Lớp 8 · Chương 4: Định lí Thales

Bài 15: Định lí Thales trong tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Nhà toán học Thales đã đo chiều cao của Kim tự tháp Ai Cập vĩ đại chỉ bằng một chiếc gậy nhỏ nhờ ứng dụng Định lí Thales. Bài học này sẽ mở ra cánh cửa kết nối các tỉ số đoạn thẳng và hình học đồng dạng!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng & Đoạn thẳng tỉ lệ

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. $\frac{A B}{C D}$
Hai đoạn thẳng $A B$ và $C D$ gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng $A^{'} B^{'}$ và $C^{'} D^{'}$ nếu có tỉ lệ thức: $\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}}$

Hình 1: Định lí Thales trong tam giác ABC với $D E // B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

Ví dụ 1: Cho $A B = 6$ cm, $C D = 8$ cm. Tính tỉ số $\frac{A B}{C D}$ .
Lời giải: $\frac{A B}{C D} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

Ví dụ 2: Cho $A B = 5$ cm, $C D = 15$ cm và $A^{'} B^{'} = 3$ cm. Tìm $C^{'} D^{'}$ sao cho $A B, C D$ tỉ lệ với $A^{'} B^{'}, C^{'} D^{'}$ .
Lời giải: $\frac{A B}{C D} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{C ^{'} D ^{'}} \Rightarrow \frac{5}{15} = \frac{3}{C ^{'} D ^{'}} \Rightarrow C^{'} D^{'} = 9$ cm.

Ví dụ 3: Cho $M N = 4$ cm, $P Q = 10$ cm. Tính tỉ số $\frac{M N}{P Q}$ .
Lời giải: $\frac{M N}{P Q} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

2. Định lí Thales thuận và đảo trong tam giác

Định lí Thales thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. $D E // B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}; \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$
Định lí Thales đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Hệ quả của Định lí Thales: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. $D E // B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $D E // B C$ ( $D \in A B, E \in A C$ ). Biết $A D = 4$ cm, $D B = 2$ cm, $A E = 6$ cm. Tính $E C$ .
Lời giải: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{6}{E C} \Rightarrow E C = 3$ cm.

Ví dụ 2: Cho $△ A B C$ có $D E // B C$ . Biết $A D = 2$ cm, $A B = 6$ cm, $D E = 4$ cm. Tính $B C$ .
Lời giải: $\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B} \Rightarrow \frac{4}{B C} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \Rightarrow B C = 12$ cm.

Ví dụ 3: Cho $△ A B C$ . Trên $A B$ lấy $D$ , trên $A C$ lấy $E$ sao cho $A D = 3$ cm, $D B = 6$ cm, $A E = 4$ cm, $E C = 8$ cm. Chứng minh $D E // B C$ .
Lời giải: Ta có $\frac{A D}{D B} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ và $\frac{A E}{E C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow D E // B C$ (Định lí Thales đảo).

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Định lí Thales

🎯 Luyện tập Định lí Thales: Thuận, Đảo & Hệ quả

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Cho tam giác ABC có DE // BC (D trên AB, E trên AC). Tỉ số nào sau đây ĐÚNG theo định lí Thales?

\dfrac{AD}{AB} = ?

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng bằng Định lí Thales Phương pháp: Lập tỉ lệ thức từ đường song song và giải tìm độ dài còn thiếu.

Ví dụ 1: Cho $△ A B C$ có $H K // B C$ . Biết $A H = 3$ cm, $H B = 6$ cm, $A K = 4$ cm. Tính $A C$ .
Lời giải: $\frac{A H}{A B} = \frac{A K}{A C} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{4}{A C} \Rightarrow A C = 12$ cm.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: Tính hai tỉ số đoạn thẳng trên hai cạnh tam giác rồi áp dụng Định lí Thales đảo.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo chiều cao cây cối bằng bóng nắng): Để đo chiều cao cây $A B$ , người ta cắm một cọc $C D = 2$ m vuông góc với mặt đất. Khi bóng nắng của cây và cọc trùng nhau, ta đo được bóng cọc $D F = 1.5$ m và bóng cây $B F = 6$ m.

a) Giải thích vì sao $C D // A B$ .
b) Tính chiều cao cây $A B$ .

