🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Một chiếc thang tre, mặt cắt của bờ đê hay hình ảnh của chậu cây treo đều chứa đựng hình ảnh của Hình thang cân. Bài học này sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, tính chất hai đường chéo, hai cạnh bên và các dấu hiệu nhận biết hình thang cân!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Định nghĩa và Tính chất của Hình thang cân

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Hình 1: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có $AD=BC$ và $AC=BD$

Định lý 1 (Cạnh bên): Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau ($AD=BC$).
Định lý 2 (Đường chéo): Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau ($AC=BD$).

Ví dụ 1: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $\hat{C}=65^{\circ }$. Tính các góc còn lại.
Lời giải:

• Vì $ABCD$ là hình thang cân kề đáy $CD\Rightarrow \hat{D}=\hat{C}=65^{\circ }$.
• Hai góc kề cạnh bên bù nhau $\Rightarrow \hat{A}=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.
• Kề đáy $AB\Rightarrow \hat{B}=\hat{A}=115^{\circ }$.

Ví dụ 2: Cho hình thang cân $ABCD$ có $AD=6$ cm. Tính độ dài cạnh $BC$.
Lời giải: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau nên $BC=AD=6$ cm.

Ví dụ 3: Cho hình thang cân $ABCD$ có đường chéo $AC=9$ cm. Tính độ dài $BD$.
Lời giải: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau nên $BD=AC=9$ cm.

---

2. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Một tứ giác là hình thang cân nếu thỏa mãn một trong các dấu hiệu sau:

1. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
3. Hình thang có hai góc đối bù nhau.

Ví dụ 1: Cho hình thang $ABCD$ ($AB//CD$) có $AC=BD$. Tứ giác $ABCD$ là hình gì?
Lời giải: $ABCD$ là hình thang có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại A. Kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. Chứng minh $BDEC$ là hình thang cân.
Lời giải:

• $DE//BC\Rightarrow BDEC$ là hình thang.
• $△ABC$ cân tại A $\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}$.
• Hình thang $BDEC$ có hai góc kề đáy $BC$ bằng nhau nên là hình thang cân.

Ví dụ 3: Cho hình thang $ABCD$ ($AB//CD$) có $\hat{A}+\hat{C}=180^{\circ }$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang cân.
Lời giải: Ta có $\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }$ (hai góc trong cùng phía) $\Rightarrow \hat{D}=\hat{C}\Rightarrow ABCD$ là hình thang cân.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Hình thang cân

🎯 Luyện tập Hình thang cân: Tính chất & Dấu hiệu nhận biết

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Hình thang cân là hình thang có hai góc như thế nào?

$$\text{Dấu hiệu nhận biết góc}$$

Xác nhận đáp án

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính góc và độ dài đoạn thẳng trong hình thang cân Phương pháp: Dùng tính chất hai góc kề một đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau và kẻ đường cao $AH\perp CD,BK\perp CD$.

Ví dụ 1: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $AB=5$ cm, $CD=11$ cm. Kẻ đường cao $AH,BK\perp CD$. Tính $DH$.
Lời giải: $DH=\frac{CD-AB}{2}=\frac{11-5}{2}=3$ cm.

Ví dụ 2: Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $\hat{A}=120^{\circ }$. Tính $\hat{C}$.
Lời giải: $\hat{B}=\hat{A}=120^{\circ }\Rightarrow \hat{C}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang cân Phương pháp: Chứng minh tứ giác có 2 cạnh song song (hình thang), sau đó chứng minh 2 góc kề một đáy bằng nhau hoặc 2 đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại A. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Chứng minh $BMNC$ là hình thang cân.
Lời giải: $MN$ là đường trung bình của $△ABC\Rightarrow MN//BC\Rightarrow BMNC$ là hình thang. Do $△ABC$ cân nên $\hat{B}=\hat{C}\Rightarrow BMNC$ là hình thang cân.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Mặt cắt bờ đê): Mặt cắt ngang của một bờ đê có dạng hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) với đáy trên $AB=4$ m, đáy dưới $CD=10$ m, chiều cao $h=4$ m.

a) Kẻ các đường cao $AH,BK\perp CD$. Tính độ dài $DH$ và $KC$.
b) Tính độ dài cạnh bên $AD$ của bờ đê.

