Lớp 8 · Chương 1: Đa thức

Bài 1: Đơn thức

🚀 Khởi động

🧮 Đơn thức — Khối xây dựng của Đại số

Đơn thức là những biểu thức đại số nền tảng nhất. Giống như những viên gạch kết nối để xây dựng nên các công trình toán học phức tạp hơn, đơn thức xuất hiện khắp nơi trong các công thức tính toán thực tế!

📦

Diện tích hình chữ nhật

$S = x \cdot y$ (Đơn thức bậc 2)

🎲

Thể tích hình hộp

$V = x \cdot y \cdot z$ (Đơn thức bậc 3)

⚡

Quãng đường / Công suất

$S = v \cdot t$ (Đơn thức bậc 2)

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm đơn thức và đơn thức thu gọn

Định nghĩa đơn thức: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm chỉ một số, hoặc chỉ một biến, hoặc tích giữa các số và các biến.

Định nghĩa đơn thức thu gọn: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến chỉ được viết một lần dưới dạng lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1: Trong các biểu thức $3 x^{2} y$ ; $- 5$ ; $x + 2 y$ ; $\frac{4 x}{y}$ ; $2 x^{3}$ , biểu thức nào là đơn thức?

Lời giải:

$3 x^{2} y$ (tích của số 3 và các biến $x, y$ ) là đơn thức.
$- 5$ (một số thực) là đơn thức.
$2 x^{3}$ (tích của số $2$ và biến $x^{3}$ ) là đơn thức.
$x + 2 y$ chứa phép cộng $\Rightarrow$ không là đơn thức.
$\frac{4 x}{y}$ chứa phép chia cho biến $y$ ở mẫu $\Rightarrow$ không là đơn thức.

Ví dụ 2: Trong các đơn thức $5 x^{2} y^{3}$ ; $2 x^{2} \cdot 3 x y$ ; $- a^{2} b$ ; $4 x \cdot (- 2) y^{2}$ , đơn thức nào là đơn thức thu gọn?

Lời giải:

$5 x^{2} y^{3}$ và $- a^{2} b$ là các đơn thức thu gọn (mỗi biến chỉ xuất hiện 1 lần).
$2 x^{2} \cdot 3 x y$ chưa thu gọn vì số 2 và 3 chưa nhân lại, biến $x$ xuất hiện 2 lần.
$4 x \cdot (- 2) y^{2}$ chưa thu gọn vì chưa thực hiện phép nhân các số.

Ví dụ 3: Thu gọn các đơn thức sau: $A = 2 x^{2} \cdot 3 x y^{2}$ và $B = - 4 a^{2} b \cdot (- \frac{1}{2} a b^{3})$ .

Lời giải:

$A = (2 \cdot 3) \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot y^{2} = 6 x^{3} y^{2}$ .
$B = [(- 4) \cdot (- \frac{1}{2})] \cdot (a^{2} \cdot a) \cdot (b \cdot b^{3}) = 2 a^{3} b^{4}$ .

Hình vẽ minh họa: Sơ đồ phễu lọc phân loại Biểu thức Đại số:

🔍 2. Hệ số, phần biến và bậc của đơn thức

Trong một đơn thức thu gọn:

Hệ số: Là phần số (hằng số).
Phần biến: Là phần chứa các biến (viết dưới dạng lũy thừa).
Bậc của đơn thức: Là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

Quy ước quan trọng:

Một số thực khác 0 là đơn thức bậc 0 (ví dụ: số $5$ có bậc là $0$ ).
Số 0 là đơn thức không có bậc.
Khi viết đơn thức, nếu hệ số là $1$ thì ta không ghi (ví dụ: $x^{2} y$ hiểu là $1 x^{2} y$ ), nếu hệ số là $- 1$ thì ta chỉ ghi dấu âm (ví dụ: $- x y^{2}$ hiểu là $- 1 x y^{2}$ ).

Ví dụ 1: Phân tích đơn thức $M = 5 x^{3} y^{2} z$ .

Hệ số: $5$ .
Phần biến: $x^{3} y^{2} z$ .
Bậc: $3 + 2 + 1 = 6$ (vì biến $z = z^{1}$ ).

Ví dụ 2: Tìm hệ số, phần biến và bậc của các đơn thức sau: $A = - x^{4} y$ ; $B = \frac{2}{5} a^{2} b^{3}$ ; $C = - 9$ .

