🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Màn hình tivi, quyển sách, khung ảnh hay mặt bàn học đều mang hình dáng của Hình chữ nhật. Bài học này cung cấp định nghĩa, tính chất đường chéo bằng nhau, các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật và định lý cực kỳ quan trọng về Đường trung tuyến trong tam giác vuông!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa và Tính chất của Hình chữ nhật

• Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông. $ABCD\text{ laˋ HCN}\iff \hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^{\circ }$

Hình 1: Hình chữ nhật ABCD có 4 góc vuông và $AC=BD$, $OA=OB=OC=OD$

Tính chất:

• Mang đầy đủ tất cả các tính chất của Hình bình hành và Hình thang cân.
• Đường chéo: Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ($AC=BD$ và $OA=OB=OC=OD$).

Ví dụ 1: Cho HCN $ABCD$ có $AB=12$ cm, $BC=5$ cm. Tính độ dài đường chéo $AC$.
Lời giải: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ cm.

Ví dụ 2: Cho HCN $ABCD$ có $AC=10$ cm. Tính khoảng cách $OA$ từ giao điểm $O$ hai đường chéo đến đỉnh A.
Lời giải: $OA=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm.

Ví dụ 3: Cho HCN $ABCD$ có góc $\widehat{AOB}=60^{\circ }$. Tam giác $OAB$ là tam giác gì?
Lời giải: Ta có $OA=OB$ (tính chất HCN) $\Rightarrow △OAB$ cân tại O. Lại có $\widehat{AOB}=60^{\circ }\Rightarrow △OAB$ là tam giác đều.

---

2. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật & Áp dụng vào tam giác vuông

Dấu hiệu nhận biết:

1. Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.
2. Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật.
3. Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.
4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Định lý áp dụng vào tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
• Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ 1: Cho $△ABC$ vuông tại A có $BC=16$ cm. Gọi M là trung điểm $BC$. Tính $AM$.
Lời giải: $AM=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm.

Ví dụ 2: Cho HBH $ABCD$ có $AC=BD$. Tứ giác $ABCD$ là hình gì?
Lời giải: Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Ví dụ 3: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=90^{\circ }$. Chứng minh $ABCD$ là HCN.
Lời giải: Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hình chữ nhật

🎯 Luyện tập Hình chữ nhật: Tính chất & Đường trung tuyến tam giác vuông

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hình chữ nhật là tứ giác có mấy góc vuông?

$$\text{Định nghĩa hình chữ nhật}$$

Xác nhận đáp án

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật Phương pháp: Chứng minh tứ giác có 3 góc vuông, hoặc chứng minh là HBH có 1 góc vuông / 2 đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho $△ABC$ vuông tại A. Gọi M là trung điểm $BC$. Kẻ $MD\perp AB,ME\perp AC$. Chứng minh $ADME$ là hình chữ nhật.
Lời giải: Ta có $\hat{A}=90^{\circ },\widehat{MDA}=90^{\circ },\widehat{MEA}=90^{\circ }$. Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Dạng 2: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông Phương pháp: Sử dụng $AM=\frac{1}{2}BC$ để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh tam giác cân.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Đo màn hình ti vi 55 inch): Màn hình ti vi hình chữ nhật có tỉ lệ chiều dài : chiều rộng là $4:3$. Biết độ dài đường chéo màn hình là $55$ inch (khoảng $140$ cm).

a) Tính chiều dài và chiều rộng của màn hình ti vi.
b) Tính diện tích màn hình ti vi.

Lời giải:
a) Đặt chiều rộng là $3x$ (cm), chiều dài là $4x$ (cm). Theo định lý Pythagore:
$(3x{)}^2+(4x{)}^2=140^2\Rightarrow 25x^2=19600\Rightarrow x^2=784\Rightarrow x=28\text{ (cm)}$
Chiều rộng $=3\cdot 28=84$ cm. Chiều dài $=4\cdot 28=112$ cm.
b) Diện tích màn hình $S=112\cdot 84=9408$ cm².