Lời giải:
a) $DH=KC=\frac{CD-AB}{2}=\frac{10-4}{2}=3$ (m).
b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $AHD$: $AD=\sqrt{A{H}^2+D{H}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ (m).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hình thang cân là hình thang có:

AHai góc kề một đáy bằng nhauBHai góc đối bằng nhauCHai góc kề một cạnh bên bằng nhauDHai đáy bằng nhau

⭐ Ghi nhớ

• Hình thang cân: 2 góc kề một đáy bằng nhau, 2 cạnh bên bằng nhau, 2 đường chéo bằng nhau.
• Đoạn tách đáy khi kẻ 2 đường cao: $DH=KC=\frac{CD-AB}{2}$.

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết thuộc tính hình thang cân): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$).

a) Chỉ ra hai đáy của hình thang cân.
b) Chỉ ra hai cạnh bên của hình thang cân.
c) So sánh độ dài $AD$ và $BC$.
d) So sánh độ dài hai đường chéo $AC$ và $BD$.
e) So sánh hai góc $\hat{A}$ và $\hat{B}$.
f) So sánh hai góc $\hat{C}$ và $\hat{D}$.

Bài 2 (Dễ — Tính góc trong hình thang cân): Tính các góc chưa biết của hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$):

a) Biết $\hat{A}=80^{\circ }$. Tính $\hat{B},\hat{C},\hat{D}$.
b) Biết $\hat{C}=55^{\circ }$. Tính $\hat{A},\hat{B},\hat{D}$.
c) Biết $\hat{D}=70^{\circ }$. Tính $\hat{A},\hat{B},\hat{C}$.
d) Biết $\hat{A}=115^{\circ }$. Tính $\hat{B},\hat{C},\hat{D}$.
e) Biết $\hat{A}=2\hat{D}$. Tính 4 góc.
f) Biết $\hat{A}-\hat{D}=40^{\circ }$. Tính 4 góc.

Bài 3 (Trung bình — Tính độ dài các đoạn thẳng kẻ từ đường cao): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $AB=6$ cm, $CD=14$ cm. Kẻ $AH\perp CD,BK\perp CD$.

a) Tính độ dài đoạn $DH$.
b) Tính độ dài đoạn $HK$.
c) Tính độ dài đoạn $KC$.
d) Tính độ dài đoạn $HC$.
e) Biết $AH=3$ cm, tính cạnh bên $AD$.
f) Tính chu vi hình thang cân $ABCD$.

Bài 4 (Trung bình — Tam giác cân tạo thành từ hai đường chéo): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $AC$ cắt $BD$ tại $O$.

a) Chứng minh $△OAB$ cân tại $O$.
b) Chứng minh $△OCD$ cân tại $O$.
c) Chứng minh $OA=OB$ và $OC=OD$.

Bài 5 (Trung bình — Chứng minh tứ giác là hình thang cân): Cho tam giác $ABC$ cân tại A. Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $M,N$ sao cho $AM=AN$.

a) Chứng minh $MN//BC$.
b) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân.

Bài 6 (Khá — Hình thang cân có đường chéo là phân giác): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $DB$ là tia phân giác của góc $\hat{D}$.

a) Chứng minh $△ABD$ cân tại A.
b) Tính chu vi hình thang cân nếu $AB=5$ cm và $CD=11$ cm.

Bài 7 (Khá — Đường cao và cạnh bên): Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$, $AB<CD$). Kẻ hai đường cao $AH,BK$. Chứng minh $DH=CK=\frac{CD-AB}{2}$.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau): Cho hình thang $ABCD$ ($AB//CD$). Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết $OA=OB$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang cân.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Mặt cắt đê sông): Một mặt cắt bờ đê có dạng hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có $AB=5$ m, $CD=13$ m, đường cao $h=3$ m.

a) Tính độ dài phần đất dốc bên cạnh $AD$.
b) Tính diện tích mặt cắt ngang của bờ đê.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Thiết kế chậu hoa treo): Mặt bên của một chậu hoa bằng sứ dạng hình thang cân $ABCD$ ($AB//CD$) có góc kề đáy $\hat{D}=60^{\circ }$, đáy nhỏ $AB=12$ cm, cạnh bên $AD=10$ cm.

a) Kẻ $AH\perp CD$. Tính độ dài $DH$ và đáy lớn $CD$.
b) Tính chu vi mặt bên của chậu hoa.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $AB$ và $CD$. b) $AD$ và $BC$. c) $AD=BC$. d) $AC=BD$. e) $\hat{A}=\hat{B}$. f) $\hat{C}=\hat{D}$.

