Lớp 8 · Chương 3: Tứ giác

Bài 14: Hình thoi và Hình vuông

🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Viên gạch lát nền, quân bài rô hay biển báo giao thông nguy hiểm đều mang hình ảnh của Hình thoi và Hình vuông. Đây là hai hình hình học hoàn hảo nhất trong nhóm các tứ giác! Bài học này sẽ giúp bạn làm chủ toàn bộ định nghĩa, tính chất đường chéo và các dấu hiệu nhận biết hình thoi & hình vuông.

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. $A B C D l \overset{a}{ˋ} H \overset{ı}{ˋ} nh thoi \Leftrightarrow A B = B C = C D = D A$

Hình 1: Hình thoi ABCD có $A B = B C = C D = D A$ , $A C ⊥ B D$ tại O và $S = \frac{1}{2} A C \cdot B D$

Tính chất đường chéo hình thoi:

Hai đường chéo vuông góc với nhau ( $A C ⊥ B D$ ).
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau.
Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc.
Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ 1: Cho hình thoi $A B C D$ có $A C = 12$ cm, $B D = 16$ cm. Tính diện tích và cạnh hình thoi.
Lời giải:

$S = \frac{1}{2} A C \cdot B D = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ cm².
Giao điểm $O$ : $O A = 6$ cm, $O B = 8$ cm. Do $A C ⊥ B D \Rightarrow A B = O A^{2} + O B^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10$ cm.

Ví dụ 2: Cho hình thoi $A B C D$ có $A = 6 0^{\circ}$ . Chứng minh $△ A B D$ là tam giác đều.
Lời giải: Vì $A B C D$ là hình thoi $\Rightarrow A B = A D \Rightarrow △ A B D$ cân tại A. Lại có $A = 6 0^{\circ} \Rightarrow △ A B D$ là tam giác đều.

2. Hình vuông

Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau. $H \overset{ı}{ˋ} nh vu \overset{o}{ˆ} ng = H \overset{ı}{ˋ} nh chữ nhật + H \overset{ı}{ˋ} nh thoi$

Hình 2: Hình vuông ABCD có $A B = B C = C D = D A$ , 4 góc vuông, $A C = B D$ và $A C ⊥ B D$

Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

4 cạnh bằng nhau, 4 góc vuông.
2 đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường và là phân giác các góc.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc.
Hình thoi có 1 góc vuông.
Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh $a = 6$ cm. Tính đường chéo $A C$ .
Lời giải: $A C = a^{2} + a^{2} = a 2 = 62$ cm.

Ví dụ 2: Cho hình thoi $A B C D$ có $A C = B D$ . Tứ giác $A B C D$ là hình gì?
Lời giải: Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hình thoi & Hình vuông

🎯 Luyện tập Hình thoi & Hình vuông: Tính chất & Dấu hiệu nhận biết

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hình thoi là tứ giác có tính chất đặc trưng nào?

\text{Định nghĩa Hình Thoi}

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình thoi hoặc hình vuông Phương pháp: Áp dụng hệ thống dấu hiệu nhận biết từ hình bình hành / hình chữ nhật / hình thoi.

Ví dụ 1: Cho HCN $A B C D$ . Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ . Chứng minh $M N P Q$ là hình thoi.
Lời giải: Áp dụng tính chất đường trung bình trong các tam giác vuông $\Rightarrow M N = N P = P Q = QM = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D \Rightarrow M N P Q$ là hình thoi.

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Lát nền nhà bằng gạch hình vuông): Một căn phòng hình chữ nhật có kích thước $6$ m $\times 4$ m được lát bằng các viên gạch men hình vuông cạnh $40$ cm.

a) Tính diện tích căn phòng và diện tích 1 viên gạch.
b) Tính số viên gạch cần mua để lát kín căn phòng (bỏ qua mạch vữa).

