🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Cánh cửa xếp kéo, giàn giáo công trình hay khung lưới trang trí đều ứng dụng tính chất của Hình bình hành. Bài học này sẽ cung cấp hệ thống định nghĩa, tính chất đường chéo, cạnh đối, góc đối và 5 dấu hiệu nhận biết hình bình hành vô cùng hữu ích!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa và Tính chất của Hình bình hành

• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. $ABCD\text{ laˋ HBH}\iff AB//CD\text{ vaˋ }AD//BC$

Hình 1: Hình bình hành ABCD có $AB=CD,AD=BC,\hat{A}=\hat{C},\hat{B}=\hat{D}$ và $OA=OC,OB=OD$

Các tính chất:

1. Về cạnh: Các cạnh đối bằng nhau ($AB=CD,AD=BC$).
2. Về góc: Các góc đối bằng nhau ($\hat{A}=\hat{C},\hat{B}=\hat{D}$); các góc kề một cạnh bù nhau.
3. Về đường chéo: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ($OA=OC,OB=OD$).

Ví dụ 1: Cho HBH $ABCD$ có $\hat{A}=75^{\circ }$. Tính các góc còn lại.
Lời giải: $\hat{C}=\hat{A}=75^{\circ }$. Do $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }\Rightarrow \hat{B}=105^{\circ }\Rightarrow \hat{D}=\hat{B}=105^{\circ }$.

Ví dụ 2: Cho HBH $ABCD$ có $AB=10$ cm, $BC=6$ cm. Tính $CD$ và $AD$.
Lời giải: $CD=AB=10$ cm; $AD=BC=6$ cm.

Ví dụ 3: Cho HBH $ABCD$ có $AC=14$ cm, $BD=10$ cm cắt nhau tại $O$. Tính $OA$ và $OB$.
Lời giải: $OA=\frac{AC}{2}=7$ cm; $OB=\frac{BD}{2}=5$ cm.

---

2. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu thỏa mãn 1 trong 5 dấu hiệu:

1. Tứ giác có các cạnh đối song song.
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 1: Tứ giác $ABCD$ có $AB//CD$ và $AB=CD=8$ cm. Hỏi $ABCD$ là hình gì?
Lời giải: $ABCD$ có 2 cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{C}=100^{\circ }$ và $\hat{B}=\hat{D}=80^{\circ }$. Chứng minh $ABCD$ là HBH.
Lời giải: Tứ giác có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho $△ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của $MA$ lấy $D$ sao cho $MD=MA$. Chứng minh $ABDC$ là HBH.
Lời giải: Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ABDC$ là hình bình hành.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hình bình hành

🎯 Luyện tập Hình bình hành: Tính chất & Dấu hiệu nhận biết

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối như thế nào?

$$\text{Định nghĩa hình bình hành}$$

Xác nhận đáp án

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh một tứ giác là hình bình hành Phương pháp: Áp dụng linh hoạt 1 trong 5 dấu hiệu nhận biết (đặc biệt là hai cạnh đối song song & bằng nhau hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm).

Ví dụ 1: Cho HBH $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh $AECF$ là hình bình hành.
Lời giải: Ta có $AE//CF$ (do $AB//CD$). Lại có $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=CF$. Tứ giác $AECF$ có $AE//CF$ và $AE=CF$ nên là HBH.

Dạng 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc hai đoạn thẳng song song / bằng nhau Phương pháp: Chứng minh tứ giác chứa các đoạn thẳng đó là hình bình hành $\Rightarrow$ Suy ra tính chất song song, bằng nhau hoặc đường chéo đi qua trung điểm.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Cửa kéo sắt hình bình hành): Một cửa xếp sắt gồm nhiều mắt lưới hình bình hành $ABCD$. Khi kéo cửa dãn ra, độ dài các cạnh $AB=15$ cm, $BC=15$ cm không đổi nhưng các góc thay đổi.

a) Khi góc $\hat{A}=60^{\circ }$, tính số đo các góc $\hat{B},\hat{C},\hat{D}$ của mắt lưới.
b) Giải thích vì sao khi kéo dãn cửa thì các thanh sắt ngang $AB$ và $CD$ luôn song song với nhau.