Bài 2: a) $\hat{B}=80^{\circ },\hat{C}=100^{\circ },\hat{D}=100^{\circ }$. b) $\hat{D}=55^{\circ },\hat{A}=125^{\circ },\hat{B}=125^{\circ }$. c) $\hat{C}=70^{\circ },\hat{A}=110^{\circ },\hat{B}=110^{\circ }$. d) $\hat{B}=115^{\circ },\hat{C}=65^{\circ },\hat{D}=65^{\circ }$. e) $\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }\Rightarrow 3\hat{D}=180^{\circ }\Rightarrow \hat{D}=\hat{C}=60^{\circ },\hat{A}=\hat{B}=120^{\circ }$. f) $\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=110^{\circ },\hat{B}=110^{\circ },\hat{C}=70^{\circ },\hat{D}=70^{\circ }$.

Bài 3: a) $DH=\frac{CD-AB}{2}=\frac{14-6}{2}=4$ cm. b) $HK=AB=6$ cm. c) $KC=DH=4$ cm. d) $HC=HK+KC=6+4=10$ cm. e) $AD=\sqrt{A{H}^2+D{H}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. f) Chu vi $=AB+CD+2AD=6+14+2(5)=30$ cm.

Bài 4: a) Xét $△ABD$ và $△BAC$ có $AB$ chung, $AD=BC,BD=AC\Rightarrow △ABD=△BAC$ (c-c-c) $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BAC}\Rightarrow △OAB$ cân tại $O$. b) Do $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ và $AB//CD\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}\Rightarrow △OCD$ cân tại $O$. c) Suy ra $OA=OB$ và $OC=OD$.

Bài 5: a) $△AMN$ cân tại A ($AM=AN$) $\Rightarrow \widehat{AMN}=\frac{180^{\circ }-\hat{A}}{2}$. Do $△ABC$ cân tại A $\Rightarrow \hat{B}=\frac{180^{\circ }-\hat{A}}{2}\Rightarrow \widehat{AMN}=\hat{B}\Rightarrow MN//BC$. b) Hình thang $BMNC$ có $\hat{B}=\hat{C}$ nên là hình thang cân.

Bài 6: a) $DB$ là phân giác $\hat{D}\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{BDC}$. Mà $AB//CD\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BDC}\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ADB}\Rightarrow △ABD$ cân tại A. b) $\Rightarrow AD=AB=5$ cm. Do $ABCD$ cân $\Rightarrow BC=AD=5$ cm. Chu vi $=5+11+5+5=26$ cm.

Bài 7: Chứng minh $△AHD=△BKC$ (cạnh huyền - góc nhọn) $\Rightarrow DH=CK$. Mặt khác $HK=AB$, nên $DH+CK=CD-AB\Rightarrow DH=CK=\frac{CD-AB}{2}$.

Bài 8: $OA=OB\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$. Vì $AB//CD\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}\Rightarrow △OCD$ cân tại $O\Rightarrow OC=OD$. Suy ra $AC=OA+OC=OB+OD=BD$. Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Bài 9: a) $DH=\frac{13-5}{2}=4$ m. Cạnh dốc $AD=\sqrt{h^2+D{H}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ m. b) $S=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\frac{(5+13)\cdot 3}{2}=27$ m².

Bài 10: a) Trong tam giác vuông $AHD$: $\widehat{HAD}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }\Rightarrow DH=\frac{1}{2}AD=5$ cm.
Đáy lớn $CD=AB+2DH=12+2(5)=22$ cm. b) Chu vi $=AB+CD+2AD=12+22+20=54$ cm.