Lời giải:
a) $S_{p h o n g} = 6 \cdot 4 = 24$ m² $= 240000$ cm².
$S_{g a c h} = 40 \cdot 40 = 1600$ cm².
b) Số viên gạch $= 240000 : 1600 = 150$ viên gạch.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hình thoi là tứ giác có:

⭐ Ghi nhớ

Hình thoi: 4 cạnh bằng nhau, 2 đường chéo vuông góc & là phân giác. $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ .
Hình vuông: Vừa là HCN vừa là Hình thoi. Đường chéo $A C = a 2$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết thuộc tính hình thoi & hình vuông):

a) Nêu định nghĩa hình thoi và tính chất hai đường chéo của nó.
b) Nêu định nghĩa hình vuông.
c) So sánh độ dài 4 cạnh của hình thoi và hình vuông.
d) So sánh 2 đường chéo của hình thoi và 2 đường chéo của hình vuông.
e) Viết công thức tính diện tích hình thoi khi biết 2 đường chéo.
f) Viết công thức tính đường chéo hình vuông cạnh $a$ .

Bài 2 (Dễ — Tính toán hình thoi): Cho hình thoi $A B C D$ có hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ .

a) Biết $A C = 6$ cm, $B D = 8$ cm. Tính diện tích hình thoi.
b) Tính độ dài cạnh hình thoi $A B$ ở câu a.
c) Tính chu vi hình thoi $A B C D$ ở câu a.
d) Cho hình thoi có cạnh $A B = 5$ cm, $A C = 6$ cm. Tính $B D$ .
e) Cho hình thoi có $A = 6 0^{\circ}$ và $A B = 8$ cm. Tính $B D$ .
f) Cho diện tích hình thoi $S = 30$ cm², $A C = 10$ cm. Tính $B D$ .

Bài 3 (Trung bình — Tính toán hình vuông):

a) Tính chu vi hình vuông cạnh $a = 7$ cm.
b) Tính diện tích hình vuông cạnh $a = 9$ cm.
c) Tính độ dài đường chéo hình vuông cạnh $a = 4$ cm.
d) Cho hình vuông có đường chéo $A C = 82$ cm. Tính độ dài cạnh hình vuông.
e) Cho hình vuông có diện tích $S = 64$ cm². Tính chu vi hình vuông.
f) Cho hình vuông $A B C D$ có $A C = 10$ cm. Tính diện tích hình vuông $A B C D$ .

Bài 4 (Trung bình — Chứng minh tứ giác là hình thoi): Cho tam giác $A B C$ cân tại A. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Trên tia đối của tia $M A$ lấy điểm $D$ sao cho $M D = M A$ .

a) Chứng minh $A B D C$ là hình bình hành.
b) Chứng minh $A D ⊥ B C$ .
c) Chứng minh $A B D C$ là hình thoi.

Bài 5 (Trung bình — Chứng minh tứ giác là hình vuông): Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại A. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Kẻ $M D ⊥ A B$ và $M E ⊥ A C$ .

a) Chứng minh $A D M E$ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh $A D = A E$ .
c) Chứng minh $A D M E$ là hình vuông.

Bài 6 (Khá — Hình vuông nối trung điểm): Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ .

a) Chứng minh $E F = F G = G H = H E$ .
b) Chứng minh $E G ⊥ F H$ .
c) Chứng minh tứ giác $E F G H$ là hình vuông.

Bài 7 (Khá — Đường phân giác trong hình chữ nhật): Cho hình chữ nhật $A B C D$ . Các tia phân giác của các góc $A, B, C, D$ cắt nhau tạo thành tứ giác $M N P Q$ . Chứng minh $M N P Q$ là hình vuông.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Điểm trên đường chéo hình vuông): Cho hình vuông $A B C D$ . Trên cạnh $A B$ lấy điểm $E$ , trên cạnh $A D$ lấy điểm $F$ sao cho $A E = A F$ . Kẻ $A H ⊥ B F$ . Chứng minh $A H$ cắt $C D$ tại trung điểm của $C D$ .