Lời giải:
a) $\hat{C}=\hat{A}=60^{\circ }$; $\hat{B}=\hat{D}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.
b) Do cấu tạo tứ giác $ABCD$ luôn duy trì hai cặp cạnh đối bằng nhau nên $ABCD$ luôn là hình bình hành $\Rightarrow AB//CD$.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hình bình hành là tứ giác có:

ACác cạnh đối song songBHai đường chéo vuông gócCBốn cạnh bằng nhauDBốn góc vuông

⭐ Ghi nhớ

• Hình bình hành: Cạnh đối song song & bằng nhau, góc đối bằng nhau, 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• 5 Dấu hiệu nhận biết: Cạnh đối //, Cạnh đối =, 1 cặp cạnh đối // và =, Góc đối =, 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết thuộc tính hình bình hành): Cho hình bình hành $ABCD$.

a) Chỉ ra hai cặp cạnh đối song song.
b) Chỉ ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.
c) Chỉ ra hai cặp góc đối bằng nhau.
d) Nêu tính chất của giao điểm $O$ hai đường chéo $AC$ và $BD$.
e) Viết mối quan hệ giữa góc $\hat{A}$ và góc $\hat{B}$.
f) So sánh độ dài $OA$ với $OC$, $OB$ với $OD$.

Bài 2 (Dễ — Tính góc trong hình bình hành): Tính các góc chưa biết của hình bình hành $ABCD$:

a) Biết $\hat{A}=110^{\circ }$. Tính $\hat{B},\hat{C},\hat{D}$.
b) Biết $\hat{B}=65^{\circ }$. Tính $\hat{A},\hat{C},\hat{D}$.
c) Biết $\hat{A}=2\hat{B}$. Tính 4 góc.
d) Biết $\hat{A}-\hat{B}=40^{\circ }$. Tính 4 góc.
e) Biết $\hat{A}+\hat{C}=160^{\circ }$. Tính 4 góc.
f) Biết $\hat{B}+\hat{D}=220^{\circ }$. Tính 4 góc.

Bài 3 (Trung bình — Tính độ dài cạnh và đường chéo): Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$.

a) Biết $AB=8$ cm, $BC=5$ cm. Tính chu vi hình bình hành.
b) Biết $AC=16$ cm, $BD=10$ cm. Tính $OA$ và $OB$.
c) Biết $OA=6$ cm, $OB=4$ cm. Tính độ dài hai đường chéo $AC$ và $BD$.
d) Cho chu vi HBH bằng $30$ cm, $AB=9$ cm. Tính độ dài cạnh $BC$.
e) Cho chu vi HBH bằng $24$ cm, biết $AB$ lớn hơn $BC$ $2$ cm. Tính $AB$ và $BC$.
f) Cho $OA+OB=11$ cm và $AC-BD=4$ cm. Tính $AC$ và $BD$.

Bài 4 (Trung bình — Chứng minh tứ giác là hình bình hành): Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD=MA$.

a) Chứng minh $△MAB=△MDC$.
b) Chứng minh $AB//CD$ và $AB=CD$.
c) Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình bình hành.

Bài 5 (Trung bình — Hình bình hành con trong hình bình hành): Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) Chứng minh $AE=CF$.
b) Chứng minh $AE//CF$.
c) Chứng minh tứ giác $AECF$ là hình bình hành.

Bài 6 (Khá — Đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối): Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.

a) Chứng minh $AMNC$ là hình thang.
b) Chứng minh tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.

Bài 7 (Khá — Ba điểm thẳng hàng): Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo. Qua $O$ vẽ đường thẳng $m$ cắt $AB$ tại $E$ và cắt $CD$ tại $F$.

a) Chứng minh $OE=OF$.
b) Chứng minh tứ giác $AECF$ là hình bình hành.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Giao điểm hai đường chéo và các trung điểm): Cho hình bình hành $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$, trên cạnh $CD$ lấy điểm $F$ sao cho $AE=CF$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh $E,O,F$ thẳng hàng.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Khung lưới rào xếp gọn): Một khung rào lưới hình bình hành $ABCD$ có cạnh $AB=120$ cm, $BC=80$ cm.