Lời giải:
a) Vì $C D ⊥ B F$ và $A B ⊥ B F$ nên $C D // A B$ .
b) Áp dụng hệ quả Thales trong $△ A B F$ có $C D // A B$ :
$\frac{C D}{A B} = \frac{D F}{B F} \Rightarrow \frac{2}{A B} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4} \Rightarrow A B = 8 (m)$
Vậy cây cao $8$ m.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tỉ số của hai đoạn thẳng AB = 4 cm và CD = 10 cm là:

⭐ Ghi nhớ

Định lí Thales thuận: $D E // B C \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ .
Định lí Thales đảo: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C} \Rightarrow D E // B C$ .
Hệ quả Thales: $D E // B C \Rightarrow \frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Tính tỉ số đoạn thẳng):

a) Cho $A B = 6$ cm, $C D = 15$ cm. Tính tỉ số $\frac{A B}{C D}$ .
b) Cho $M N = 8$ dm, $P Q = 1.2$ m. Tính tỉ số $\frac{M N}{P Q}$ .
c) Cho $\frac{A B}{C D} = \frac{3}{4}$ và $C D = 12$ cm. Tính $A B$ .
d) Cho $\frac{E F}{G H} = \frac{2}{5}$ và $E F = 6$ cm. Tính $G H$ .
e) Điểm C thuộc đoạn $A B = 20$ cm sao cho $\frac{C A}{C B} = \frac{2}{3}$ . Tính $C A, C B$ .
f) Điểm D nằm ngoài đoạn $A B = 10$ cm sao cho $\frac{D A}{D B} = \frac{3}{2}$ . Tính $D A, D B$ .

Bài 2 (Dễ — Tính độ dài bằng Định lí Thales): Cho $△ A B C$ có $D E // B C$ ( $D \in A B, E \in A C$ ).

a) Biết $A D = 2$ cm, $D B = 4$ cm, $A E = 3$ cm. Tính $E C$ .
b) Biết $A D = 3$ cm, $A B = 9$ cm, $A C = 12$ cm. Tính $A E$ .
c) Biết $D B = 5$ cm, $A B = 8$ cm, $E C = 10$ cm. Tính $A C$ .
d) Biết $A D = 4$ cm, $D B = 6$ cm, $D E = 5$ cm. Tính $B C$ .
e) Biết $A E = 6$ cm, $A C = 15$ cm, $B C = 20$ cm. Tính $D E$ .
f) Biết $A D = x, D B = 3, A E = 4, E C = 6$ . Tìm $x$ .

Bài 3 (Trung bình — Định lí Thales đảo): Cho $△ A B C$ . Chỉ ra các cặp đường thẳng song song trong các trường hợp sau:

a) $A D = 2, D B = 4, A E = 3, E C = 6$ ( $D \in A B, E \in A C$ ).
b) $A M = 4, M B = 6, A N = 6, N C = 9$ ( $M \in A B, N \in A C$ ).
c) $A P = 3, P B = 5, A Q = 6, QC = 10$ ( $P \in A B, Q \in A C$ ).
d) $A H = 5, A B = 15, A K = 4, A C = 12$ ( $H \in A B, K \in A C$ ).
e) $B M = 3, M A = 6, B N = 4, N C = 8$ ( $M \in A B, N \in B C$ ).
f) $A D = 4, A B = 10, A E = 6, A C = 14$ . Kiểm tra xem $D E$ có song song $B C$ không.

Bài 4 (Trung bình — Định lí Thales trong hình thang): Cho hình thang $A B C D$ ( $A B // C D$ ). Một đường thẳng song song hai đáy cắt $A D$ tại $M$ và cắt $B C$ tại $N$ .

a) Chứng minh $\frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C}$ .
b) Biết $A M = 4$ cm, $M D = 6$ cm, $B N = 6$ cm. Tính $N C$ .
c) Biết $A M = 3$ cm, $A D = 9$ cm, $B C = 12$ cm. Tính $B N$ .

Bài 5 (Trung bình — Hệ quả Thales & Đường chéo hình bình hành): Cho hình bình hành $A B C D$ . Một đường thẳng qua $A$ cắt $B D$ tại $I$ , cắt $B C$ tại $E$ và cắt $C D$ kéo dài tại $F$ .

a) Chứng minh $\frac{I A}{I E} = \frac{I B}{I D}$ .
b) Chứng minh $I A^{2} = I E \cdot I F$ .

Bài 6 (Khá — Chứng minh hai đường thẳng song song): Cho $△ A B C$ . Trên cạnh $A B$ lấy điểm $D$ , trên cạnh $A C$ lấy điểm $E$ sao cho $D E // B C$ . Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $A B$ cắt $B C$ tại $F$ . Chứng minh $\frac{A D}{A B} + \frac{C F}{C B} = 1$ .

