🚀 Khởi động

🎯 Khởi động bài học

Mặt bàn, khung cửa sổ, cánh diều hay màn hình máy tính đều là các hình ảnh thực tế của Tứ giác. Bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm tứ giác lồi, các yếu tố của tứ giác và định lý quan trọng về tổng các góc trong một tứ giác!

🔍 Khám phá

📐 Lý thuyết & Kiến thức trọng tâm

1. Khái niệm tứ giác và Tứ giác lồi

• Tứ giác $ABCD$ là hình gồm 4 đoạn thẳng $AB,BC,CD,DA$ trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
• Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.

Hình 1: Hình ảnh tứ giác lồi (bên trái) và tứ giác không lồi (bên phải)

Ví dụ 1: Chỉ ra hai góc đối nhau của tứ giác $ABCD$.
Lời giải: Góc $\hat{A}$ và $\hat{C}$ là hai góc đối; góc $\hat{B}$ và $\hat{D}$ là hai góc đối.

Ví dụ 2: Chỉ ra hai đường chéo của tứ giác $ABCD$.
Lời giải: Đoạn thẳng $AC$ và $BD$ nối hai đỉnh đối diện là hai đường chéo.

Ví dụ 3: Chỉ ra các cạnh kề của cạnh $AB$.
Lời giải: Cạnh $AD$ và $BC$ là hai cạnh kề với cạnh $AB$.

---

2. Định lý tổng các góc của một tứ giác

Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{\circ }$. $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^{\circ }$

Hình 2: Đường chéo AC chia tứ giác ABCD thành 2 tam giác ABC và ADC có tổng số đo góc bằng $180^{\circ }+180^{\circ }=360^{\circ }$

Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=70^{\circ },\hat{B}=110^{\circ },\hat{C}=80^{\circ }$. Tính góc $\hat{D}$.
Lời giải: $\hat{D}=360^{\circ }-(70^{\circ }+110^{\circ }+80^{\circ })=100^{\circ }$.

Ví dụ 2: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=90^{\circ },\hat{B}=90^{\circ },\hat{C}=90^{\circ }$. Hỏi góc $\hat{D}$ bằng bao nhiêu?
Lời giải: $\hat{D}=360^{\circ }-3\cdot 90^{\circ }=90^{\circ }$.

Ví dụ 3: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=x,\hat{B}=2x,\hat{C}=3x,\hat{D}=4x$. Tìm $x$.
Lời giải: $x+2x+3x+4x=360^{\circ }\Rightarrow 10x=360^{\circ }\Rightarrow x=36^{\circ }$.

✏️ Thực hành tương tác

🎮 Luyện tập tương tác Tứ giác & Tính góc

🎯 Luyện tập Tứ giác & Tổng các góc trong tứ giác

⭐ Điểm: 0🔥 Chuỗi: 0

Tổng các góc của một tứ giác luôn bằng bao nhiêu độ?

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = ?$$

Xác nhận đáp án

🌍 Các dạng toán & Phương pháp giải

💡 Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính số đo góc của tứ giác Phương pháp: Dùng định lý tổng 4 góc trong tứ giác bằng $360^{\circ }$.

Ví dụ 1: Tính góc $\hat{C}$ của tứ giác $ABCD$ biết $\hat{A}=65^{\circ },\hat{B}=115^{\circ },\hat{D}=85^{\circ }$.
Lời giải: $\hat{C}=360^{\circ }-(65^{\circ }+115^{\circ }+85^{\circ })=95^{\circ }$.

Ví dụ 2: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=80^{\circ }$. Tính $\hat{D}$.
Lời giải: $\hat{D}=360^{\circ }-3(80^{\circ })=120^{\circ }$.