Lời giải:

$A = - x^{4} y$ : Hệ số là $- 1$ , phần biến là $x^{4} y$ , bậc bằng $4 + 1 = 5$ .
$B = \frac{2}{5} a^{2} b^{3}$ : Hệ số là $\frac{2}{5}$ , phần biến là $a^{2} b^{3}$ , bậc bằng $2 + 3 = 5$ .
$C = - 9$ : Hệ số là $- 9$ , không có phần biến, bậc bằng $0$ .

Ví dụ 3: Cho đơn thức $N = - 2, 5 x^{m} y^{3}$ (với $m \in N^{*}$ ). Biết $N$ có bậc bằng $7$ , hãy tìm $m$ .

Lời giải: Bậc của đơn thức $N$ là tổng số mũ các biến: $m + 3$ . Theo đề bài: $m + 3 = 7 \Rightarrow m = 4$ .

Hình vẽ minh họa: Phẫu thuật cấu trúc đơn thức $5 x^{3} y^{2} z$ :

🔗 3. Đơn thức đồng dạng

Định nghĩa: Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ 1: Tìm các cặp đơn thức đồng dạng trong các đơn thức sau: $3 x^{2} y$ ; $- 5 x^{2} y$ ; $7 x y^{2}$ ; $\frac{1}{2} x^{2} y$ ; $- 9$ .

Lời giải:

Các đơn thức $3 x^{2} y$ ; $- 5 x^{2} y$ ; $\frac{1}{2} x^{2} y$ đồng dạng với nhau vì có cùng phần biến $x^{2} y$ .
Đơn thức $7 x y^{2}$ không đồng dạng với các đơn thức trên (vì phần biến là $x y^{2} \neq = x^{2} y$ ).

Ví dụ 2: Hai đơn thức $A = 2 x^{2} y$ và $B = 2 x y^{2}$ có đồng dạng không? Vì sao?

Lời giải: Không đồng dạng. Mặc dù chúng có cùng các chữ cái $x, y$ nhưng số mũ của $x$ và $y$ khác nhau (ở $A$ số mũ của $x$ là $2$ , ở $B$ số mũ của $x$ là $1$ ), do đó phần biến khác nhau.

Ví dụ 3: Tìm số nguyên $m, n$ để hai đơn thức $U = 3 x^{m + 1} y^{2}$ và $V = - 5 x^{3} y^{n}$ đồng dạng.

Lời giải: Để $U$ và $V$ đồng dạng thì phần biến của chúng phải giống nhau:

Số mũ của $x$ : $m + 1 = 3 \Rightarrow m = 2$ .
Số mũ của $y$ : $n = 2$ . Vậy $m = 2, n = 2$ .

Hình vẽ minh họa: Ghép cặp các thẻ đơn thức đồng dạng vào cùng hộp:

➕ 4. Cộng và trừ đơn thức đồng dạng

Quy tắc: Để cộng (hoặc trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hoặc trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

$a \cdot X \pm b \cdot X = (a \pm b) \cdot X$

Ví dụ 1: Tính tổng: $4 x^{2} y + 7 x^{2} y - 2 x^{2} y$ .

Lời giải: Các đơn thức đồng dạng có chung phần biến $x^{2} y$ : $4 x^{2} y + 7 x^{2} y - 2 x^{2} y = (4 + 7 - 2) x^{2} y = 9 x^{2} y$

Ví dụ 2: Tính: $- 5 a b^{3} - 3 a b^{3} + 10 a b^{3}$ .

Lời giải: $- 5 a b^{3} - 3 a b^{3} + 10 a b^{3} = (- 5 - 3 + 10) a b^{3} = 2 a b^{3}$

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức $A = 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + 7 x^{2} y + 2 x y^{2}$ .

Lời giải: Nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau: $A = (3 x^{2} y + 7 x^{2} y) + (- 5 x y^{2} + 2 x y^{2}) = (3 + 7) x^{2} y + (- 5 + 2) x y^{2} = 10 x^{2} y - 3 x y^{2}$

Hình vẽ minh họa: Mô hình ghép diện tích ghép các hình chữ nhật cùng phần biến $x^{2}$ :

✖️ 5. Nhân hai đơn thức và nâng lên lũy thừa

Quy tắc nhân hai đơn thức: Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau (áp dụng quy tắc $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ ).