Bài 7 (Khá — Tỉ số diện tích hai tam giác): Cho $△ A B C$ có $D E // B C$ ( $D \in A B, E \in A C$ ) sao cho $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}$ . Tính tỉ số diện tích $\frac{S _{A D E}}{S _{A B C}}$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Định lí Ceva đơn giản): Cho $△ A B C$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh $B C, C A, A B$ . Biết $A M, B N, C P$ đồng quy tại $O$ . Chứng minh tỉ số Thales ứng dụng.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Đo chiều cao tòa nhà): Một học sinh muốn đo chiều cao tòa nhà $A B$ . Bạn cắm một cọc $C D = 1.8$ m vuông góc với mặt đất. Biết bóng tòa nhà dài $15$ m và bóng cọc dài $2$ m. Tính chiều cao tòa nhà $A B$ .

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo khoảng cách hai bờ sông): Để đo khoảng cách $A B$ giữa hai điểm ở hai bên bờ sông, người ta vạch một đường thẳng $A C ⊥ A B$ dài $40$ m, trên đó lấy $D$ sao cho $A D = 10$ m. Kẻ $D E ⊥ A C$ cắt đường nhìn $B C$ tại $E$ . Đo được $D E = 8$ m. Tính khoảng cách $A B$ giữa hai bờ sông.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ . b) $1.2$ m $= 12$ dm $\Rightarrow \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ . c) $A B = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$ cm. d) $G H = \frac{5}{2} \cdot 6 = 15$ cm. e) $C A = 8$ cm, $C B = 12$ cm. f) $D A - D B = 10 \Rightarrow 3 x - 2 x = 10 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow D A = 30$ cm, $D B = 20$ cm.

Bài 2: a) $E C = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cm. b) $A E = \frac{3}{9} \cdot 12 = 4$ cm. c) $A D = 3 \Rightarrow \frac{3}{8} = \frac{A N}{A N + 10} \Rightarrow A N = 6$ cm $\Rightarrow A C = 16$ cm. d) $A B = 10 \Rightarrow B C = \frac{10 \cdot 5}{4} = 12.5$ cm. e) $\frac{A E}{A C} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \Rightarrow D E = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8$ cm. f) $\frac{x}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 2$ .

Bài 3: a) $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow D E // B C$ . b) $\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow M N // B C$ . c) $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \Rightarrow P Q // B C$ . d) $\frac{5}{15} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow H K // B C$ . e) $\frac{B M}{M A} = \frac{B N}{N C} = \frac{1}{2} \Rightarrow M N // A C$ . f) $\frac{4}{10} = \frac{2}{5} \neq = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \Rightarrow D E$ không song song với $B C$ .

Bài 4: a) Kẻ đường chéo $A C \Rightarrow$ áp dụng Thales cho $△ A D C$ và $△ A B C \Rightarrow \frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C}$ . b) $N C = \frac{6 \cdot 6}{4} = 9$ cm. c) $\frac{A M}{A D} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow B N = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ cm.

Bài 5: a) $A B // C D \Rightarrow △ I A B \sim △ I D F$ (hoặc Thales) $\Rightarrow \frac{I A}{I E} = \frac{I B}{I D}$ . b) Dùng Thales $A D // B C \Rightarrow \frac{I A}{I E} = \frac{I F}{I A} \Rightarrow I A^{2} = I E \cdot I F$ .

Bài 6: $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ; $\frac{C F}{C B} = \frac{C E}{A C}$ . Cộng lại: $\frac{A E + C E}{A C} = \frac{A C}{A C} = 1$ .

Bài 7: Tỉ số đồng dạng $k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S _{A D E}}{S _{A B C}} = k^{2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ .

Bài 8: Định lí Ceva: $\frac{P B}{P A} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{M B}{M C} = 1$ .

Bài 9: $\frac{A B}{1.8} = \frac{15}{2} \Rightarrow A B = \frac{1.8 \cdot 15}{2} = 13.5$ m.

Bài 10: $△ C D E \sim △ C A B$ (Thales $D E // A B$ ) $\Rightarrow \frac{D E}{A B} = \frac{C D}{C A} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{8}{A B} = \frac{3}{4} \Rightarrow A B = \frac{32}{3} \approx 10.67$ m.