Ví dụ 3: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{C}+20^{\circ }$, $\hat{B}=100^{\circ },\hat{D}=80^{\circ }$. Tính $\hat{A}$ và $\hat{C}$.
Lời giải: $\hat{A}+\hat{C}=360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow (\hat{C}+20^{\circ })+\hat{C}=180^{\circ }\Rightarrow 2\hat{C}=160^{\circ }\Rightarrow \hat{C}=80^{\circ },\hat{A}=100^{\circ }$.

Dạng 2: Bài toán tổng và hiệu số đo các góc Phương pháp: Biểu diễn các góc theo một biến $x$ hoặc giải hệ phương trình hai ẩn đơn giản.

Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}+\hat{B}=200^{\circ }$. Tính $\hat{C}+\hat{D}$.
Lời giải: $\hat{C}+\hat{D}=360^{\circ }-200^{\circ }=160^{\circ }$.

Ví dụ 2: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}:\hat{B}:\hat{C}:\hat{D}=2:3:4:3$. Tính các góc.
Lời giải: Tổng số phần = $2+3+4+3=12$. Giá trị 1 phần = $360^{\circ }/12=30^{\circ }$.
$\Rightarrow \hat{A}=60^{\circ },\hat{B}=90^{\circ },\hat{C}=120^{\circ },\hat{D}=90^{\circ }$.

🌍 Vận dụng thực tế

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Thiết kế khung mái nhà tứ giác): Khung mái nhà có dạng tứ giác $ABCD$ có các góc đo được là $\hat{A}=110^{\circ },\hat{B}=110^{\circ },\hat{C}=70^{\circ }$.

a) Tính góc $\hat{D}$ của khung mái nhà.
b) Khung mái nhà trên có hai cạnh $AB$ và $CD$ song song với nhau hay không? Giải thích.

Lời giải:
a) $\hat{D}=360^{\circ }-(110^{\circ }+110^{\circ }+70^{\circ })=70^{\circ }$.
b) Ta có $\hat{A}+\hat{D}=110^{\circ }+70^{\circ }=180^{\circ }$. Vì hai góc trong cùng phía bù nhau nên $AB//CD$.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tổng các góc trong một tứ giác bằng:

A$360°$B$180°$C$270°$D$540°$

⭐ Ghi nhớ

• Tứ giác lồi: Luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào.
• Định lý tổng 4 góc: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^{\circ }$.

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết thuộc tính tứ giác): Cho tứ giác $ABCD$. Hãy chỉ ra:

a) Các cặp đỉnh đối nhau.
b) Các cặp cạnh đối nhau.
c) Các cặp góc đối nhau.
d) Hai đường chéo của tứ giác.
e) Các cạnh kề với cạnh $BC$.
f) Các góc kề với góc $\hat{B}$.

Bài 2 (Dễ — Tính góc còn thiếu trong tứ giác): Tính góc chưa biết của các tứ giác $ABCD$ sau:

a) $\hat{A}=80^{\circ },\hat{B}=100^{\circ },\hat{C}=120^{\circ }$. Tính $\hat{D}$.
b) $\hat{A}=90^{\circ },\hat{B}=90^{\circ },\hat{D}=75^{\circ }$. Tính $\hat{C}$.
c) $\hat{B}=70^{\circ },\hat{C}=110^{\circ },\hat{D}=80^{\circ }$. Tính $\hat{A}$.
d) $\hat{A}=105^{\circ },\hat{B}=75^{\circ },\hat{C}=105^{\circ }$. Tính $\hat{D}$.
e) Tứ giác có 3 góc vuông. Tính góc thứ tư.
f) Tứ giác có 3 góc bằng $70^{\circ }$. Tính góc còn lại.