$(a \cdot x^{m} y^{n}) \cdot (b \cdot x^{p} y^{q}) = (a \cdot b) \cdot x^{m + p} y^{n + q}$

Nâng lên lũy thừa: $(a \cdot x^{m} y^{n})^{k} = a^{k} \cdot x^{m \cdot k} y^{n \cdot k}$

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân: $(3 x^{2} y) \cdot (- 4 x y^{3})$ .

Lời giải: $(3 x^{2} y) \cdot (- 4 x y^{3}) = [3 \cdot (- 4)] \cdot (x^{2} \cdot x) \cdot (y \cdot y^{3}) = - 12 x^{3} y^{4}$

Ví dụ 2: Tính lũy thừa: $P = (- 2 x^{2} y^{3})^{3}$ .

Lời giải: $P = (- 2)^{3} \cdot (x^{2})^{3} \cdot (y^{3})^{3} = - 8 x^{2 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} = - 8 x^{6} y^{9}$

Ví dụ 3: Cho ba đơn thức $A = - \frac{2}{3} x^{3} y$ , $B = 9 x y^{2}$ , $C = - x^{2} y^{4}$ . Tính tích $M = A \cdot B \cdot C$ và tìm bậc của $M$ .

Lời giải: $M = (- \frac{2}{3} x^{3} y) \cdot (9 x y^{2}) \cdot (- x^{2} y^{4}) = [(- \frac{2}{3}) \cdot 9 \cdot (- 1)] \cdot (x^{3} \cdot x \cdot x^{2}) \cdot (y \cdot y^{2} \cdot y^{4}) = 6 x^{6} y^{7}$ Đơn thức tích $M = 6 x^{6} y^{7}$ có hệ số là $6$ , bậc bằng $6 + 7 = 13$ .

Hình vẽ minh họa: Nhân kích thước các cạnh để được thể tích $V = (2 x) (3 y) (4 z) = 24 x y z$ :

✏️ Thực hành tương tác

🧮

Thực hành tương tác: Khám phá & Nhận biết Đơn thức

🎯 Điểm số: 0 / 0

🔍 Câu hỏi nhận biết:

x^2 - y^2

Biểu thức trên có phải là ĐƠN THỨC không?

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Nhận biết đơn thức và thu gọn đơn thức Phương pháp giải:

Kiểm tra xem biểu thức có chứa phép cộng, trừ giữa các biến hoặc chia cho biến hay không (nếu có thì không phải đơn thức).
Thu gọn: Nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa của cùng một biến (cộng số mũ).

Ví dụ 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức? Thu gọn các đơn thức đó: $A = 4 x^{2} y \cdot (- 2 x y^{2}); B = \frac{3 x + y}{2}; C = - 7; D = \frac{x ^{2}}{y}$

Lời giải:

$A = 4 x^{2} y \cdot (- 2 x y^{2}) = - 8 x^{3} y^{3}$ (là đơn thức).
$B$ có phép cộng giữa $3 x$ và $y$ ở tử nên không phải đơn thức.
$C = - 7$ (là đơn thức hằng số).
$D$ có chứa biến $y$ ở mẫu nên không phải đơn thức.

Ví dụ 2: Thu gọn đơn thức $M = (- \frac{3}{4} x^{2} y^{3}) \cdot (\frac{8}{9} x^{3} y)$ .

Lời giải: $M = [(- \frac{3}{4}) \cdot \frac{8}{9}] \cdot (x^{2} \cdot x^{3}) \cdot (y^{3} \cdot y) = - \frac{2}{3} x^{5} y^{4}$

Ví dụ 3: Thu gọn đơn thức $N = (- 2 x y^{2})^{3} \cdot (3 x^{3} y)$ .

Lời giải: $N = [(- 2)^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3}] \cdot (3 x^{3} y) = (- 8 x^{3} y^{6}) \cdot (3 x^{3} y) = (- 8 \cdot 3) \cdot (x^{3} \cdot x^{3}) \cdot (y^{6} \cdot y) = - 24 x^{6} y^{7}$

Dạng 2: Xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn đơn thức về dạng chuẩn.
Bước 2: Chỉ ra phần số (hệ số), phần chứa các biến (phần biến).
Bước 3: Tính tổng số mũ của tất cả các biến để được bậc.

Ví dụ 1: Tìm hệ số, phần biến và bậc của đơn thức $P = - 3 x^{2} y^{4} z$ .

Lời giải:

Hệ số: $- 3$ .
Phần biến: $x^{2} y^{4} z$ .
Bậc: $2 + 4 + 1 = 7$ .

