M N + P Q$ .

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $M N = \frac{10}{2} = 5$ cm. b) $M N = \frac{15}{2} = 7.5$ cm. c) $B C = 2 \cdot 4.5 = 9$ cm. d) $B C = 2 \cdot 7 = 14$ cm. e) $A M = 3$ cm, $A N = 4$ cm. f) $M N = 10$ cm.

Bài 2: a) $M N = \frac{9}{2} = 4.5$ cm. b) $N P = \frac{5}{2} = 2.5$ cm. c) $P M = \frac{7}{2} = 3.5$ cm. d) $P_{A B C} = 5 + 7 + 9 = 21$ cm. e) $P_{M N P} = 4.5 + 2.5 + 3.5 = 10.5$ cm. f) $\frac{P _{M N P}}{P _{A B C}} = \frac{10.5}{21} = \frac{1}{2}$ .

Bài 3: a) Định lý 1 $\Rightarrow N$ là trung điểm AC. b) $N P // A B \Rightarrow P$ là trung điểm BC. c) $M N = B P = \frac{1}{2} B C$ . d) $△ A M N = △ N P C$ (c-g-c). e) $M N = \frac{1}{2} B C$ . f) $M N P B$ có 2 cặp cạnh đối // nên là hình bình hành.

Bài 4: a) $M N$ là đường trung bình $△ A B C \Rightarrow M N // A C, M N = \frac{1}{2} A C$ . b) $P Q$ là đường trung bình $△ A D C \Rightarrow P Q // A C, P Q = \frac{1}{2} A C$ . c) Tứ giác $M N P Q$ có $M N // P Q$ và $M N = P Q$ nên là hình bình hành.

Bài 5: a) In $△ C N C$ : $M$ là trung điểm BC, $M K // N C \Rightarrow K$ là trung điểm NC $\Rightarrow N K = K C$ . b) In $△ A M K$ : $I$ là trung điểm AM, $I N // M K \Rightarrow N$ là trung điểm AK $\Rightarrow A N = N K$ . c) $A N = N K = K C \Rightarrow A N = \frac{1}{3} A C$ .

Bài 6: a) $D E // B C$ . Mà $A H ⊥ B C \Rightarrow D E ⊥ A H$ . b) $D E$ cắt $A H$ tại trung điểm $I$ của $A H \Rightarrow D, I, E$ thẳng hàng.

Bài 7: Sử dụng tính chất hình bình hành và đường trung bình $\Rightarrow D M = M N = N B$ .

Bài 8: Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho các tam giác nối trung điểm $\Rightarrow \frac{3}{4} P < Tổng trung tuy \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n < P$ .

Bài 9: $A B = 2 M N = 2 \cdot 18 = 36$ m.

Bài 10: a) $M N = \frac{8}{2} = 4$ m. b) $P Q = \frac{M N}{2} = \frac{4}{2} = 2$ m. c) $M N + P Q = 4 + 2 = 6$ m.