Bài 3 (Trung bình — Góc theo tỷ lệ & Phương trình):

a) Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}:\hat{B}:\hat{C}:\hat{D}=1:2:3:4$. Tính các góc.
b) Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\frac{1}{2}\hat{D}$. Tính các góc.
c) Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}-\hat{B}=20^{\circ },\hat{C}=90^{\circ },\hat{D}=110^{\circ }$. Tính $\hat{A},\hat{B}$.
d) Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}+\hat{C}=180^{\circ }$. Biết $\hat{B}=100^{\circ }$. Tính $\hat{D}$.
e) Tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=2\hat{B},\hat{C}=3\hat{B},\hat{D}=4\hat{B}$. Tính các góc.
f) Tứ giác $ABCD$ có góc ngoài tại đỉnh A bằng $120^{\circ }$, $\hat{B}=80^{\circ },\hat{C}=100^{\circ }$. Tính $\hat{D}$.

Bài 4 (Trung bình — Chứng minh hai đường thẳng song song trong tứ giác): Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=100^{\circ },\hat{D}=80^{\circ },\hat{C}=110^{\circ }$.

a) Tính góc $\hat{B}$.
b) Chứng minh $AB//CD$.

Bài 5 (Trung bình — Bất đẳng thức tam giác ứng dụng cho hai đường chéo): Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$.

a) Chứng minh $AC+BD>AB+CD$.
b) Chứng minh $AC+BD>AD+BC$.

Bài 6 (Khá — Tổng góc ngoài của tứ giác):

a) Tính tổng 4 góc ngoài (mỗi đỉnh lấy một góc ngoài) của một tứ giác lồi $ABCD$.
b) Chứng minh một tứ giác lồi không thể có cả 4 góc đều là góc tù.

Bài 7 (Khá — Tia phân giác hai góc kề): Cho tứ giác $ABCD$. Các tia phân giác của góc $\hat{A}$ và góc $\hat{B}$ cắt nhau tại $I$.

a) Chứng minh $\widehat{AIB}=\frac{\hat{C}+\hat{D}}{2}$.
b) Áp dụng tính $\widehat{AIB}$ khi $\hat{C}=80^{\circ },\hat{D}=100^{\circ }$.

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tia phân giác hai góc đối): Cho tứ giác $ABCD$. Các tia phân giác của góc $\hat{A}$ và góc $\hat{C}$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh góc tạo bởi hai tia phân giác này liên hệ với hai góc $\hat{B}$ và $\hat{D}$.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Khung cửa sổ bốn góc): Một thợ cơ khí hàn một khung sắt tứ giác $ABCD$ có $\hat{A}=90^{\circ },\hat{B}=90^{\circ },\hat{C}=90^{\circ }$.

a) Tính góc $\hat{D}$ và xác định dạng hình học của khung sắt.
b) Kiểm tra xem hai đường chéo $AC$ và $BD$ có bằng nhau hay không.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Đo góc cánh diều): Một chiếc diều có dạng tứ giác $ABCD$ với $AB=AD$ và $CB=CD$. Biết $\hat{B}=95^{\circ },\hat{D}=95^{\circ },\hat{A}=100^{\circ }$.

a) Tính góc $\hat{C}$ của chiếc diều.
b) Chứng minh đường chéo $AC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BD$.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $A$ và $C$; $B$ và $D$. b) $AB$ và $CD$; $AD$ và $BC$. c) $\hat{A}$ và $\hat{C}$; $\hat{B}$ và $\hat{D}$. d) $AC$ và $BD$. e) $AB$ và $CD$. f) $\hat{A}$ và $\hat{C}$.

Bài 2: a) $\hat{D}=360^{\circ }-(80^{\circ }+100^{\circ }+120^{\circ })=60^{\circ }$. b) $\hat{C}=360^{\circ }-(90^{\circ }+90^{\circ }+75^{\circ })=105^{\circ }$. c) $\hat{A}=360^{\circ }-(70^{\circ }+110^{\circ }+80^{\circ })=100^{\circ }$. d) $\hat{D}=360^{\circ }-(105^{\circ }+75^{\circ }+105^{\circ })=75^{\circ }$. e) Góc thứ tư $=360^{\circ }-3(90^{\circ })=90^{\circ }$. f) Góc còn lại $=360^{\circ }-3(70^{\circ })=150^{\circ }$.