Ví dụ 2: Cho đơn thức $Q = (- \frac{1}{2} x^{2} y) \cdot (4 x y^{3})$ . Tìm hệ số và bậc của $Q$ .

Lời giải: Thu gọn $Q = (- \frac{1}{2} \cdot 4) (x^{2} \cdot x) (y \cdot y^{3}) = - 2 x^{3} y^{4}$ .

Hệ số của $Q$ là $- 2$ .
Bậc của $Q$ là $3 + 4 = 7$ .

Ví dụ 3: Cho đơn thức $K = (a - 2) x^{3} y^{2}$ (với $a$ là hằng số). a) Tìm $a$ để $K$ có hệ số bằng $5$ . b) Tìm $a$ để $K$ là đơn thức 0.

Lời giải: a) Hệ số của $K$ là $a - 2$ . Để hệ số bằng $5 \Rightarrow a - 2 = 5 \Rightarrow a = 7$ . b) Đơn thức $K$ là đơn thức 0 khi hệ số bằng $0 \Rightarrow a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ .

Dạng 3: Nhận biết và tìm đơn thức đồng dạng Phương pháp giải: So sánh phần biến của các đơn thức đã thu gọn (hệ số phải khác 0). Hai đơn thức đồng dạng khi có phần biến hoàn toàn giống nhau.

Ví dụ 1: Cho các đơn thức: $A = 2 x^{3} y^{2}$ ; $B = - 5 x^{2} y^{3}$ ; $C = \frac{1}{3} x^{3} y^{2}$ ; $D = - x^{3} y^{2}$ . Tìm các đơn thức đồng dạng với $A$ .

Lời giải: Đơn thức $A$ có phần biến là $x^{3} y^{2}$ . Các đơn thức có cùng phần biến $x^{3} y^{2}$ là $C = \frac{1}{3} x^{3} y^{2}$ và $D = - x^{3} y^{2}$ .

Ví dụ 2: Giải thích vì sao hai đơn thức $M = 4 x^{2} y$ và $N = 4 x^{2} y^{2}$ không đồng dạng.

Lời giải: Mặc dù hai đơn thức có cùng hệ số $4$ và chứa các biến $x, y$ , nhưng số mũ của biến $y$ ở $M$ là $1$ , còn ở $N$ là $2$ . Do đó phần biến khác nhau nên $M$ và $N$ không đồng dạng.

Ví dụ 3: Tìm các số nguyên $a, b$ để đơn thức $X = 5 x^{a + 1} y^{4}$ đồng dạng với đơn thức $Y = - 2 x^{4} y^{2 b}$ .

Lời giải: Để $X$ và $Y$ đồng dạng: ${a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3 2 b = 4 \Rightarrow b = 2$

Dạng 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng Phương pháp giải: Cộng hoặc trừ các hệ số, giữ nguyên phần biến. Nếu có nhiều nhóm đơn thức khác nhau, nhóm các đơn thức đồng dạng vào từng ngoặc rồi thu gọn.

Ví dụ 1: Tính $3 x^{2} y^{3} + 8 x^{2} y^{3} - 5 x^{2} y^{3}$ .

Lời giải: $(3 + 8 - 5) x^{2} y^{3} = 6 x^{2} y^{3}$ .

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $B = 5 x y^{2} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2} + 7 x^{2} y$ .

Lời giải: $B = (5 x y^{2} + 2 x y^{2}) + (- 3 x^{2} y + 7 x^{2} y) = (5 + 2) x y^{2} + (- 3 + 7) x^{2} y = 7 x y^{2} + 4 x^{2} y$

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức $S = 4 x^{3} y - 7 x^{3} y + 2 x^{3} y$ tại $x = - 2, y = 3$ .

Lời giải: Thu gọn $S = (4 - 7 + 2) x^{3} y = - x^{3} y$ . Thay $x = - 2, y = 3$ vào $S$ : $S = - (- 2)^{3} \cdot 3 = - (- 8) \cdot 3 = 24$ .

Dạng 5: Nhân đơn thức và tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: Thực hiện phép nhân các đơn thức để rút gọn biểu thức về đơn thức thu gọn đơn giản nhất, sau đó thay giá trị của các biến vào để tính kết quả.

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân và tìm bậc của kết quả: $P = (- \frac{1}{3} x^{2} y) \cdot (6 x y^{2}) \cdot (- \frac{1}{2} x^{3})$ .