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hình chữ nhật là tứ giác có:

A4 góc vuôngB4 cạnh bằng nhauCHai đường chéo vuông gócDCác góc kề bù nhau

⭐ Ghi nhớ

• Hình chữ nhật: Tứ giác có 4 góc vuông. Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Trung tuyến tam giác vuông: $AM=\frac{1}{2}BC$.
• 4 Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác 3 góc vuông, HBH có 1 góc vuông, HBH 2 đường chéo bằng nhau, Hình thang cân 1 góc vuông.

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết thuộc tính hình chữ nhật): Cho hình chữ nhật $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$.

a) Nêu số đo các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D}$.
b) So sánh độ dài các cặp cạnh đối $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$.
c) So sánh độ dài hai đường chéo $AC$ và $BD$.
d) So sánh 4 khoảng cách $OA,OB,OC,OD$.
e) Chỉ ra các tam giác cân đỉnh O được tạo thành.
f) Nêu số trục đối xứng của hình chữ nhật.

Bài 2 (Dễ — Tính độ dài cạnh & Đường chéo hình chữ nhật):

a) Cho HCN $ABCD$ có $AB=4$ cm, $BC=3$ cm. Tính đường chéo $AC$.
b) Cho HCN $ABCD$ có $AB=12$ cm, $AC=13$ cm. Tính chiều rộng $BC$.
c) Cho HCN $ABCD$ có $AC=10$ cm. Tính $OA+OB$.
d) Tính chu vi HCN có $AB=9$ cm, $BC=5$ cm.
e) Tính diện tích HCN có $AB=8$ cm, $BC=6$ cm.
f) Cho HCN $ABCD$ có $AC=16$ cm. Tính bán kính đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D.

Bài 3 (Trung bình — Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông):

a) Cho $△ABC$ vuông tại A có $BC=12$ cm. Gọi M là trung điểm $BC$. Tính $AM$.
b) Cho $△ABC$ vuông tại A có trung tuyến $AM=7$ cm. Tính $BC$.
c) Cho $△ABC$ vuông tại A có $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Tính trung tuyến $AM$.
d) Cho $△ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Biết $AM=BM=MC=5$ cm. Chứng minh $△ABC$ vuông tại A.
e) Cho $△ABC$ vuông tại A, $M$ là trung điểm $BC$. Biết $\hat{B}=30^{\circ }$. Chứng minh $△ABM$ là tam giác đều.
f) Cho $△ABC$ vuông tại A, $M$ là trung điểm $BC$. Biết $AM=6$ cm, $AB=6$ cm. Tính $\hat{B}$.

Bài 4 (Trung bình — Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật): Cho $△ABC$ vuông tại A. Gọi M là trung điểm của $BC$. Kẻ $MD\perp AB(D\in AB)$ và $ME\perp AC(E\in AC)$.

a) Chứng minh $\widehat{MDA}=90^{\circ }$ và $\widehat{MEA}=90^{\circ }$.
b) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.
c) Chứng minh $DE=AM=\frac{1}{2}BC$.

Bài 5 (Trung bình — Hình chữ nhật từ hình bình hành): Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo. Biết $OA=OB$.

a) So sánh độ dài hai đường chéo $AC$ và $BD$.
b) Chứng minh $ABCD$ là hình chữ nhật.

Bài 6 (Khá — Hình chữ nhật từ tam giác vuông và đường trung tuyến): Cho $△ABC$ vuông tại A, đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB$ và $AC$.

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh $DE=AH$.

Bài 7 (Khá — Ba đường vuông góc): Cho $△ABC$ nhọn. Các đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M$.

a) Chứng minh tứ giác $BHCN$ là hình bình hành.
b) Chứng minh $BN\perp AB$ và $CN\perp AC$.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Chứng minh hình chữ nhật con): Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Chứng minh tứ giác $EFGH$ là hình thoi và tìm điều kiện để $EFGH$ là hình vuông.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Kiểm tra khung cửa vuông góc): Một thợ đóng cửa gỗ đo hai cạnh khung cửa được $AB=200$ cm, $BC=150$ cm và đường chéo $AC=250$ cm.