Bài 3: a) $10x=360^{\circ }\Rightarrow x=36^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=36^{\circ },\hat{B}=72^{\circ },\hat{C}=108^{\circ },\hat{D}=144^{\circ }$. b) $\frac{1}{2}\hat{D}+\frac{1}{2}\hat{D}+\frac{1}{2}\hat{D}+\hat{D}=360^{\circ }\Rightarrow 2,5\hat{D}=360^{\circ }\Rightarrow \hat{D}=144^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=72^{\circ }$. c) $\hat{A}+\hat{B}=360^{\circ }-(90^{\circ }+110^{\circ })=160^{\circ }$. Mà $\hat{A}-\hat{B}=20^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=90^{\circ },\hat{B}=70^{\circ }$. d) $\hat{B}+\hat{D}=360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow \hat{D}=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$. e) $b+2b+3b+4b=360^{\circ }\Rightarrow 10b=360^{\circ }\Rightarrow b=36^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=72^{\circ },\hat{B}=36^{\circ },\hat{C}=108^{\circ },\hat{D}=144^{\circ }$. f) Góc trong $\hat{A}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\Rightarrow \hat{D}=360^{\circ }-(60^{\circ }+80^{\circ }+100^{\circ })=120^{\circ }$.

Bài 4: a) $\hat{B}=360^{\circ }-(100^{\circ }+80^{\circ }+110^{\circ })=70^{\circ }$. b) Ta có $\hat{A}+\hat{D}=100^{\circ }+80^{\circ }=180^{\circ }$. Hai góc trong cùng phía bù nhau $\Rightarrow AB//CD$.

Bài 5: a) Trong $△OAB$ có $OA+OB>AB$. Trong $△OCD$ có $OC+OD>CD$. Cộng lại: $(OA+OC)+(OB+OD)>AB+CD\Rightarrow AC+BD>AB+CD$. b) Tương tự trong $△OAD$ và $△OBC\Rightarrow AC+BD>AD+BC$.

Bài 6: a) Tổng 4 góc ngoài $=(180^{\circ }-\hat{A})+(180^{\circ }-\hat{B})+(180^{\circ }-\hat{C})+(180^{\circ }-\hat{D})=720^{\circ }-360^{\circ }=360^{\circ }$. b) Nếu 4 góc đều tù ($>90^{\circ }$) thì tổng 4 góc $>4\cdot 90^{\circ }=360^{\circ }$ (mâu thuẫn với định lý).

Bài 7: a) Trong $△IAB$: $\widehat{AIB}=180^{\circ }-\left(\frac{\hat{A}}{2}+\frac{\hat{B}}{2}\right)=180^{\circ }-\frac{360^{\circ }-(\hat{C}+\hat{D})}{2}=\frac{\hat{C}+\hat{D}}{2}$. b) $\widehat{AIB}=\frac{80^{\circ }+100^{\circ }}{2}=90^{\circ }$.

Bài 8: Sử dụng tổng các góc trong tam giác và góc ngoài $\Rightarrow$ Góc tại K bằng $\frac{|\hat{B}-\hat{D}|}{2}$.

Bài 9: a) $\hat{D}=360^{\circ }-3(90^{\circ })=90^{\circ }$. Tứ giác có 4 góc vuông nên khung sắt là hình chữ nhật. b) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau $\Rightarrow AC=BD$.

Bài 10: a) $\hat{C}=360^{\circ }-(95^{\circ }+95^{\circ }+100^{\circ })=70^{\circ }$. b) Xét $△ABD$ cân tại A ($AB=AD$) và $△CBD$ cân tại C ($CB=CD$) $\Rightarrow A$ và $C$ thuộc đường trung trực của $BD\Rightarrow AC$ là đường trung trực của $BD$.