Lời giải: $P = [(- \frac{1}{3}) \cdot 6 \cdot (- \frac{1}{2})] \cdot (x^{2} \cdot x \cdot x^{3}) \cdot (y \cdot y^{2}) = 1 \cdot x^{6} y^{3} = x^{6} y^{3}$ Bậc của $P$ là $6 + 3 = 9$ .

Ví dụ 2: Cho $A = 2 x^{2} y^{3}$ và $B = - 3 x y$ . Tính $A \cdot B^{2}$ .

Lời giải: Ta có $B^{2} = (- 3 x y)^{2} = 9 x^{2} y^{2}$ . Nên $A \cdot B^{2} = (2 x^{2} y^{3}) \cdot (9 x^{2} y^{2}) = (2 \cdot 9) (x^{2} \cdot x^{2}) (y^{3} \cdot y^{2}) = 18 x^{4} y^{5}$ .

Ví dụ 3: Tính giá trị của đơn thức $M = (- x^{2} y)^{3} \cdot (2 x y^{2})$ tại $x = 1, y = - 1$ .

Lời giải: Thu gọn $M = (- x^{6} y^{3}) \cdot (2 x y^{2}) = - 2 x^{7} y^{5}$ . Thay $x = 1, y = - 1$ : $M = - 2 (1)^{7} (- 1)^{5} = - 2 (1) (- 1) = 2$ .

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Câu 1 (Hình học sân trường): Một mảnh đất trong sân trường gồm hai khu vực hình chữ nhật ghép lại: Khu A có chiều dài $3 x$ (m) và chiều rộng $2 y$ (m); Khu B có chiều dài $5 x$ (m) và chiều rộng $2 y$ (m).

a) Viết biểu thức đơn thức tính diện tích Khu A và Khu B. b) Viết biểu thức tính tổng diện tích mảnh đất. c) Tính tổng diện tích khi $x = 4$ m, $y = 3$ m.

Lời giải:

a) Diện tích Khu A: $S_{A} = 3 x \cdot 2 y = 6 x y$ (m²). Diện tích Khu B: $S_{B} = 5 x \cdot 2 y = 10 x y$ (m²).

b) Tổng diện tích mảnh đất: $S = S_{A} + S_{B} = 6 x y + 10 x y = (6 + 10) x y = 16 x y$ (m²).

c) Thay $x = 4, y = 3$ vào $S$ : $S = 16 \cdot 4 \cdot 3 = 192$ (m²).

📝 Câu 2 (Thể tích bể chứa nước): Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $2 a$ (m), $1, 5 a$ (m) và $h$ (m).

a) Viết biểu thức đơn thức $V$ tính thể tích bể nước. b) Xác định hệ số và bậc của đơn thức $V$ theo hai biến $a$ và $h$ . c) Nếu $a = 2$ m và chiều cao $h = 1, 2$ m thì bể chứa được bao nhiêu mét khối nước?

Lời giải:

a) Thể tích bể nước là: $V = 2 a \cdot 1, 5 a \cdot h = (2 \cdot 1, 5) \cdot (a \cdot a) \cdot h = 3 a^{2} h$ (m³).

b) Đơn thức $V = 3 a^{2} h$ có hệ số là $3$ , phần biến là $a^{2} h$ , bậc bằng $2 + 1 = 3$ .

c) Thay $a = 2$ m, $h = 1, 2$ m vào $V$ : $V = 3 \cdot (2)^{2} \cdot 1, 2 = 3 \cdot 4 \cdot 1, 2 = 14, 4$ (m³).

📝 Câu 3 (Bài toán chi phí siêu thị): Bạn Nam đi siêu thị mua $x$ kg vở học sinh với đơn giá $30$ nghìn đồng/kg và $y$ hộp bút màu với đơn giá $45$ nghìn đồng/hộp. Siêu thị đang có chương trình giảm giá $10%$ cho mặt hàng vở và giảm giá $20%$ cho mặt hàng bút.

a) Viết biểu thức số tiền Nam phải trả cho số vở đã mua. b) Viết biểu thức số tiền Nam phải trả cho số bút đã mua. c) Viết biểu thức tổng số tiền Nam phải trả khi mua $x$ kg vở và $y$ hộp bút màu.