a) Khung cửa đó có đạt chuẩn góc vuông $\hat{B}=90^{\circ }$ hay không? Giải thích.
b) Tính diện tích khung cửa gỗ.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo khoảng cách bằng dây cáp): Một sân bóng đá hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=105$ m, chiều rộng $BC=68$ m.

a) Tính độ dài đường chéo $AC$ của sân bóng đá.
b) Người ta nối dây cáp từ tâm sân $O$ đến 4 góc sân. Tính độ dài mỗi đoạn dây cáp $OA$.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^{\circ }$. b) $AB=CD$ và $AD=BC$. c) $AC=BD$. d) $OA=OB=OC=OD$. e) $△OAB,△OBC,△OCD,△ODA$ là các tam giác cân tại O. f) 2 trục đối xứng.

Bài 2: a) $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$ cm. b) $BC=\sqrt{13^2-12^2}=5$ cm. c) $OA=OB=5$ cm $\Rightarrow OA+OB=10$ cm. d) Chu vi $=2(9+5)=28$ cm. e) Diện tích $=8\cdot 6=48$ cm². f) $R=OA=\frac{AC}{2}=8$ cm.

Bài 3: a) $AM=\frac{BC}{2}=6$ cm. b) $BC=2AM=14$ cm. c) $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm $\Rightarrow AM=\frac{10}{2}=5$ cm. d) $AM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow △ABC$ vuông tại A. e) $AM=BM=\frac{BC}{2}\Rightarrow △ABM$ cân tại M. Có $\hat{B}=60^{\circ }$ (do $90^{\circ }-30^{\circ }...$ hoặc $\hat{B}=30^{\circ }\Rightarrow \hat{C}=60^{\circ }...$ nếu $\hat{B}=60^{\circ }\Rightarrow △ABM$ đều). f) $AM=BM=AB=6$ cm $\Rightarrow △ABM$ đều $\Rightarrow \hat{B}=60^{\circ }$.

Bài 4: a) $MD\perp AB\Rightarrow \widehat{MDA}=90^{\circ }$; $ME\perp AC\Rightarrow \widehat{MEA}=90^{\circ }$. b) Tứ giác $ADME$ có $\hat{A}=90^{\circ },\widehat{MDA}=90^{\circ },\widehat{MEA}=90^{\circ }$ (3 góc vuông) nên $ADME$ là hình chữ nhật. c) Trong HCN $ADME$, hai đường chéo bằng nhau $\Rightarrow DE=AM$. Mặt khác $AM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow DE=\frac{1}{2}BC$.

Bài 5: a) HBH $ABCD$ có $OA=OB\Rightarrow AC=2OA=2OB=BD\Rightarrow AC=BD$. b) Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Bài 6: a) $\hat{A}=90^{\circ },\widehat{ADH}=90^{\circ },\widehat{AEH}=90^{\circ }\Rightarrow ADHE$ là hình chữ nhật. b) Trong HCN $ADHE$, hai đường chéo bằng nhau $\Rightarrow DE=AH$.

Bài 7: a) $M$ là trung điểm $BC$ và $HN\Rightarrow BHCN$ là hình bình hành. b) $BH//NC$. Do $BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC$. Tương tự $CH//NB\Rightarrow NB\perp AB$.

Bài 8: $EF=FG=GH=HE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD\Rightarrow EFGH$ là hình thoi. Để $EFGH$ là hình vuông thì $AC\perp BD\Rightarrow ABCD$ phải là hình vuông.

Bài 9: a) $A{B}^2+B{C}^2=200^2+150^2=40000+22500=62500=250^2=A{C}^2$. Theo định lý Pythagore đảo $\Rightarrow △ABC$ vuông tại B $\Rightarrow \hat{B}=90^{\circ }$ (đạt chuẩn vuông). b) Diện tích $=200\cdot 150=30000$ cm² $=3$ m².

Bài 10: a) $AC=\sqrt{105^2+68^2}=\sqrt{11025+4624}=\sqrt{15649}\approx 125.1$ m. b) $OA=\frac{AC}{2}\approx \frac{125.1}{2}\approx 62.55$ m.