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Lát sân gạch hình vuông): Một khoảng sân hình chữ nhật rộng $8$ m, dài $12$ m được lát bằng các viên gạch hình vuông cạnh $50$ cm.

a) Tính diện tích sân và diện tích 1 viên gạch.
b) Tính tổng chi phí mua gạch lát sân nếu giá 1 viên gạch là $25.000$ đồng.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Cánh diều hình thoi): Một chiếc diều hình thoi có 2 thanh nẹp tre đóng vai trò 2 đường chéo có độ dài $60$ cm và $80$ cm.

a) Tính diện tích giấy bao phủ chiếc diều.
b) Tính độ dài phần viền xung quanh chiếc diều (chu vi hình thoi).

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau. Hai đường chéo vuông góc với nhau và là phân giác các góc. b) Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau. c) Đều có 4 cạnh bằng nhau. d) Hình thoi: 2 đường chéo vuông góc. Hình vuông: 2 đường chéo vừa vuông góc vừa bằng nhau. e) $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ . f) $d = a 2$ .

Bài 2: a) $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ cm². b) $O A = 3, O B = 4 \Rightarrow A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ cm. c) Chu vi $= 4 \cdot 5 = 20$ cm. d) $O A = 3 \Rightarrow O B = 5^{2} - 3^{2} = 4 \Rightarrow B D = 8$ cm. e) $△ A B D$ đều $\Rightarrow B D = A B = 8$ cm. f) $B D = \frac{2 S}{A C} = \frac{2 \cdot 30}{10} = 6$ cm.

Bài 3: a) Chu vi $= 4 \cdot 7 = 28$ cm. b) Diện tích $= 9^{2} = 81$ cm². c) $A C = 42$ cm. d) $a = 8$ cm. e) $a = 64 = 8$ cm $\Rightarrow$ Chu vi $= 32$ cm. f) $S = \frac{1}{2} A C^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} = 50$ cm².

Bài 4: a) $A B D C$ có $M$ là trung điểm $A D$ và $B C \Rightarrow A B D C$ là hình bình hành. b) $△ A B C$ cân tại A $\Rightarrow$ trung tuyến $A M$ đồng thời là đường cao $\Rightarrow A D ⊥ B C$ . c) HBH $A B D C$ có 2 đường chéo $A D ⊥ B C$ nên $A B D C$ là hình thoi.

Bài 5: a) $A = 9 0^{\circ}, D = 9 0^{\circ}, E = 9 0^{\circ} \Rightarrow A D M E$ là HCN. b) $A M$ là phân giác $A = 4 5^{\circ} \Rightarrow A D = A E$ . c) HCN $A D M E$ có 2 cạnh kề $A D = A E$ nên là hình vuông.

Bài 6: a) $E F = F G = G H = H E = \frac{a 2}{2} \Rightarrow E F G H$ là hình thoi. b) $E G // A B, F H // A D \Rightarrow E G ⊥ F H$ . c) Hình thoi $E F G H$ có 2 đường chéo bằng nhau $\Rightarrow E F G H$ là hình vuông.

Bài 7: Chứng minh 4 góc của $M N P Q$ đều bằng $9 0^{\circ} \Rightarrow M N P Q$ là HCN. Chứng minh 2 đường chéo vuông góc $\Rightarrow M N P Q$ là hình vuông.

Bài 8: Sử dụng tam giác đồng dạng và định lý Pythagore trong hình vuông.

Bài 9: a) $S_{s an} = 8 \cdot 12 = 96$ m² $= 960000$ cm². $S_{g a c h} = 50 \cdot 50 = 2500$ cm².
Số viên gạch $= 960000 : 2500 = 384$ viên.
b) Chi phí $= 384 \cdot 25.000 = 9.600.000$ đồng.

Bài 10: a) $S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 2400$ cm² $= 0.24$ m².
b) Giao điểm O có $O A = 30$ cm, $O B = 40$ cm $\Rightarrow$ cạnh diều $= 3 0^{2} + 4 0^{2} = 50$ cm.
Chu vi viền $= 4 \cdot 50 = 200$ cm $= 2$ m.