Lời giải:

a) Giá vở sau khi giảm $10%$ : $30 \cdot (1 - 0, 1) = 27$ (nghìn đồng/kg). Số tiền mua vở là đơn thức: $T_{1} = 27 x$ (nghìn đồng).

b) Giá bút màu sau khi giảm $20%$ : $45 \cdot (1 - 0, 2) = 36$ (nghìn đồng/hộp). Số tiền mua bút là đơn thức: $T_{2} = 36 y$ (nghìn đồng).

c) Tổng số tiền Nam phải trả là: $T = T_{1} + T_{2} = 27 x + 36 y$ (nghìn đồng).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Biểu thức nào sau đây **KHÔNG** phải là đơn thức?

⭐ Ghi nhớ

Đơn thức: Biểu thức chỉ gồm một số, một biến, hoặc tích giữa các số và các biến.
Đơn thức thu gọn: Đơn thức mà mỗi biến chỉ xuất hiện 1 lần dưới dạng lũy thừa.
Hệ số: Phần số trong đơn thức thu gọn. (Chú ý dấu âm, hệ số 1 hoặc -1).
Bậc của đơn thức: Tổng tất cả số mũ của các biến trong đơn thức thu gọn. Hằng số $\neq = 0$ có bậc 0, số 0 không có bậc.
Đơn thức đồng dạng: Có hệ số $\neq = 0$ và có cùng phần biến.
Cộng / Trừ đơn thức đồng dạng: Cộng/trừ các hệ số với nhau, giữ nguyên phần biến.
Nhân hai đơn thức: Nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau.
Nâng lên lũy thừa: $(a \cdot x^{m} y^{n})^{k} = a^{k} \cdot x^{m \cdot k} y^{n \cdot k}$ .

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Dễ — Nhận biết đơn thức): Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức? Vì sao?

a) $4 x^{3} y^{2}$ b) $- \frac{3}{5} a^{2} b$ c) $2 x^{2} - 3 y$ d) $\frac{7 x}{y ^{2}}$ e) $- 15$ f) $2 x^{2} y$

Bài 2 (Dễ — Thu gọn đơn thức): Thu gọn các đơn thức sau:

a) $A = 3 x^{2} y \cdot (- 2 x y^{3})$ b) $B = - 4 a^{2} b \cdot (- \frac{1}{2} a b^{2})$ c) $C = 2 x y \cdot (- 3 x^{2} y) \cdot x^{3}$

d) $D = (- \frac{2}{3} x^{3} y^{2}) \cdot (9 x^{2} y^{4})$ e) $E = (- 2 x y^{2})^{3} \cdot (3 x^{2} y)$ f) $F = (- \frac{1}{2} a^{2} b)^{2} \cdot (- 4 a b^{3})$

Bài 3 (Trung bình — Hệ số, phần biến, bậc & Giá trị): Cho các đơn thức sau (sau khi thu gọn), xác định hệ số, phần biến, bậc và tính giá trị tại $x = 1, y = - 1$ :

a) $M = - 5 x^{3} y^{2}$ b) $N = \frac{3}{4} x^{2} y^{4}$ c) $P = - x^{4} y^{3}$

d) $Q = (- \frac{1}{3} x y^{2}) \cdot (6 x^{2} y)$ e) $R = (- x^{2} y)^{3}$ f) $S = - 12$

Bài 4 (Trung bình — Đơn thức đồng dạng & Cộng/Trừ): Cho các đơn thức $A = 4 x^{3} y^{2}$ ; $B = - 7 x^{2} y^{3}$ ; $C = - \frac{1}{2} x^{3} y^{2}$ ; $D = 5 x^{3} y^{2}$ ; $E = 2 x^{2} y^{3}$ .

a) Tìm các đơn thức đồng dạng với $A$ .

b) Tính tổng $A + C + D$ .

c) Tính hiệu $B - E$ .

Bài 5 (Trung bình — Tìm tham số):

a) Tìm $m, n \in N$ để đơn thức $A = 3 x^{m + 1} y^{4}$ đồng dạng với $B = - 5 x^{4} y^{2 n}$ .

b) Tìm $a$ để đơn thức $C = (a - 3) x^{5} y^{2}$ có bậc bằng 7 và có hệ số bằng 4.