a) Tính chu vi khung rào lưới.
b) Khi điều chỉnh khung sao cho góc $\hat{A}=90^{\circ }$, tính độ dài đường chéo $AC$.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Thang xếp nâng hàng): Cơ cấu nâng của một xe nâng hàng gồm các thanh sắt xếp thành các hình bình hành nối tiếp. Cho một mắt lưới $ABCD$ có $AB=40$ cm, $BC=30$ cm.

a) Khi xe nâng nâng lên cao sao cho $\hat{A}=120^{\circ }$, tính góc $\hat{B}$ và $\hat{C}$.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai thanh ngang $AB$ và $CD$ luôn song song trong suốt quá trình nâng.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $AB//CD$ và $AD//BC$. b) $AB=CD$ và $AD=BC$. c) $\hat{A}=\hat{C}$ và $\hat{B}=\hat{D}$. d) $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. e) $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }$ (hai góc kề bù nhau). f) $OA=OC=\frac{AC}{2}$ và $OB=OD=\frac{BD}{2}$.

Bài 2: a) $\hat{C}=110^{\circ },\hat{B}=70^{\circ },\hat{D}=70^{\circ }$. b) $\hat{D}=65^{\circ },\hat{A}=115^{\circ },\hat{C}=115^{\circ }$. c) $\hat{A}+\hat{B}=180^{\circ }\Rightarrow 3\hat{B}=180^{\circ }\Rightarrow \hat{B}=\hat{D}=60^{\circ },\hat{A}=\hat{C}=120^{\circ }$. d) $\hat{A}=110^{\circ },\hat{C}=110^{\circ },\hat{B}=70^{\circ },\hat{D}=70^{\circ }$. e) $\hat{A}=\hat{C}=80^{\circ }\Rightarrow \hat{B}=\hat{D}=100^{\circ }$. f) $\hat{B}=\hat{D}=110^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}=70^{\circ }$.

Bài 3: a) Chu vi $=2(8+5)=26$ cm. b) $OA=8$ cm, $OB=5$ cm. c) $AC=12$ cm, $BD=8$ cm. d) $AB+BC=15\Rightarrow BC=15-9=6$ cm. e) $AB+BC=12$ cm. Biết $AB-BC=2\Rightarrow AB=7$ cm, $BC=5$ cm. f) $AC+BD=22$ cm. Biết $AC-BD=4\Rightarrow AC=13$ cm, $BD=9$ cm.

Bài 4: a) $△MAB=△MDC$ (c-g-c) do $MA=MD,\widehat{AMB}=\widehat{DMC},MB=MC$. b) $\Rightarrow AB=CD$ và $\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\Rightarrow AB//CD$. c) Tứ giác $ABDC$ có $AB//CD$ và $AB=CD$ nên $ABDC$ là hình bình hành.

Bài 5: a) $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=CF$. b) Do $AB//CD\Rightarrow AE//CF$. c) Tứ giác $AECF$ có $AE//CF$ và $AE=CF$ nên $AECF$ là hình bình hành.

Bài 6: a) $AM//CN$ (do $AD//BC$) $\Rightarrow AMNC$ là hình thang. b) Lại có $AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=CN$. Tứ giác $AMCN$ có $AM//CN$ và $AM=CN$ nên là hình bình hành.

Bài 7: a) $△OAE=△OCF$ (g-c-g) do $OA=OC,\widehat{AOE}=\widehat{COF},\widehat{OAE}=\widehat{OCF}\Rightarrow OE=OF$. b) Tứ giác $AECF$ có hai đường chéo $AC$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Bài 8: Do $AE//CF$ và $AE=CF\Rightarrow AECF$ là hình bình hành $\Rightarrow$ đường chéo $EF$ đi qua trung điểm $O$ của đường chéo $AC\Rightarrow E,O,F$ thẳng hàng.

Bài 9: a) Chu vi $=2(120+80)=400$ cm $=4$ m. b) Khi $\hat{A}=90^{\circ }\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AC=\sqrt{120^2+80^2}=\sqrt{14400+6400}=\sqrt{20800}\approx 144.2$ cm.

Bài 10: a) $\hat{B}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ };\hat{C}=\hat{A}=120^{\circ }$. b) Do $ABCD$ luôn là hình bình hành theo cấu tạo thanh giằng đối song song nên $AB//CD$ trong suốt quá trình nâng.