Bài 6 (Khá — Rút gọn biểu thức tổng hợp): Rút gọn biểu thức: $P = 5 x^{2} (x y^{2}) - 3 x^{3} y^{2} + 2 x y (x^{2} y) - 7 x^{3} y^{2}$

Bài 7 (Khá — Chứng minh biểu thức không âm/không dương):

a) Chứng minh $M = (2 x^{2} y)^{2} \cdot (- 3 x y^{3})^{2} + 4 x^{6} y^{8} \geq 0$ với mọi $x, y$ .

b) Chứng minh $N = - 3 (x^{2} y^{3})^{4} \cdot (2 x^{4} y)^{2} \leq 0$ với mọi $x, y$ .

Bài 8 (Khá - Nâng cao — Tìm điều kiện đơn thức 0): Cho đơn thức $K = (m^{2} - 4) x^{3} y^{5}$ .

a) Tìm $m$ để $K$ là đơn thức 0.

b) Tìm $m$ để $K$ có hệ số bằng 5.

Bài 9 (Ứng dụng thực tế 1 — Diện tích sân trường & Bồn hoa): Một sân trường gồm mảnh sân hình chữ nhật kích thước $4 x$ (m) và $3 y$ (m), cùng một bồn hoa hình vuông cạnh $2 x$ (m).

a) Viết các đơn thức biểu thị diện tích mảnh sân và diện tích bồn hoa.

b) Viết đơn thức biểu thị tổng diện tích và tính tổng diện tích khi $x = 5$ m, $y = 4$ m.

Bài 10 (Ứng dụng thực tế 2 — Thể tích và thời gian bơm nước): Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là $3 a$ (m), $2 a$ (m) và $1, 5 a$ (m).

a) Viết đơn thức biểu thị thể tích $V$ của bể nước.

b) Nếu mỗi giờ máy bơm bơm được lượng nước là $6 a^{2}$ (m³), viết đơn thức biểu thị thời gian $t$ (giờ) để bơm đầy bể.

c) Tính thời gian $t$ khi $a = 2$ m.

📊 Đáp số & Lời giải chi tiết

Bài 1: a) $4 x^{3} y^{2}$ là đơn thức (tích của số và biến). b) $- \frac{3}{5} a^{2} b$ là đơn thức (tích của số và biến). c) $2 x^{2} - 3 y$ không phải đơn thức (chứa phép trừ). d) $\frac{7 x}{y ^{2}}$ không phải đơn thức (chứa phép chia cho biến $y$ ở mẫu). e) $- 15$ là đơn thức (đơn thức hằng số). f) $2 x^{2} y$ là đơn thức (hệ số $2$ là số thực).

Bài 2: a) $A = [3 \cdot (- 2)] (x^{2} \cdot x) (y \cdot y^{3}) = - 6 x^{3} y^{4}$ . b) $B = [(- 4) \cdot (- \frac{1}{2})] (a^{2} \cdot a) (b \cdot b^{2}) = 2 a^{3} b^{3}$ . c) $C = [2 \cdot (- 3)] (x \cdot x^{2} \cdot x^{3}) (y \cdot y) = - 6 x^{6} y^{2}$ . d) $D = [(- \frac{2}{3}) \cdot 9] (x^{3} \cdot x^{2}) (y^{2} \cdot y^{4}) = - 6 x^{5} y^{6}$ . e) $E = (- 8 x^{3} y^{6}) \cdot (3 x^{2} y) = - 24 x^{5} y^{7}$ . f) $F = (\frac{1}{4} a^{4} b^{2}) \cdot (- 4 a b^{3}) = - a^{5} b^{5}$ .

Bài 3: a) $M = - 5 x^{3} y^{2}$ : Hệ số $- 5$ , phần biến $x^{3} y^{2}$ , bậc $5$ . Giá trị: $- 5 (1)^{3} (- 1)^{2} = - 5$ . b) $N = \frac{3}{4} x^{2} y^{4}$ : Hệ số $\frac{3}{4}$ , phần biến $x^{2} y^{4}$ , bậc $6$ . Giá trị: $\frac{3}{4} (1)^{2} (- 1)^{4} = \frac{3}{4}$ . c) $P = - x^{4} y^{3}$ : Hệ số $- 1$ , phần biến $x^{4} y^{3}$ , bậc $7$ . Giá trị: $- 1 (1)^{4} (- 1)^{3} = 1$ . d) $Q = - 2 x^{3} y^{3}$ : Hệ số $- 2$ , phần biến $x^{3} y^{3}$ , bậc $6$ . Giá trị: $- 2 (1)^{3} (- 1)^{3} = 2$ . e) $R = - x^{6} y^{3}$ : Hệ số $- 1$ , phần biến $x^{6} y^{3}$ , bậc $9$ . Giá trị: $- 1 (1)^{6} (- 1)^{3} = 1$ . f) $S = - 12$ : Hệ số $- 12$ , không có phần biến, bậc $0$ . Giá trị luôn bằng $- 12$ .

Bài 4: a) Phần biến của $A$ là $x^{3} y^{2}$ . Các đơn thức đồng dạng với $A$ là $C = - \frac{1}{2} x^{3} y^{2}$ và $D = 5 x^{3} y^{2}$ . b) $A + C + D = 4 x^{3} y^{2} + (- \frac{1}{2} x^{3} y^{2}) + 5 x^{3} y^{2} = (4 - \frac{1}{2} + 5) x^{3} y^{2} = \frac{17}{2} x^{3} y^{2}$ . c) $B - E = - 7 x^{2} y^{3} - 2 x^{2} y^{3} = - 9 x^{2} y^{3}$ .

Bài 5: a) Để $A$ và $B$ đồng dạng: $m + 1 = 4 \Rightarrow m = 3$ ; $2 n = 4 \Rightarrow n = 2$ . b) Hệ số là $a - 3 = 4 \Rightarrow a = 7$ . Khi $a = 7$ , $C = 4 x^{5} y^{2}$ có bậc $5 + 2 = 7$ (thỏa mãn).

Bài 6: Thu gọn từng đơn thức: $5 x^{2} (x y^{2}) = 5 x^{3} y^{2}$ ; $2 x y (x^{2} y) = 2 x^{3} y^{2}$ . $P = 5 x^{3} y^{2} - 3 x^{3} y^{2} + 2 x^{3} y^{2} - 7 x^{3} y^{2} = (5 - 3 + 2 - 7) x^{3} y^{2} = - 3 x^{3} y^{2}$

Bài 7: a) $M = (4 x^{4} y^{2}) \cdot (9 x^{2} y^{6}) + 4 x^{6} y^{8} = 36 x^{6} y^{8} + 4 x^{6} y^{8} = 40 x^{6} y^{8}$ . Vì $x^{6} \geq 0, y^{8} \geq 0 \Rightarrow M = 40 x^{6} y^{8} \geq 0$ với mọi $x, y$ . b) $N = - 3 (x^{8} y^{12}) \cdot (4 x^{8} y^{2}) = - 12 x^{16} y^{14}$ . Vì $x^{16} \geq 0, y^{14} \geq 0 \Rightarrow N \leq 0$ với mọi $x, y$ .

Bài 8: a) $K$ là đơn thức 0 khi hệ số bằng $0 \Rightarrow m^{2} - 4 = 0 \Rightarrow m = 2$ hoặc $m = - 2$ . b) $K$ có hệ số bằng $5 \Rightarrow m^{2} - 4 = 5 \Rightarrow m^{2} = 9 \Rightarrow m = 3$ hoặc $m = - 3$ .

Bài 9: a) Diện tích mảnh sân: $S_{1} = 4 x \cdot 3 y = 12 x y$ (m²). Diện tích bồn hoa: $S_{2} = (2 x)^{2} = 4 x^{2}$ (m²). b) Tổng diện tích: $S = S_{1} + S_{2} = 12 x y + 4 x^{2}$ (m²). Khi $x = 5, y = 4 \Rightarrow S = 12 (5) (4) + 4 (5^{2}) = 240 + 100 = 340$ (m²).

Bài 10: a) Thể tích $V = 3 a \cdot 2 a \cdot 1, 5 a = 9 a^{3}$ (m³). b) Thời gian bơm đầy bể: $t = V : 6 a^{2} = 9 a^{3} : 6 a^{2} = 1, 5 a$ (giờ). c) Khi $a = 2 \Rightarrow t = 1, 5 \cdot 2 = 3$ giờ.

Bài 1: Đơn thức

🧮 Đơn thức — Khối xây dựng của Đại số

📖 1. Khái niệm đơn thức và đơn thức thu gọn

🔍 2. Hệ số, phần biến và bậc của đơn thức

🔗 3. Đơn thức đồng dạng

➕ 4. Cộng và trừ đơn thức đồng dạng

✖️ 5. Nhân hai đơn thức và nâng lên lũy thừa

Thực hành tương tác

Thực hành tương tác: Khám phá & Nhận biết Đơn thức

Các dạng toán

🌍 Vận dụng thực tế

Trắc nghiệm

📝 Bài tập tự luận